Симметрия против дисперсии, или Что победит.

[tonven]

Есть 2 датчика случайных чисел, настроенных с равной вероятностью выдавать 0 и 1.
$z=1$.
ГСЧ1 имеет n результатов, ГСЧ2 - $(n+z)$ результатов.
Какова вероятность, что ГСЧ2 опередит ГСЧ1 по числу единиц?
Решение 1. Для определённости выберем $n=1, z=1$. Возникает $2^{2\cdot n+1}=8$ вариантов. Здесь первая цифра - выдача ГСЧ1, 2-3-я - выдача ГСЧ2:
$0-00$
$0-01$
$0-10$
$0-11$
$1-00$
$1-01$
$1-10$
$1-11$
Успешных попыток 4. Вероятность $p=\frac{1}{2}$
Решение 2. У ГСЧ2 после испытания будет либо больше 0, либо больше 1 с $pC=1$. Считая, что оба ГСЧ "хорошие", получаем $p=\frac{1}{2}$
Всё пока хорошо.
Решение 3. До n результатов ситуация абсолютно симметрична. Возрастают только среднеквадратичное отклонение и дисперсия. Возьмём z=5, пользуясь универсальностью матрезультатов. Так что запрещает мне воспользоваться результатами 1 и 2 и утвердить выдачу ГСЧ2 после 5 дополнительных выдач $p=\frac{31}{32}$?
Объективно я понимаю, что предыдущие n выдач "размешивают" дополнительные $z=5$ результатов, но где найти строгое разъяснение данного феномена?

[zykov]

tonven в сообщении #1534907 писал(а):

Есть 2 датчика случайных чисел, настроенных с равной вероятностью выдавать 0 и 1.

Неоднозначно.

1. "каждый генератор настроен выдавать как 0, так и 1 с одной и той же вероятностью - 50/50"
2. "второй генератор настроен выдавать 0 с такой же вероятность как и первый генератор (и аналогично, выдавать 1) - не обязательно 50/50"

[tonven]

zykov
Нет, конечно. Вы взяли этот тезис неизвестно откуда. "Равная вероятность" это именно случайная величина.
Ну замените оба ГСЧ одним "правильным" игральным кубиком. Чётные у него это 0, нечётные - 1.
Мой тезис: при изменениях n дисперсия растёт, как квадрат n, а симметрия эксперимента постулирует $p=\frac{1}{2}^n$.
Рано или поздно они войдут в противоречие. Так аналитики данного феномена мне не встречалось. Это не доказательство "Вы все дураки", а вопрос.

[Geen]

tonven в сообщении #1534907 писал(а):

пользуясь универсальностью матрезультатов.

Что такое "универсальность матрезультатов" и как этим пользоваться?

tonven в сообщении #1534907 писал(а):

воспользоваться результатами 1 и 2

Как именно Вы собираетесь пользоваться этими результатами?

tonven в сообщении #1534907 писал(а):

Так что запрещает мне воспользоваться результатами 1 и 2 и утвердить выдачу

Ничто не мешает - можете утверждать что угодно. Но это совершенно необязательно будут истинные утверждения. Но даже если они, случайно, окажутся истинными, это не будет решением задачи.

[tonven]

Я максимально стремилась к обоснованности тезисов. Пользоваться универсальностью так же, как я понимаю: в данном случае заменить z на конкретное 5 Прошу ответить на конкретный мой тезис.
2-й пункт. В предыдущих двух пунктах я сама не обнаружила противоречий, а извне встретила раздражённые вопросы.
3-й пункт предельно универсален, и поэтому я полностью согласна с его его утверждениями.

[mihaild]

tonven в сообщении #1534907 писал(а):

У ГСЧ2 после испытания будет либо больше 0, либо больше 1 с $pC=1$.

Что вообще значит "с $pC = 1$"? Чисто синтаксически непонятно.

tonven в сообщении #1534916 писал(а):

в данном случае заменить z на конкретное 5

Где именно вы хотите заменить $z$ на $5$?

Вообще, в чем состоит вопрос? В стартовом посте есть нормально сформулированная задача - "с какой вероятностью что-то произойдет" и есть 3 пункта, каждый из которых озаглавлен "решение", но ни один из которых решением задачи не является.

[tonven]

mihaild в сообщении #1534919 писал(а):

Что вообще значит "с $pC = 1$"?

Извиняюсь за необоснование. Латинской С я заменила термин Common , то бишь "общий". Дальнейшее доказательство "у ГСЧ1 ВСЕГДА меньше либо 0, либо единиц", я считала излишним. Прошу ответить, хотя здесь это не очень принято.
В формулировке чётко указано

tonven в сообщении #1534907 писал(а):

$z=1$.

n я, действительно оставила неопределённым, представив для примера $n=1$но в дальнейшем конкретизировала его $n=5$

[Markus228]

tonven в сообщении #1534907 писал(а):

Успешных попыток 4.

Верно

tonven в сообщении #1534907 писал(а):

Решение 2. У ГСЧ2 после испытания будет либо больше 0, либо больше 1 с $pC=1$. Считая, что оба ГСЧ "хорошие", получаем $p=\frac{1}{2}$
Всё пока хорошо.

