Найти функцию с заданными свойствами

[reterty]

Пусть $f(\alpha)$ монотонно убывающая (первое условие) функция от угла $\alpha$ на промежутке $[0; \pi/2]$. Кроме того, известно, что: $f(0)=1$, $f(\pi/2)=k$ ($0<k<1$) (второе условие). Нужно найти такую функцию, если известно, что на концах интервала ее производная обращается в нуль (третье условие). Легче всего удовлетворить второму условию. К примеру: $f(\alpha) =k\sin\alpha+\cos\alpha$. Однако, данная функция не удовлетворяет двум другим условиям. Буду благодарен, если кто-то подскажет вид функции, удовлетворяющей всем трем условиям.

[maxmatem]

А задача корректна ? Вы уверены что такая функция существует ?

[lel0lel]

Например косинус удвоенного угла. Конечно, его нужно на кое-что домножить и кое-что прибавить.

[reterty]

Эти условия составлены из физических соображений (физической задачи)

[zykov]

$$1+(\cos(2x)-1)(1-k)/2$$

[reterty]

Спасибо всем! Проблема решена!

[wrest]

Ну если по рабоче-крестьянски (производная это многочлен, имеет два нуля и постоянный знак между ними -> это парабола, значит искомая функция -> это кубическая парабола), то как-то так:
$f(\alpha)=\dfrac{4}{\pi^3}(1-k)\alpha^2\left(4\alpha-3\pi\right)+1$

[Aritaborian]

reterty в сообщении #1534210 писал(а):

Эти условия составлены из физических соображений (физической задачи)

reterty в сообщении #1534212 писал(а):

Спасибо всем! Проблема решена!

Было бы чертовски здорово услышать от вас как исходную постановку задачи, так и найденное решение.

[reterty]

Aritaborian в сообщении #1534261 писал(а):

Было бы чертовски здорово услышать от вас как исходную постановку задачи, так и найденное решение.

Да, конечно. Проблема касается распределения давления в сыпучих (гранулированных) телах. Как известно, твердые тела передают внешенее давление лишь в направлении действия внешнего возмущения. Жидкости передают внешнее давление по всем направлениям одинаково. Гранулированные материалы занимают в этом смысле промежуточное положение между твердыми телами и жидкостями. Выделим на определенной глубине слоя гранулированного материала некоторую инфинитезимальную площадку, составляющую острый угол $\alpha$ с горизонтом.и запишем: $p(\alpha)=f(\alpha) p_v$, где $p_v$ -вертикальное давление на данной глубине. Так вот, $f(\alpha)$ и есть та самая однопараметрическая модельная функция, описанная в стартовом топике. Единственный подгоночный эмпирический параметр в данной модели $k=f(\pi/2)$.

[ozheredov]

wrest в сообщении #1534260 писал(а):

:mrgreen:

А чего -то? Мне Ваша функция нравится больше всех (условия, разумеется, не проверял).

reterty
Как Вы будете выбирать между тем, что предлагает zykov, тем, что предлагает wrest, и ещё десятью тысячами шаблонов, которые наверняка существуют?

[zykov]

Косинус - аналитическая функция.
Можно было бы просто сшить гладко две параболы. (Такой кусочный вариант - не аналитический.)

[ozheredov]

zykov в сообщении #1534372 писал(а):

не аналитический

А есть разница (с т.зрения постановки задачи reterty)?

[Aritaborian]

reterty, спасибо!