2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 В чём разница между сходимостью и равномерной сходимостью?
Сообщение10.10.2021, 00:38 


19/11/20
126
Вот определение обычной сходимости:
$\forall x \in A \quad \forall \varepsilon > 0 \quad \exists N=N(x, \varepsilon) \in \mathbb{N} \quad \forall n > N \quad |r_n(x)| < \varepsilon$
Вот определение равномерной сходимости:
$\forall\varepsilon > 0\quad \exists N=N(\varepsilon) \in \mathbb{N} \quad \forall n > N \quad \forall x \in A \quad |r_n(x)| < \varepsilon$
Я не вижу принципиальной разницы. Написано то же самое, но в другом порядке, ну и $N$ не зависит от $x$. Для чего нужна вообще эта равномерная сходимость?

 Профиль  
                  
 
 Re: В чём разница между сходимостью и равномерной сходимостью?
Сообщение10.10.2021, 00:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
5184
Москва
Порядок кванторов очень важен. Сравните $\forall x \exists y: y > x$ и $\exists y \forall x: y > x$.
Для чего нужна - есть много полезных теорем. Например равномерно сходящаяся последовательность непрерывных функций обязательно сходится к непрерывной функции, а вот поточечно сходящаяся последовательность непрерывных функций может сходиться и к разрывной.

(Оффтоп)

Откуда вообще появилась традиция писать $\exists N = N(\varepsilon)$? Совершенно бесполезно же, а выглядит ужасно.

 Профиль  
                  
 
 Re: В чём разница между сходимостью и равномерной сходимостью?
Сообщение10.10.2021, 09:10 


18/09/21
676
В первом случае $N=N(x, \varepsilon)$ - $N$ зависит от $x$. Т.е. $N$ для каждого $x$ своё.
Во втором случае $N=N(\varepsilon)$ - $N$ на зависит от $x$. Т.е. $N$ одно сразу для всех $x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: В чём разница между сходимостью и равномерной сходимостью?
Сообщение10.10.2021, 09:54 
Аватара пользователя


11/12/16
9870
уездный город Н
Kevsh
Чтобы "прочувствовать" вот это:
mihaild в сообщении #1534446 писал(а):
Например равномерно сходящаяся последовательность непрерывных функций обязательно сходится к непрерывной функции, а вот поточечно сходящаяся последовательность непрерывных функций может сходиться и к разрывной.

Попробуйте разобрать такую задачу:
Есть последовательность функций $f_n(x) = x^{\frac{1}{2n+1}}$
а) докажите, что на $[-1,1]$ она сходится ("обычно", поточечно) к $f=sign(x)$
б) докажите, что условие равномерной сходимости нарушается в нуле.

 Профиль  
                  
 
 Re: В чём разница между сходимостью и равномерной сходимостью?
Сообщение10.10.2021, 11:48 


16/04/18
869
Не такой глупый вопрос для человека, который начинает разбираться в этих определениях.
Взрослый ответ такой. Равномерная сходимость "более правильная", чем поточечная. Потому что равномерная сходимость порождается нормой в естественном пространстве непрерывных функций, а поточечная не порождается ничем (она не может быть порождена ни некоторой нормой в любом пространстве, ни метрикой, ни даже топологией).

 Профиль  
                  
 
 Re: В чём разница между сходимостью и равномерной сходимостью?
Сообщение10.10.2021, 12:49 
Аватара пользователя


11/12/16
9870
уездный город Н
EUgeneUS в сообщении #1534458 писал(а):
б) докажите, что условие равномерной сходимости нарушается в нуле.

В ЛС мне поставили на вид, что некорректно говорить о равномерной сходимости в точке. Что, конечно же, верно, а моя формулировка неудачная.
Имелось в виду:
а) если отрезок, на котором рассматриваем функции, содержит ноль, то равномерной сходимости нет.
б) если не содержит, то последовательность функций сходится равномерно.

Также указали на сложность примера. Возможно, этот будет проще:

$$f_n(x)=\begin{cases}
nx,&\text{если $x \in [-1/n, 1/n]$}\\
1,&\text{если $x \notin [-1/n, 1/n]$}
\end{cases}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: В чём разница между сходимостью и равномерной сходимостью?
Сообщение10.10.2021, 13:13 
Заслуженный участник


20/12/10
8309
EUgeneUS в сообщении #1534478 писал(а):
Также указали на сложность примера.
Да уж, для иллюстрации определения можно было бы взять последовательность $f_n(x)=x^n$ на отрезке $[0,1]$. (Кажется, именно такой пример есть в "Курсе математического анализа" Кудрявцева.)

