2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Симметрия против дисперсии, или Что победит.
Сообщение14.10.2021, 12:43 
Аватара пользователя


06/04/21
134
Есть 2 датчика случайных чисел, настроенных с равной вероятностью выдавать 0 и 1.
$z=1$.
ГСЧ1 имеет n результатов, ГСЧ2 - $(n+z)$ результатов.
Какова вероятность, что ГСЧ2 опередит ГСЧ1 по числу единиц?
Решение 1. Для определённости выберем $n=1, z=1$. Возникает $2^{2\cdot n+1}=8$ вариантов. Здесь первая цифра - выдача ГСЧ1, 2-3-я - выдача ГСЧ2:
$0-00$
$0-01$
$0-10$
$0-11$
$1-00$
$1-01$
$1-10$
$1-11$
Успешных попыток 4. Вероятность $p=\frac{1}{2}$
Решение 2. У ГСЧ2 после испытания будет либо больше 0, либо больше 1 с $pC=1$. Считая, что оба ГСЧ "хорошие", получаем $p=\frac{1}{2}$
Всё пока хорошо.
Решение 3. До n результатов ситуация абсолютно симметрична. Возрастают только среднеквадратичное отклонение и дисперсия. Возьмём z=5, пользуясь универсальностью матрезультатов. Так что запрещает мне воспользоваться результатами 1 и 2 и утвердить выдачу ГСЧ2 после 5 дополнительных выдач $p=\frac{31}{32}$?
Объективно я понимаю, что предыдущие n выдач "размешивают" дополнительные $z=5$ результатов, но где найти строгое разъяснение данного феномена?

 Профиль  
                  
 
 Re: Симметрия против дисперсии, или Что победит.
Сообщение14.10.2021, 13:19 


18/09/21
835
tonven в сообщении #1534907 писал(а):
Есть 2 датчика случайных чисел, настроенных с равной вероятностью выдавать 0 и 1.
Неоднозначно.
  1. "каждый генератор настроен выдавать как 0, так и 1 с одной и той же вероятностью - 50/50"
  2. "второй генератор настроен выдавать 0 с такой же вероятность как и первый генератор (и аналогично, выдавать 1) - не обязательно 50/50"

 Профиль  
                  
 
 Re: Симметрия против дисперсии, или Что победит.
Сообщение14.10.2021, 14:13 
Аватара пользователя


06/04/21
134
zykov
Нет, конечно. Вы взяли этот тезис неизвестно откуда. "Равная вероятность" это именно случайная величина.
Ну замените оба ГСЧ одним "правильным" игральным кубиком. Чётные у него это 0, нечётные - 1.
Мой тезис: при изменениях n дисперсия растёт, как квадрат n, а симметрия эксперимента постулирует $p=\frac{1}{2}^n$.
Рано или поздно они войдут в противоречие. Так аналитики данного феномена мне не встречалось. Это не доказательство "Вы все дураки", а вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Симметрия против дисперсии, или Что победит.
Сообщение14.10.2021, 14:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
3187
tonven в сообщении #1534907 писал(а):
пользуясь универсальностью матрезультатов.
Что такое "универсальность матрезультатов" и как этим пользоваться?

tonven в сообщении #1534907 писал(а):
воспользоваться результатами 1 и 2
Как именно Вы собираетесь пользоваться этими результатами?

tonven в сообщении #1534907 писал(а):
Так что запрещает мне воспользоваться результатами 1 и 2 и утвердить выдачу

Ничто не мешает - можете утверждать что угодно. Но это совершенно необязательно будут истинные утверждения. Но даже если они, случайно, окажутся истинными, это не будет решением задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Симметрия против дисперсии, или Что победит.
Сообщение14.10.2021, 14:59 
Аватара пользователя


06/04/21
134
Я максимально стремилась к обоснованности тезисов. Пользоваться универсальностью так же, как я понимаю: в данном случае заменить z на конкретное 5 Прошу ответить на конкретный мой тезис.
2-й пункт. В предыдущих двух пунктах я сама не обнаружила противоречий, а извне встретила раздражённые вопросы.
3-й пункт предельно универсален, и поэтому я полностью согласна с его его утверждениями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Симметрия против дисперсии, или Что победит.
Сообщение14.10.2021, 15:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
5323
Москва
tonven в сообщении #1534907 писал(а):
У ГСЧ2 после испытания будет либо больше 0, либо больше 1 с $pC=1$.
Что вообще значит "с $pC = 1$"? Чисто синтаксически непонятно.
tonven в сообщении #1534916 писал(а):
в данном случае заменить z на конкретное 5
Где именно вы хотите заменить $z$ на $5$?