Ничего не понятно

tonven в сообщении #1534907 писал(а):

Решение 3. До n результатов ситуация абсолютно симметрична. Возрастают только среднеквадратичное отклонение и дисперсия. Возьмём z=5, пользуясь универсальностью матрезультатов. Так что запрещает мне воспользоваться результатами 1 и 2 и утвердить выдачу ГСЧ2 после 5 дополнительных выдач $p=\frac{31}{32}$?
Объективно я понимаю, что предыдущие n выдач "размешивают" дополнительные $z=5$ результатов, но где найти строгое разъяснение данного феномена?

Ничего не понятно Можете подробнее все пояснить? А вероятность действительно всегда будет $0.5$

[mihaild]

tonven в сообщении #1534920 писал(а):

Извиняюсь за необоснование

Не в обоснованиях вопрос. Прежде чем что-то обосновывать, нужно что-то сформулировать, а тут формулировка утверждения непонятная.

Сформулируйте чётко условия и вопрос в общепринятых терминах.

tonven в сообщении #1534920 писал(а):

В формулировке чётко указано

tonven в сообщении #1534907 писал(а):

$z=1$.

Если в $z = 1$ подставить $z = 5$ то получится $5 = 1$. Вряд ли это то, что вы хотели.

[tonven]

Markus228 в сообщении #1534922 писал(а):

Давайте так. Ваши смайлики я считаю преждевременными до тех пор, пока меж нами не произошёл диалог. В идеале, там и смайликов не требуется, всё и так ясно.
Ну и предупреждаю, повторение подобного посылания вызовет с моей стороны жалобу администрации, а дальше пусть она сама рассудит, кто ей более интересен. Я нисколько не обижусь, если меня попросят с этого форума.

Markus228 в сообщении #1534922 писал(а):

А вероятность действительно всегда будет $0.5$

По теме. $N=1, Z=10$ Т.е. ГСЧ1 выдал один результат, а ГСЧ2 - 11. Моей эстонской мордой видится, что вероятность "число единиц в ГСЧ2 > чем в ГСЧ1">$\frac{1}{2}$

-- 14.10.2021, 18:28 --

[zykov]

если $z>1$, то конечно вероятность больше $1/2$
а если $z=1$, то вероятность равна $1/2$ независимо от $n$

[tonven]

,,,,

zykov в сообщении #1534929 писал(а):

если $z=1$, то вероятность равна $1/2$ независимо от $n$

Вот обоснование этого, далеко не тривиального, тезиса, я и хотела в моём стартовом посте увидеть.
Скорее, конечно, более сложную конструкцию, чем $p=\frac{k}{n}$

[tolstopuz]

Классический способ решения такой.

Рассмотрим, каким может быть результат сравнения $n$ значений ГСЧ1 и $n$ значений ГСЧ2. Тут возможны три варианта:

1. У ГСЧ1 единиц больше. Вероятность этого обозначим $p$. Чему равно $p$, считать пока не будем, вдруг не пригодится.
2. У ГСЧ2 единиц больше. За счет симметрии вероятность этого тоже $p$.
3. Единиц поровну. Очевидно, вероятность этого $1-2p$.

Теперь в каждом из вариантов рассмотрим по две возможности $(n+1)$-го числа от ГСЧ2, аккуратно подставим в формулу полной вероятности и с удовлетворением увидим, что ответ не зависит от $p$. Далее разберемся, почему при $z>1$ этот способ не работает.

Есть еще один способ, использующий забавный трюк. Он обобщается на случай $z>1$ и существенным образом использует равновероятность $0$ и $1$. Если интересует, расскажу.

[tonven]

mihaild в сообщении #1534923 писал(а):

Сформулируйте чётко условия и вопрос в общепринятых терминах.

Формально-строго у меня это не получится, Потому на словах.
Я привела строгое обоснование вероятности при малых значениях n. Даже при больших z эта формулировка вопросов не вызвала.
Теперь рассмотрим большой n и значительный, в пределах 10, z. Интуитивно понимается, что p будет стремиться к 0.5.
Но строгое рассмотрение с точки зрения ТВ говорит нам, что при $z=5$[/math вероятность выигрыша возрастёт до [math]$\frac{31}{32}$

[Markus228]

(Оффтоп)

zykov в сообщении #1534929 писал(а):

Давайте так. Ваши смайлики я считаю преждевременными до тех пор, пока меж нами не произошёл диалог. В идеале, там и смайликов не требуется, всё и так ясно.

Давайте. Только если вы знали, смайлики в онлайн-общении являются полноправным инструментом, выражающие эмоциональную составляющую, которую трудно передать словами.

tonven в сообщении #1534928 писал(а):

Ну и предупреждаю, повторение подобного посылания вызовет с моей стороны жалобу администрации, а дальше пусть она сама рассудит, кто ей более интересен. Я нисколько не обижусь, если меня попросят с этого форума.

Если у комплексы насчет смайликов, просто не пользуйтесь интернетом, а общайтесь irl

tonven в сообщении #1534928 писал(а):

По теме. $N=1, Z=10$ Т.е. ГСЧ1 выдал один результат, а ГСЧ2 - 11. Моей эстонской мордой видится, что вероятность "число единиц в ГСЧ2 > чем в ГСЧ1">

Да, разумеется я имел ввиду $z=1$, если $z>1$ то и $p>0.5$

tonven в сообщении #1534930 писал(а):

Вот обоснование этого, далеко не тривиального, тезиса, я и хотела в моём стартовом посте увидеть.

Просто посчитайте число различных комбинаций с фиксированным числом единиц, это будет выражаться через $C_{n}^{k}$