В чём разница между сходимостью и равномерной сходимостью?

[Kevsh]

Вот определение обычной сходимости:
$\forall x \in A \quad \forall \varepsilon > 0 \quad \exists N=N(x, \varepsilon) \in \mathbb{N} \quad \forall n > N \quad |r_n(x)| < \varepsilon$
Вот определение равномерной сходимости:
$\forall\varepsilon > 0\quad \exists N=N(\varepsilon) \in \mathbb{N} \quad \forall n > N \quad \forall x \in A \quad |r_n(x)| < \varepsilon$
Я не вижу принципиальной разницы. Написано то же самое, но в другом порядке, ну и $N$ не зависит от $x$. Для чего нужна вообще эта равномерная сходимость?

[mihaild]

Порядок кванторов очень важен. Сравните $\forall x \exists y: y > x$ и $\exists y \forall x: y > x$.
Для чего нужна - есть много полезных теорем. Например равномерно сходящаяся последовательность непрерывных функций обязательно сходится к непрерывной функции, а вот поточечно сходящаяся последовательность непрерывных функций может сходиться и к разрывной.

(Оффтоп)

Откуда вообще появилась традиция писать $\exists N = N(\varepsilon)$? Совершенно бесполезно же, а выглядит ужасно.

[zykov]

В первом случае $N=N(x, \varepsilon)$ - $N$ зависит от $x$. Т.е. $N$ для каждого $x$ своё.
Во втором случае $N=N(\varepsilon)$ - $N$ на зависит от $x$. Т.е. $N$ одно сразу для всех $x$.

[EUgeneUS]

Kevsh
Чтобы "прочувствовать" вот это:

mihaild в сообщении #1534446 писал(а):

Например равномерно сходящаяся последовательность непрерывных функций обязательно сходится к непрерывной функции, а вот поточечно сходящаяся последовательность непрерывных функций может сходиться и к разрывной.

Попробуйте разобрать такую задачу:
Есть последовательность функций $f_n(x) = x^{\frac{1}{2n+1}}$
а) докажите, что на $[-1,1]$ она сходится ("обычно", поточечно) к $f=sign(x)$
б) докажите, что условие равномерной сходимости нарушается в нуле.

[novichok2018]

Не такой глупый вопрос для человека, который начинает разбираться в этих определениях.
Взрослый ответ такой. Равномерная сходимость "более правильная", чем поточечная. Потому что равномерная сходимость порождается нормой в естественном пространстве непрерывных функций, а поточечная не порождается ничем (она не может быть порождена ни некоторой нормой в любом пространстве, ни метрикой, ни даже топологией).

[EUgeneUS]

EUgeneUS в сообщении #1534458 писал(а):

б) докажите, что условие равномерной сходимости нарушается в нуле.

В ЛС мне поставили на вид, что некорректно говорить о равномерной сходимости в точке. Что, конечно же, верно, а моя формулировка неудачная.
Имелось в виду:
а) если отрезок, на котором рассматриваем функции, содержит ноль, то равномерной сходимости нет.
б) если не содержит, то последовательность функций сходится равномерно.

Также указали на сложность примера. Возможно, этот будет проще:

$$f_n(x)=\begin{cases} nx,&\text{если $x \in [-1/n, 1/n]$}\\ 1,&\text{если $x \notin [-1/n, 1/n]$} \end{cases}$$

[nnosipov]

EUgeneUS в сообщении #1534478 писал(а):

Также указали на сложность примера.

Да уж, для иллюстрации определения можно было бы взять последовательность $f_n(x)=x^n$ на отрезке $[0,1]$. (Кажется, именно такой пример есть в "Курсе математического анализа" Кудрявцева.)

[Otta]

Для иллюстрации можно и совсем простой.
Пусть $f_n(x)=\dfrac{x}{n}$.
Сходится ли он поточечно/равномерно на
1) отрезке $[-1,1]$
2) отрезке $[-100,100]$
3) всей прямой.
А чтобы понять, почему ответы разные (а они разные), лучше всего нарисовать это семейство функций, и как будет выглядеть равномерная сходимость (когда она есть), и что будет происходить, когда ее нет.