 Профиль  
                  
 
 Re: В чём разница между сходимостью и равномерной сходимостью?
Сообщение10.10.2021, 13:22 
Заслуженный участник


09/05/13
8515
Для иллюстрации можно и совсем простой.
Пусть $f_n(x)=\dfrac{x}{n}$.
Сходится ли он поточечно/равномерно на
1) отрезке $[-1,1]$
2) отрезке $[-100,100]$
3) всей прямой.
А чтобы понять, почему ответы разные (а они разные), лучше всего нарисовать это семейство функций, и как будет выглядеть равномерная сходимость (когда она есть), и что будет происходить, когда ее нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: В чём разница между сходимостью и равномерной сходимостью?
Сообщение10.10.2021, 19:39 


19/11/20
126
mihaild
Когда нам читают лекции, говорят что-то типо "для любого $N$, который, вообще говоря, зависит от $\varepsilon$". Может быть это у нас так в университете принято, потому что уже третьего преподавателя вижу, который так пишет и говорит. У моего друга из другого университета, допустим, так не делают.

 Профиль  
                  
 
 Re: В чём разница между сходимостью и равномерной сходимостью?
Сообщение10.10.2021, 20:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
3920
Kevsh в сообщении #1534523 писал(а):
Когда нам читают лекции, говорят что-то типо "для любого $N$, который, вообще говоря, зависит от $\varepsilon$". Может быть это у нас так в университете принято, потому что уже третьего преподавателя вижу, который так пишет и говорит. У моего друга из другого университета, допустим, так не делают.
Здесь всё просто: если переменная стоит после квантора $\exists$, то она автоматически, просто по смыслу такой записи, зависит от переменных, вводимых ранее стоящими кванторами $\forall$. Поэтому
Kevsh в сообщении #1534443 писал(а):
Вот определение обычной сходимости:
$\forall x \in A \quad \forall \varepsilon > 0 \quad \exists N=N(x, \varepsilon) \in \mathbb{N} \quad \forall n > N \quad |r_n(x)| < \varepsilon$
здесь $N$ зависит от $x$ и $\varepsilon$,
Kevsh в сообщении #1534443 писал(а):
Вот определение равномерной сходимости:
$\forall\varepsilon > 0\quad \exists N=N(\varepsilon) \in \mathbb{N} \quad \forall n > N \quad \forall x \in A \quad |r_n(x)| < \varepsilon$
а здесь только от $\varepsilon$. Если это один раз объяснить, то можно после этого каждый раз не говорить
Kevsh в сообщении #1534523 писал(а):
который, вообще говоря, зависит от
и даже не уточнять $N=N(\varepsilon)$ или $N=N(x,\varepsilon)$, просто писать $\exists N$ и всё.

Без рисунков тут не обойтись, если хотите понять разницу. Разберите примеры, которые здесь Вам посоветовали, или найдите поиском "пример последовательности функций, сходящейся поточечно, но не равномерно". И обязательно нарисуйте графики функций из этой последовательности.

Если $\{f_n\}\to f$ равномерно, то это вот что значит. Можно нарисовать график функции $f$, взять любое сколь угодно малое $\varepsilon>0$, сдвинуть этот график на $\varepsilon$ вверх и на $\varepsilon$ вниз - получится полоса вокруг этого графика. Так вот, найдётся номер $N$ (для больших $\varepsilon$ он будет поменьше, для маленьких побольше), такой что графики всех функций $f_{N+1}$, $f_{N+2}$, $\ldots$ будут лежать в этой полосе. То есть для любого $x$, значения $f_n(x)$ где $n>N$, будут отличаться от значения $f(x)$ менее чем на $\varepsilon$.

Если $\{f_n\}\to f$ поточечно, то для каждой точки $x$ в отдельности, $f_n(x)$ будет неограниченно приближаться к $f(x)$ при увеличении $n$, но, вообще говоря, с разной скоростью: для одних точек $x$ быстрее, для других медленнее. И может случиться так, что ни при каком $n$ графики функций $f_n$ не войдут целиком в $\varepsilon$-полосу вокруг графика $f$ - потому что при любом $n$ будут оставаться "отстающие" точки $x$, в которых $f_n(x)$ ещё не успела приблизиться к $f(x)$ на расстояние $\varepsilon$.

 Профиль  
                  
 
 Re: В чём разница между сходимостью и равномерной сходимостью?
Сообщение11.10.2021, 11:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1305
Антарктика
Kevsh
Ещё хорошая пара примеров $f_n(x)=\dfrac{nx}{1+n^2x^2}$ и $g_n(x)=\dfrac{x}{1+n^2x^2}$, $x\in[0,1]$. Посмотрите, как ведут себя графики при разных $n$ в одной системе координат отдельно для $f_n$ и отдельно для $g_n$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group