Вообще, в чем состоит вопрос? В стартовом посте есть нормально сформулированная задача - "с какой вероятностью что-то произойдет" и есть 3 пункта, каждый из которых озаглавлен "решение", но ни один из которых решением задачи не является.

 Профиль  
                  
 
 Re: Симметрия против дисперсии, или Что победит.
Сообщение14.10.2021, 16:21 
Аватара пользователя


06/04/21
134
mihaild в сообщении #1534919 писал(а):
Что вообще значит "с $pC = 1$"?

Извиняюсь за необоснование. Латинской С я заменила термин Common , то бишь "общий". Дальнейшее доказательство "у ГСЧ1 ВСЕГДА меньше либо 0, либо единиц", я считала излишним. Прошу ответить, хотя здесь это не очень принято.
В формулировке чётко указано
tonven в сообщении #1534907 писал(а):
$z=1$.
n я, действительно оставила неопределённым, представив для примера $n=1$но в дальнейшем конкретизировала его $n=5$

 Профиль  
                  
 
 Re: Симметрия против дисперсии, или Что победит.
Сообщение14.10.2021, 17:32 


12/08/21
197
tonven в сообщении #1534907 писал(а):
Успешных попыток 4.

Верно
tonven в сообщении #1534907 писал(а):
Решение 2. У ГСЧ2 после испытания будет либо больше 0, либо больше 1 с $pC=1$. Считая, что оба ГСЧ "хорошие", получаем $p=\frac{1}{2}$
Всё пока хорошо.

Ничего не понятно
tonven в сообщении #1534907 писал(а):
Решение 3. До n результатов ситуация абсолютно симметрична. Возрастают только среднеквадратичное отклонение и дисперсия. Возьмём z=5, пользуясь универсальностью матрезультатов. Так что запрещает мне воспользоваться результатами 1 и 2 и утвердить выдачу ГСЧ2 после 5 дополнительных выдач $p=\frac{31}{32}$?
Объективно я понимаю, что предыдущие n выдач "размешивают" дополнительные $z=5$ результатов, но где найти строгое разъяснение данного феномена?

Ничего не понятно :D Можете подробнее все пояснить? А вероятность действительно всегда будет $0.5$

 Профиль  
                  
 
 Re: Симметрия против дисперсии, или Что победит.
Сообщение14.10.2021, 17:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
5323
Москва
tonven в сообщении #1534920 писал(а):
Извиняюсь за необоснование
Не в обоснованиях вопрос. Прежде чем что-то обосновывать, нужно что-то сформулировать, а тут формулировка утверждения непонятная.

Сформулируйте чётко условия и вопрос в общепринятых терминах.
tonven в сообщении #1534920 писал(а):
В формулировке чётко указано
tonven в сообщении #1534907 писал(а):
$z=1$.
Если в $z = 1$ подставить $z = 5$ то получится $5 = 1$. Вряд ли это то, что вы хотели.

 Профиль  
                  
 
 Re: Симметрия против дисперсии, или Что победит.
Сообщение14.10.2021, 18:28 
Аватара пользователя


06/04/21
134
Markus228 в сообщении #1534922 писал(а):
:D

Давайте так. Ваши смайлики я считаю преждевременными до тех пор, пока меж нами не произошёл диалог. В идеале, там и смайликов не требуется, всё и так ясно.
Ну и предупреждаю, повторение подобного посылания вызовет с моей стороны жалобу администрации, а дальше пусть она сама рассудит, кто ей более интересен. Я нисколько не обижусь, если меня попросят с этого форума.
Markus228 в сообщении #1534922 писал(а):
А вероятность действительно всегда будет $0.5$

По теме. $N=1, Z=10$ Т.е. ГСЧ1 выдал один результат, а ГСЧ2 - 11. Моей эстонской мордой видится, что вероятность "число единиц в ГСЧ2 > чем в ГСЧ1">$\frac{1}{2}$

