2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Первый замечательный предел?
Сообщение21.10.2021, 21:19 


12/10/21
7
Добрый вечер.
Снова нужна ваша помощь. Нужно вычислить предел.

1. $\lim\limits_{x\to -2 } \frac {\tg\pi x}{x+2} $ =\lim\limits_{x\to -2 } \frac {\sin \pi x}{x+2}  \cdot \frac {1}{\cos \pi x}$

2. $ \lim\limits_{x\to -2 } \frac {\sin \pi x}{x+2}  \cdot \frac {1}{\cos \pi x} =\lim\limits_{x\to -2 } \frac {\sin \pi x}{x+2}  \cdot \frac {1}{\cos (-2\pi)}  = \lim\limits_{x\to -2 } \frac {\sin \pi x}{x+2}  \cdot 1$

А что делать с этим дальше я не вижу. Понимаю, что где-то тут, скорее всего светится первый замечательный предел, но как к нему прийти? Онлайн калькуляторы дают ответ $\pi$ , но даже решение под результат не могу подогнать. Куда копнуть дальше?
p.s. Ногами не бейте, школу закончил почти 20 лет назад, поэтому мозги пока не получается перенастроить в нужное направление.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел (?)
Сообщение21.10.2021, 21:24 
Заслуженный участник


26/05/14
922
Сделайте замену $y = x + 2$. Сверху будет синус суммы углов. Примените формулу, упростите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел (?)
Сообщение21.10.2021, 22:02 


12/10/21
7
Ох, как же пока не просто. Воспользовался советом и вышло вот такое:
Заменим $ y = x + 2$ , получим $x = y - 2 $

$\lim\limits_{x\to -2} \frac {\sin \pi x}{x+2} = \lim\limits_{y\to 0 } \frac {\sin \pi (y - 2)}{y} = \lim\limits_{y\to 0 } \frac {\sin \pi y \cdot \cos 2\pi - \cos \pi y \cdot \sin 2 \pi}{y}$

$\sin 2 \pi = 0 , \cos 2 \pi = 1$

$\lim\limits_{y\to 0 } \frac {\sin \pi y}{y} = \pi$

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел (?)
Сообщение21.10.2021, 22:05 


18/09/21
821
Из периодичности синуса: $\sin(\alpha-2\pi)=\sin\alpha$

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел (?)
Сообщение21.10.2021, 22:09 


12/10/21
7
zykov в сообщении #1535814 писал(а):
Из периодичности синуса: $\sin(\alpha-2\pi)=\sin\alpha$

Недопонял, где мне это применить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел?
Сообщение21.10.2021, 22:17 
Модератор


20/03/14
11618
Rustok
У Вас не так много синусов. Догадайтесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел?
Сообщение21.10.2021, 22:17 


18/09/21
821
Вместо этого:
Rustok в сообщении #1535813 писал(а):
$\lim\limits_{y\to 0 } \frac {\sin \pi y \cdot \cos 2\pi - \cos \pi y \cdot \sin 2 \pi}{y}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел?
Сообщение21.10.2021, 22:24 


12/10/21
7
В итоге-то у меня решение правильное? Если да, то я мог прийти к ответу более коротким путём?
Про периодичность синуса и косинуса $2\pi$ я знаю. Но всё равно не понимаю, как и где я мог это подставить?
У меня же $\sin \pi (y-2)$, а не $\sin (\alpha - 2 \pi)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел?
Сообщение21.10.2021, 22:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2126
/dev/zero
Rustok в сообщении #1535823 писал(а):
У меня же $\sin \pi (y-2)$, а не $\sin (\alpha - 2 \pi)$

$ \pi (y - 2) = \pi y - 2 \pi$

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел?
Сообщение21.10.2021, 22:38 


12/10/21
7
StaticZero в сообщении #1535824 писал(а):
Rustok в сообщении #1535823 писал(а):
У меня же $\sin \pi (y-2)$, а не $\sin (\alpha - 2 \pi)$

$ \pi (y - 2) = \pi y - 2 \pi$

Спасибо.
Я до этого рассматривал этот вариант, но без отрыва от синуса. То есть $\sin \pi$ , а не просто $\pi$, поэтому у меня пазл в голове и не складывался

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: vlad_light


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group