[Kevsh]

mihaild
Когда нам читают лекции, говорят что-то типо "для любого $N$, который, вообще говоря, зависит от $\varepsilon$". Может быть это у нас так в университете принято, потому что уже третьего преподавателя вижу, который так пишет и говорит. У моего друга из другого университета, допустим, так не делают.

[Mikhail_K]

Kevsh в сообщении #1534523 писал(а):

Когда нам читают лекции, говорят что-то типо "для любого $N$, который, вообще говоря, зависит от $\varepsilon$". Может быть это у нас так в университете принято, потому что уже третьего преподавателя вижу, который так пишет и говорит. У моего друга из другого университета, допустим, так не делают.

Здесь всё просто: если переменная стоит после квантора $\exists$, то она автоматически, просто по смыслу такой записи, зависит от переменных, вводимых ранее стоящими кванторами $\forall$. Поэтому

Kevsh в сообщении #1534443 писал(а):

Вот определение обычной сходимости:
$\forall x \in A \quad \forall \varepsilon > 0 \quad \exists N=N(x, \varepsilon) \in \mathbb{N} \quad \forall n > N \quad |r_n(x)| < \varepsilon$

здесь $N$ зависит от $x$ и $\varepsilon$,

Kevsh в сообщении #1534443 писал(а):

Вот определение равномерной сходимости:
$\forall\varepsilon > 0\quad \exists N=N(\varepsilon) \in \mathbb{N} \quad \forall n > N \quad \forall x \in A \quad |r_n(x)| < \varepsilon$

а здесь только от $\varepsilon$. Если это один раз объяснить, то можно после этого каждый раз не говорить

Kevsh в сообщении #1534523 писал(а):

который, вообще говоря, зависит от

и даже не уточнять $N=N(\varepsilon)$ или $N=N(x,\varepsilon)$, просто писать $\exists N$ и всё.

Без рисунков тут не обойтись, если хотите понять разницу. Разберите примеры, которые здесь Вам посоветовали, или найдите поиском "пример последовательности функций, сходящейся поточечно, но не равномерно". И обязательно нарисуйте графики функций из этой последовательности.

Если $\{f_n\}\to f$ равномерно, то это вот что значит. Можно нарисовать график функции $f$, взять любое сколь угодно малое $\varepsilon>0$, сдвинуть этот график на $\varepsilon$ вверх и на $\varepsilon$ вниз - получится полоса вокруг этого графика. Так вот, найдётся номер $N$ (для больших $\varepsilon$ он будет поменьше, для маленьких побольше), такой что графики всех функций $f_{N+1}$, $f_{N+2}$, $\ldots$ будут лежать в этой полосе. То есть для любого $x$, значения $f_n(x)$ где $n>N$, будут отличаться от значения $f(x)$ менее чем на $\varepsilon$.

Если $\{f_n\}\to f$ поточечно, то для каждой точки $x$ в отдельности, $f_n(x)$ будет неограниченно приближаться к $f(x)$ при увеличении $n$, но, вообще говоря, с разной скоростью: для одних точек $x$ быстрее, для других медленнее. И может случиться так, что ни при каком $n$ графики функций $f_n$ не войдут целиком в $\varepsilon$-полосу вокруг графика $f$ - потому что при любом $n$ будут оставаться "отстающие" точки $x$, в которых $f_n(x)$ ещё не успела приблизиться к $f(x)$ на расстояние $\varepsilon$.

[thething]

Kevsh
Ещё хорошая пара примеров $f_n(x)=\dfrac{nx}{1+n^2x^2}$ и $g_n(x)=\dfrac{x}{1+n^2x^2}$, $x\in[0,1]$. Посмотрите, как ведут себя графики при разных $n$ в одной системе координат отдельно для $f_n$ и отдельно для $g_n$.