Про dx/dy dy/dz dz/dx=-1

[metelev]

Хочется написать, не знаю куда поместить. Потому что вопроса никакого нет, хочется поделиться. Не знаю, может это очевидные вещи. Касаются выражения вида

$\frac{\partial x}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}=-1$

Корифеи говорят, что сокращать нельзя, и говорят в качестве пояснения общие слова.

Например, Владимир Иванович Смирнов в своей книге "Курс высшей математики", том 1, стр. 207 (у меня издание 2008 года) пишет:



Дмитрий Васильевич Сивухин в "Термодинамике и молекулярной физике", стр. 37 (том 2 "Общего курса физики", у меня издание 1999 года) пишет:



Я не спорю, но хочется понять глубже, что же тут происходит. Для этого можно написать в виде конечных разностей.

Допустим у нас есть функция $z(x,y)$. Она задаёт некоторую поверхность. Возьмём на этой поверхности три точки. Первую точку $(x_1,y_1,z_1)$.

Я об этом думаю так: беру произвольные числа $x$ и $y$, а $z$ вычисляю по формуле и получаю набор из трёх чисел.

Вторую точку $(x_2, y_2, z_2)=(x_1+\Delta x,y_1,z_1+\Delta z)$. И третью точку $(x_3, y_3, z_3)=(x_1,y_1+\Delta y, z_1+\Delta z)$, причём $\Delta y$ выберем таким, чтобы $\Delta z$ совпало с таковым для второй точки.

Частная производная примерна равна отношению прирашений $\frac{\partial z}{\partial x}\approx \frac{\Delta z}{\Delta x}$. Причём когда мы берём конечные разности не важно, какую точку считать базовой, а для какой записывать приращение. Если мы будем идти от точки 2 к точке 1 оба приращения останутся теми же самыми по модулю, и поменяют знак, так что на их отношении такая замена никак не скажется.

Итак, мы хотим составить произведение трёх производных. От какой точки к какой точке при этом идти, нам не важно. Поэтому пройдём по циклу, от 1 в 2, от 2 в 3 и от 3 снова в 1. При этом сумма всех приращений будет равна нулю, так как мы вернёмся в исходную точку.

Чтобы в сумме получилось нулевое приращение координаты $z$ должно быть $\Delta z_{12}=-\Delta z_{31}$. Здесь нижние индексы обозначают точки, между которыми происходит изменение. Аналогично по другим двум координатам.

Ну вот, собственно, и всё.

[пианист]

Так а в чем проблема-то?
$dz = z_x dx + z_y dy$,
откуда
$dx = \frac{1}{z_x} dz - \frac{z_y}{z_x} dy = x_z dz + x_y dy$,
$dy = \frac{1}{z_y} dz - \frac{z_x}{z_y} dx = y_z dz + y_x dx$,
и, стало быть,
$z_x x_y y_z = z_x (- \frac{z_y}{z_x}) \frac{1}{z_y} = - 1$.
Вроде, тривиально все :о

[iifat]

Вы, по-моему, заменяете произведение пределов пределом произведения, вводя при этом новые зависимости. Стоит ли удивляться, что в результате преобразования появляется нечто другое?

[мат-ламер]

metelev в сообщении #1533861 писал(а):

Допустим у нас есть функция $z(x,y)$

По-моему, суть в том, что нам задана неявная функция $F(x,y,z)=0$ . И дифференцировать её надо по правилу дифференцирования неявных функций. При этом одна из переменных остаётся постоянной (о чём и написано в приведённых текстах). Производные, хотя и можно представить себе, как частные от дифференциалов, только эти дифференциалы, несмотря на одинаковое написание, имеют в разных производных разный смысл (о чём также написано в приведённых текстах).

[lel0lel]

мат-ламер в сообщении #1533946 писал(а):

По-моему, суть в том, что нам задана неявная функция $F(x,y,z)=0$ . И дифференцировать её надо по правилу дифференцирования неявных функций.

Ничего не мешает считать, что $z$ выражена явно через $x, y$. В стандартных курсах термодинамики приводится обычно доказательство приведённое пианист

Можно проверить студента на понимание, попросив записать тождество в частных производных для случая $F(x,y,z,w)=0$

[мат-ламер]

lel0lel в сообщении #1533952 писал(а):

Ничего не мешает считать, что $z$ выражена явно через $x, y$

Осталось понять, что для такой функции значит $\frac{\partial x}{\partial y}$ .

lel0lel в сообщении #1533952 писал(а):

Можно проверить студента на понимание, попросив записать тождество в частных производных для случая $F(x,y,z,w)=0$

Ежели дифференцировать как неявную функцию, то произведение четырёх минусов должно дать плюс.

[lel0lel]

мат-ламер в сообщении #1533953 писал(а):

Осталось понять, что для такой функции значит $\frac{\partial x}{\partial y}$ .

Это производная уже для другой явно выраженной функции $x(z,y)$.

[metelev]

Спасибо за ответы!

