2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Первый замечательный предел?
Сообщение21.10.2021, 21:19 


12/10/21
7
Добрый вечер.
Снова нужна ваша помощь. Нужно вычислить предел.

1. $\lim\limits_{x\to -2 } \frac {\tg\pi x}{x+2} $ =\lim\limits_{x\to -2 } \frac {\sin \pi x}{x+2}  \cdot \frac {1}{\cos \pi x}$

2. $ \lim\limits_{x\to -2 } \frac {\sin \pi x}{x+2}  \cdot \frac {1}{\cos \pi x} =\lim\limits_{x\to -2 } \frac {\sin \pi x}{x+2}  \cdot \frac {1}{\cos (-2\pi)}  = \lim\limits_{x\to -2 } \frac {\sin \pi x}{x+2}  \cdot 1$

А что делать с этим дальше я не вижу. Понимаю, что где-то тут, скорее всего светится первый замечательный предел, но как к нему прийти? Онлайн калькуляторы дают ответ $\pi$ , но даже решение под результат не могу подогнать. Куда копнуть дальше?
p.s. Ногами не бейте, школу закончил почти 20 лет назад, поэтому мозги пока не получается перенастроить в нужное направление.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел (?)
Сообщение21.10.2021, 21:24 
Заслуженный участник


26/05/14
923
Сделайте замену $y = x + 2$. Сверху будет синус суммы углов. Примените формулу, упростите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел (?)
Сообщение21.10.2021, 22:02 


12/10/21
7
Ох, как же пока не просто. Воспользовался советом и вышло вот такое:
Заменим $ y = x + 2$ , получим $x = y - 2 $

$\lim\limits_{x\to -2} \frac {\sin \pi x}{x+2} = \lim\limits_{y\to 0 } \frac {\sin \pi (y - 2)}{y} = \lim\limits_{y\to 0 } \frac {\sin \pi y \cdot \cos 2\pi - \cos \pi y \cdot \sin 2 \pi}{y}$

$\sin 2 \pi = 0 , \cos 2 \pi = 1$

$\lim\limits_{y\to 0 } \frac {\sin \pi y}{y} = \pi$

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел (?)
Сообщение21.10.2021, 22:05 


18/09/21
670
Из периодичности синуса: $\sin(\alpha-2\pi)=\sin\alpha$

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел (?)
Сообщение21.10.2021, 22:09 


12/10/21
7
zykov в сообщении #1535814 писал(а):
Из периодичности синуса: $\sin(\alpha-2\pi)=\sin\alpha$

Недопонял, где мне это применить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел?
Сообщение21.10.2021, 22:17 
Модератор


20/03/14
11520
Rustok
У Вас не так много синусов. Догадайтесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел?
Сообщение21.10.2021, 22:17 


18/09/21
670
Вместо этого:
Rustok в сообщении #1535813 писал(а):
$\lim\limits_{y\to 0 } \frac {\sin \pi y \cdot \cos 2\pi - \cos \pi y \cdot \sin 2 \pi}{y}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел?
Сообщение21.10.2021, 22:24 


12/10/21
7
В итоге-то у меня решение правильное? Если да, то я мог прийти к ответу более коротким путём?
Про периодичность синуса и косинуса $2\pi$ я знаю. Но всё равно не понимаю, как и где я мог это подставить?
У меня же $\sin \pi (y-2)$, а не $\sin (\alpha - 2 \pi)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел?
Сообщение21.10.2021, 22:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2124
/dev/zero
Rustok в сообщении #1535823 писал(а):
У меня же $\sin \pi (y-2)$, а не $\sin (\alpha - 2 \pi)$

$ \pi (y - 2) = \pi y - 2 \pi$

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел?
Сообщение21.10.2021, 22:38 


12/10/21
7
StaticZero в сообщении #1535824 писал(а):
Rustok в сообщении #1535823 писал(а):
У меня же $\sin \pi (y-2)$, а не $\sin (\alpha - 2 \pi)$

$ \pi (y - 2) = \pi y - 2 \pi$

Спасибо.
Я до этого рассматривал этот вариант, но без отрыва от синуса. То есть $\sin \pi$ , а не просто $\pi$, поэтому у меня пазл в голове и не складывался

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group