2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти функцию с заданными свойствами
Сообщение07.10.2021, 18:54 
Аватара пользователя


08/10/09
540
Херсон
Пусть $f(\alpha)$ монотонно убывающая (первое условие) функция от угла $\alpha$ на промежутке $[0; \pi/2]$. Кроме того, известно, что: $f(0)=1$, $f(\pi/2)=k$ ($0<k<1$) (второе условие). Нужно найти такую функцию, если известно, что на концах интервала ее производная обращается в нуль (третье условие). Легче всего удовлетворить второму условию. К примеру: $f(\alpha) =k\sin\alpha+\cos\alpha$. Однако, данная функция не удовлетворяет двум другим условиям. Буду благодарен, если кто-то подскажет вид функции, удовлетворяющей всем трем условиям.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти функцию с заданными свойствами
Сообщение07.10.2021, 19:00 
Аватара пользователя


15/08/09
1437
МГУ
А задача корректна ? Вы уверены что такая функция существует ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти функцию с заданными свойствами
Сообщение07.10.2021, 19:03 


20/04/10
1247
Русь
Например косинус удвоенного угла. Конечно, его нужно на кое-что домножить и кое-что прибавить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти функцию с заданными свойствами
Сообщение07.10.2021, 19:05 
Аватара пользователя


08/10/09
540
Херсон
Эти условия составлены из физических соображений (физической задачи)

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти функцию с заданными свойствами
Сообщение07.10.2021, 19:07 


18/09/21
676
$$1+(\cos(2x)-1)(1-k)/2$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти функцию с заданными свойствами
Сообщение07.10.2021, 19:14 
Аватара пользователя


08/10/09
540
Херсон
Спасибо всем! Проблема решена!

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти функцию с заданными свойствами
Сообщение08.10.2021, 10:49 


05/09/16
9460
Ну если по рабоче-крестьянски (производная это многочлен, имеет два нуля и постоянный знак между ними -> это парабола, значит искомая функция -> это кубическая парабола), то как-то так:
$f(\alpha)=\dfrac{4}{\pi^3}(1-k)\alpha^2\left(4\alpha-3\pi\right)+1$
:mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти функцию с заданными свойствами
Сообщение08.10.2021, 10:53 
Аватара пользователя


11/06/12
9913
лучший.магия.интрига
reterty в сообщении #1534210 писал(а):
Эти условия составлены из физических соображений (физической задачи)
reterty в сообщении #1534212 писал(а):
Спасибо всем! Проблема решена!
Было бы чертовски здорово услышать от вас как исходную постановку задачи, так и найденное решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти функцию с заданными свойствами
Сообщение09.10.2021, 13:53 
Аватара пользователя


08/10/09
540
Херсон
Aritaborian в сообщении #1534261 писал(а):
Было бы чертовски здорово услышать от вас как исходную постановку задачи, так и найденное решение.
Да, конечно. Проблема касается распределения давления в сыпучих (гранулированных) телах. Как известно, твердые тела передают внешенее давление лишь в направлении действия внешнего возмущения. Жидкости передают внешнее давление по всем направлениям одинаково. Гранулированные материалы занимают в этом смысле промежуточное положение между твердыми телами и жидкостями. Выделим на определенной глубине слоя гранулированного материала некоторую инфинитезимальную площадку, составляющую острый угол $\alpha$ с горизонтом.и запишем: $p(\alpha)=f(\alpha) p_v$, где $p_v$ -вертикальное давление на данной глубине. Так вот, $f(\alpha)$ и есть та самая однопараметрическая модельная функция, описанная в стартовом топике. Единственный подгоночный эмпирический параметр в данной модели $k=f(\pi/2)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти функцию с заданными свойствами
Сообщение09.10.2021, 14:03 


10/03/16
2098
Aeroport
wrest в сообщении #1534260 писал(а):
:mrgreen:


А чего :mrgreen: -то? Мне Ваша функция нравится больше всех (условия, разумеется, не проверял).

reterty
Как Вы будете выбирать между тем, что предлагает zykov, тем, что предлагает wrest, и ещё десятью тысячами шаблонов, которые наверняка существуют?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти функцию с заданными свойствами
Сообщение09.10.2021, 14:05 


18/09/21
676
Косинус - аналитическая функция.
Можно было бы просто сшить гладко две параболы. (Такой кусочный вариант - не аналитический.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти функцию с заданными свойствами
Сообщение09.10.2021, 14:08 


10/03/16
2098
Aeroport
zykov в сообщении #1534372 писал(а):
не аналитический

А есть разница (с т.зрения постановки задачи reterty)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти функцию с заданными свойствами
Сообщение09.10.2021, 14:09 
Аватара пользователя


11/06/12
9913
лучший.магия.интрига
reterty, спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group