пианист в сообщении #1533883 писал(а):

Вроде, тривиально все :о

Да, тривиально. Но хочется не только доказательства, но и представить себе, как это получается.

iifat в сообщении #1533887 писал(а):

Вы, по-моему, заменяете произведение пределов пределом произведения, вводя при этом новые зависимости.

Там и предела никакого не надо, и так получится -1. Это когда одна производная, если заменить дифференциалы на конечные приращения, то получится не точно. А здесь можно так устроить, что приращения вдоль каждой оси сделать одинаковыми по модулю, при этом они получаются разными по знаку. Им это не мешает сократится, так что получится -1 даже когда предела никакого нет.

мат-ламер в сообщении #1533953 писал(а):

Ежели дифференцировать как неявную функцию, то произведение четырёх минусов должно дать плюс.

У меня тоже получается плюс, если 4 переменных.

lel0lel в сообщении #1533954 писал(а):

Это производная уже для другой явно выраженной функции $x(z,y)$.

У Смирнова как раз так и сделано прямо в том примере, который на картинке.

[demolishka]

lel0lel в сообщении #1533954 писал(а):

Это производная уже для другой явно выраженной функции $x(z,y)$.

И как эта функция связана с $z(x,y)$? Она, как и $y(x,z)$, как раз связана с ней уравнением $F(x,y,z)=0$. То есть, предполагается, что условия теоремы о неявной функции для $F$ в некоторой точке $(x_{0},y_{0},z_{0})$ выполняются при выражении любой переменной через две другие. Такая ситуация конечно не редкость, но и не обыденность: например, с дугой окружности так не получится.

[lel0lel]

demolishka в сообщении #1533970 писал(а):

Такая ситуация конечно не редкость, но и не обыденность

В физике, в области интересующих нас термодинамических параметров уравнений состояния, эта ситуации -- обыденность. Правда я не посмотрел изначально, что вопрос размещён в математическом разделе. Ориентировался на приведённые metelev ссылки на учебники по физике. Вот пример как это тождество обсуждается в учебнике по термодинамике И. А. Квасникова: https://ibb.co/T8GdmrB
Никаких требований непрерывности, дифференцируемости и монотонности, разве не красота)

[zykov]

metelev в сообщении #1533959 писал(а):

Но хочется не только доказательства, но и представить себе, как это получается.

Если алгебраически мало, то можно и геометрически.
Нелинейность функции не важна, оставить только линейную часть. В 3D это будет плоскость. А частные производные - тангенсы углов.
Есть какая-то схожесть с Теоремой Менелая. Там кстати видел забавное доказательство (не могу сейчас найти, где) с выходом в 3D - строим плоскость через эту прямую и опускаем перпендикуляры.

[zykov]

Вот нашел 3D доказательство: https://www.cut-the-knot.org/proofs/Menelaus.shtml

Цитата:

On November 28, 2010, Hubert Shutrick had a vision that rendered a one-liner proof of Menelaus' theorem.

[metelev]

zykov
Доказательство теоремы Менелая интересное, спасибо, однако как его сюда приспособить всё же непонятно. На сей момент мне больше всего понравилось то, что было сказано мат-ламер. Простой и масштабируемый подход.

Ну а то что я пытался говорить, видимо таким корявым языком написано, что никто и не пытался вникать. Попробую всё же ещё раз

Возьмём три точки, такие что все они лежат на поверхности и в каждой паре точек одна из координат фиксированная, а две другие меняются. Далее попарно вычтем их друг из друга. Получим векторы следующего вида:
$\overrightarrow{12}=(\Delta x_{12},0,\Delta z_{12})$,
$\overrightarrow{23}=(\Delta x_{23},\Delta y_{23},0)$,
$\overrightarrow{31}=(0,\Delta y_{31},\Delta z_{31})$

Если мы эти векторы сложим, то должны получить ноль, потому что вернёмся в прежнюю точку. Значит приращения одной и той же координаты в разных векторах отличаются только знаком.

Частные производные наши примерно равны отношению двух приращений в одном векторе, если эти приращения малы. Но при этом мы в любом случае в точности получим -1, хотя каждое отдельное отношение не будет в точности равно частной производной.

И направление вектора --- мы можем его менять. Но это не важно, потому что при этом оба приращения внутри вектора меняют знак, поэтому общий знак всего выражения остаётся прежним. Значит можно выбрать то направление, которое удобнее.

[zykov]

metelev в сообщении #1534024 писал(а):

хотя каждое отдельное отношение не будет в точности равно частной производной.

Возьмите, как я сказал, касательную плоскость вместо кривой поверхности. Тогда будет точно равно производной.
Нелинейность тут не важна. Линеризуйте и получите плоскость.

[metelev]

zykov в сообщении #1534030 писал(а):

Возьмите, как я сказал, касательную плоскость вместо кривой поверхности. Тогда будет точно равно производной.

Зачем мне точное равенство производной? Мне не это было интересно. Мне было интересно ровно обратное, как заменить точные производные конечными разностями и увидеть, что справа получится всё же -1. С производными всё более-менее понятно. И в тех книгах, которые я цитировал про производные написано, и здесь в обсуждении ещё пару вариантов написали, как получить искомый результат.