-- 14.10.2021, 18:28 --


 Профиль  
                  
 
 Re: Симметрия против дисперсии, или Что победит.
Сообщение14.10.2021, 18:41 


18/09/21
835
если $z>1$, то конечно вероятность больше $1/2$
а если $z=1$, то вероятность равна $1/2$ независимо от $n$

 Профиль  
                  
 
 Re: Симметрия против дисперсии, или Что победит.
Сообщение14.10.2021, 18:57 
Аватара пользователя


06/04/21
134
,,,,
zykov в сообщении #1534929 писал(а):
если $z=1$, то вероятность равна $1/2$ независимо от $n$

Вот обоснование этого, далеко не тривиального, тезиса, я и хотела в моём стартовом посте увидеть.
Скорее, конечно, более сложную конструкцию, чем $p=\frac{k}{n}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Симметрия против дисперсии, или Что победит.
Сообщение14.10.2021, 19:14 
Заслуженный участник


31/12/05
1193
Классический способ решения такой.

Рассмотрим, каким может быть результат сравнения $n$ значений ГСЧ1 и $n$ значений ГСЧ2. Тут возможны три варианта:

1. У ГСЧ1 единиц больше. Вероятность этого обозначим $p$. Чему равно $p$, считать пока не будем, вдруг не пригодится.
2. У ГСЧ2 единиц больше. За счет симметрии вероятность этого тоже $p$.
3. Единиц поровну. Очевидно, вероятность этого $1-2p$.

Теперь в каждом из вариантов рассмотрим по две возможности $(n+1)$-го числа от ГСЧ2, аккуратно подставим в формулу полной вероятности и с удовлетворением увидим, что ответ не зависит от $p$. Далее разберемся, почему при $z>1$ этот способ не работает.

Есть еще один способ, использующий забавный трюк. Он обобщается на случай $z>1$ и существенным образом использует равновероятность $0$ и $1$. Если интересует, расскажу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Симметрия против дисперсии, или Что победит.
Сообщение14.10.2021, 19:25 
Аватара пользователя


06/04/21
134
mihaild в сообщении #1534923 писал(а):
Сформулируйте чётко условия и вопрос в общепринятых терминах.

Формально-строго у меня это не получится, Потому на словах.
Я привела строгое обоснование вероятности при малых значениях n. Даже при больших z эта формулировка вопросов не вызвала.
Теперь рассмотрим большой n и значительный, в пределах 10, z. Интуитивно понимается, что p будет стремиться к 0.5.
Но строгое рассмотрение с точки зрения ТВ говорит нам, что при $z=5$[/math вероятность выигрыша возрастёт до [math]$\frac{31}{32}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Симметрия против дисперсии, или Что победит.
Сообщение14.10.2021, 19:29 


12/08/21
197

(Оффтоп)

zykov в сообщении #1534929 писал(а):
Давайте так. Ваши смайлики я считаю преждевременными до тех пор, пока меж нами не произошёл диалог. В идеале, там и смайликов не требуется, всё и так ясно.

Давайте. Только если вы знали, смайлики в онлайн-общении являются полноправным инструментом, выражающие эмоциональную составляющую, которую трудно передать словами.
tonven в сообщении #1534928 писал(а):
Ну и предупреждаю, повторение подобного посылания вызовет с моей стороны жалобу администрации, а дальше пусть она сама рассудит, кто ей более интересен. Я нисколько не обижусь, если меня попросят с этого форума.

:facepalm: Если у комплексы насчет смайликов, просто не пользуйтесь интернетом, а общайтесь irl

tonven в сообщении #1534928 писал(а):
По теме. $N=1, Z=10$ Т.е. ГСЧ1 выдал один результат, а ГСЧ2 - 11. Моей эстонской мордой видится, что вероятность "число единиц в ГСЧ2 > чем в ГСЧ1">

Да, разумеется я имел ввиду $z=1$, если $z>1$ то и $p>0.5$
tonven в сообщении #1534930 писал(а):
Вот обоснование этого, далеко не тривиального, тезиса, я и хотела в моём стартовом посте увидеть.

Просто посчитайте число различных комбинаций с фиксированным числом единиц, это будет выражаться через $C_{n}^{k}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group