2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти функцию с заданными свойствами
Сообщение07.10.2021, 18:54 
Аватара пользователя


08/10/09
540
Херсон
Пусть $f(\alpha)$ монотонно убывающая (первое условие) функция от угла $\alpha$ на промежутке $[0; \pi/2]$. Кроме того, известно, что: $f(0)=1$, $f(\pi/2)=k$ ($0<k<1$) (второе условие). Нужно найти такую функцию, если известно, что на концах интервала ее производная обращается в нуль (третье условие). Легче всего удовлетворить второму условию. К примеру: $f(\alpha) =k\sin\alpha+\cos\alpha$. Однако, данная функция не удовлетворяет двум другим условиям. Буду благодарен, если кто-то подскажет вид функции, удовлетворяющей всем трем условиям.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти функцию с заданными свойствами
Сообщение07.10.2021, 19:00 
Аватара пользователя


15/08/09
1437
МГУ
А задача корректна ? Вы уверены что такая функция существует ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти функцию с заданными свойствами
Сообщение07.10.2021, 19:03 


20/04/10
1247
Русь
Например косинус удвоенного угла. Конечно, его нужно на кое-что домножить и кое-что прибавить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти функцию с заданными свойствами
Сообщение07.10.2021, 19:05 
Аватара пользователя


08/10/09
540
Херсон
Эти условия составлены из физических соображений (физической задачи)

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти функцию с заданными свойствами
Сообщение07.10.2021, 19:07 


18/09/21
676
$$1+(\cos(2x)-1)(1-k)/2$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти функцию с заданными свойствами
Сообщение07.10.2021, 19:14 
Аватара пользователя


08/10/09
540
Херсон
Спасибо всем! Проблема решена!

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти функцию с заданными свойствами
Сообщение08.10.2021, 10:49 


05/09/16
9460
Ну если по рабоче-крестьянски (производная это многочлен, имеет два нуля и постоянный знак между ними -> это парабола, значит искомая функция -> это кубическая парабола), то как-то так:
$f(\alpha)=\dfrac{4}{\pi^3}(1-k)\alpha^2\left(4\alpha-3\pi\right)+1$
:mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти функцию с заданными свойствами
Сообщение08.10.2021, 10:53 
Аватара пользователя


11/06/12
9913
лучший.магия.интрига
reterty в сообщении #1534210 писал(а):
Эти условия составлены из физических соображений (физической задачи)
reterty в сообщении #1534212 писал(а):
Спасибо всем! Проблема решена!
Было бы чертовски здорово услышать от вас как исходную постановку задачи, так и найденное решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти функцию с заданными свойствами
Сообщение09.10.2021, 13:53 
Аватара пользователя


08/10/09
540
Херсон
Aritaborian в сообщении #1534261 писал(а):
Было бы чертовски здорово услышать от вас как исходную постановку задачи, так и найденное решение.
Да, конечно. Проблема касается распределения давления в сыпучих (гранулированных) телах. Как известно, твердые тела передают внешенее давление лишь в направлении действия внешнего возмущения. Жидкости передают внешнее давление по всем направлениям одинаково. Гранулированные материалы занимают в этом смысле промежуточное положение между твердыми телами и жидкостями. Выделим на определенной глубине слоя гранулированного материала некоторую инфинитезимальную площадку, составляющую острый угол $\alpha$ с горизонтом.и запишем: $p(\alpha)=f(\alpha) p_v$, где $p_v$ -вертикальное давление на данной глубине. Так вот, $f(\alpha)$ и есть та самая однопараметрическая модельная функция, описанная в стартовом топике. Единственный подгоночный эмпирический параметр в данной модели $k=f(\pi/2)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти функцию с заданными свойствами
Сообщение09.10.2021, 14:03 


10/03/16
2098
Aeroport
wrest в сообщении #1534260 писал(а):
:mrgreen:


А чего :mrgreen: -то? Мне Ваша функция нравится больше всех (условия, разумеется, не проверял).

reterty
Как Вы будете выбирать между тем, что предлагает zykov, тем, что предлагает wrest, и ещё десятью тысячами шаблонов, которые наверняка существуют?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти функцию с заданными свойствами
Сообщение09.10.2021, 14:05 


18/09/21
676
Косинус - аналитическая функция.
Можно было бы просто сшить гладко две параболы. (Такой кусочный вариант - не аналитический.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти функцию с заданными свойствами
Сообщение09.10.2021, 14:08 


10/03/16
2098
Aeroport
zykov в сообщении #1534372 писал(а):
не аналитический

А есть разница (с т.зрения постановки задачи reterty)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти функцию с заданными свойствами
Сообщение09.10.2021, 14:09 
Аватара пользователя


11/06/12
9913
лучший.магия.интрига
reterty, спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group