Функциональное уравнение (Кудрявцев)

[Nemiroff]

Вот тут
https://math.stackexchange.com/q/1570978
есть доказательство, что функция представима в виде $f(x) = \dfrac{h(x)+h(-x)}{2}$, а $h$ при этом удовлетворяет уравнению $h(x+y)=h(x)h(y)$.

Последнее уравнение среди непрерывных функций -- это нуль и все экспоненты.

[novichok2018]

Фихтенгольц, т.1, с. 160-162.

-- 05.10.2021, 15:45 --

Мне кажется, что все подобные вопросы рассмотрены также в книге Ацеля по функциональным уравнениям. Есть и другие.

[Евгений Машеров]

Ацел и Домбр. Гл. 8, стр. 98 и далее.
https://www.twirpx.org/file/1508413/

[artempalkin]

mihiv в сообщении #1534017 писал(а):

Для пункта 1 можно доказать периодичность $f(x)$.
Пусть при некотором $y_0,f(y_0)=0$ тогда $f(x+y_0)=-f(x-y_0)$ или $f(t+2y_0)=-f(t)\eqno (1)$ (обозначили $t=x-y_0$).
Положим в (1) $t=z+2y_0$, получим $f(z+4y_0)=-f(z+2y_0)=f(z)$. То есть период $f(x)$ равен $T=4y_0$.

Интересная идея! Только откуда следует, что существует такое $y_0$, что $f(y_0)=0$?

-- 05.10.2021, 17:06 --

Nemiroff в сообщении #1534035 писал(а):

Последнее уравнение среди непрерывных функций -- это нуль и все экспоненты.

Ага, но это тоже нужно доказывать. Плюс мы переходим в комплексный мир, нам такое определение косинуса еще точно неизвестно. Но в целом - спасибо за наводку, попробую изучить!

[mihiv]

artempalkin в сообщении #1534049 писал(а):

откуда следует, что существует такое $y_0$, что $f(y_0)=0$?

Да, это дополнительное условие.

[artempalkin]

Null в сообщении #1534009 писал(а):

Ну как минимум надо бы доказать что если $f(x)=\cos(\alpha)/\ch(\alpha)$, то $f(nx)=\cos(n\alpha)/\ch(n\alpha)$(это не деление).
Потом вычислить $f(\frac{x}{2})$(в первом пункте 2 варианта).
Потом вычислить $f(\frac{x}{2^k})$(в 1ом пункте тут нужна непрерывность, т.е. что функция положительна в окрестности 0).
Ну а дальше продолжаем по непрерывности с двоично-рациональных чисел.

Это и есть доказательство Фихтенгольца

[novichok2018]

Ацеля мне больше нравится первая книжка, в ней проще искать информацию и она лучше отобрана, кажется.
János Aczél, Lectures on Functional Equations and Their Applications, Academic Press, 1966.