Странная задачка

[Taurendil]

Наш учитель дал нам такое интересное задание.
ссылка удалена (PAV)

[PAV]

PAV:

Картинки в качестве замен формул не допускаются. Наберите свою формулу так, как требуют правила форума (инструкция здесь)

[Taurendil]

$\frac{1}{2\cdot4\cdot6\cdot8\cdot10}}+\frac{1}{4\cdot6\cdot8\cdot10\cdot12}+...+\frac{1}{2000\cdot2002\cdot2004\cdot2006\cdot2008}}$

[GAA]

Пусть элементы последовательности $a_n$ можно представить в виде $a_n = b_n - b_{n+1}$, тогда
$\sum\limits_{n=1}^N {a_n} = \sum\limits_{n=1}^N {b_n - b_{n+1}} = b_1 - b_{N+1}$.
(Т.к. это конечная сумма, то для доказательства достаточно применить сочетательный закон).
В данном случае $a_n = \frac{1}{2n\cdot 2(n+1)\cdot 2(n+2)\cdot 2(n+3)\cdot 2(n+4)}$, $n = 1..1000$ и очевидно, что можно выбрать в качестве $b_n$ (а именно дробь у которой в знаменателе на один множетель меньше).
Надеюсь, никто не помешает Вам это сделать самостоятельно и получить большую радость от разбора этого примера!

[Taurendil]

Мне 16 лет )) я только на первом курсе лицея. Я ничего не понял )))

[GAA]

Информацию о себе поместите в профиль.
По теме. Рассмотрите такой, более простой, пример. $\sum\limits_{n=1}^{100} \frac{1}{n(n+1)}$, здесь $a_n = \frac{1}{n(n+1)}$. Что можно выбрать в качестве $b_n$?

[Taurendil]

Что такое $\sum\limits_{n=1}^{100}$ ? Полезно будет знать )) Объясните мне, пожалуйста, если вам не сложно. Мы еще такого не проходили ))

[mkot]

Taurendil писал(а):

Что такое $\sum\limits_{n=1}^{100}$ ? Полезно будет знать )) Объясните мне,
пожалуйста, если вам не сложно. Мы еще такого не проходили ))

Так обозначают сумму ста слагаемых
$\sum\limits_{n=1}^{100}a_i = a_1 + a_2 + \ldots + a_{100}$,
например,
$1 + 2 + 3 +4 + 5 = \sum\limits_{n=1}^{5}n$.

[Taurendil]

Как понять

Цитата:

Что можно выбрать в качестве $b_n$?

?

[mkot]

Taurendil писал(а):

Как понять
Цитата:
Что можно выбрать в качестве $b_n$?
?

Смотрите
$\sum\limits_{n=1}^{100} \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{2\cdot 3} +\frac{1}{3\cdot 4} +\frac{1}{4\cdot 5} +\frac{1}{5\cdot 6} + \ldots+ \frac{1}{100\cdot 101} $.
Теперь замечаем, что $\frac{1}{n\cdot(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$, поэтому
предыдущая сумма равна
$= \left(1 - \frac12\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) +\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{6}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{100} - \frac{1}{101}\right)$.
Теперь по другому расставим скобки
$= 1 + \left(- \frac12 + \frac{1}{2}\right) + \left(-\frac{1}{3} +\frac{1}{3}\right) + \left(-\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) + \left(-\frac{1}{5} + \frac{1}{5}) + \ldots + \left(-\frac{1}{100}+\frac{1}{100}) - \frac{1}{101}$.
В скобках стоят нули, поэтому останутся только $1 $ и $\frac{1}{101}$.

[GAA]

Taurendil, как разберетесь с предыдущим примером переходите к эквивалентному по сложности
(1.2) $\sum\limits_{n=2}^{100} n(n+1)$.
Затем, к следующим по сложности:
(2.1) $\sum\limits_{n=2}^{100} {\frac {1}{(n-1)n (n+1)}}$
и
(2.2) $\sum\limits_{n=1}^{100} {(n-1)n (n+1)}$.

[Taurendil]

GAA писал(а):

Пусть элементы последовательности $a_n$ можно представить в виде $a_n = b_n - b_{n+1}$, тогда
$\sum\limits_{n=1}^N {a_n} = \sum\limits_{n=1}^N {b_n - b_{n+1}} = b_1 - b_{N+1}$.
(Т.к. это конечная сумма, то для доказательства достаточно применить сочетательный закон).
В данном случае $a_n = \frac{1}{2n\cdot 2(n+1)\cdot 2(n+2)\cdot 2(n+3)\cdot 2(n+4)}$, $n = 1..1000$ и очевидно, что можно выбрать в качестве $b_n$ (а именно дробь у которой в знаменателе на один множетель меньше).

Почему на один множитель меньше? По моему n повысится на 1. И что такое $b_n$?

[GAA]

Taurendil, с примерами (2.1) и (2.2) Вам помогут, а домашнее задание делайте самостоятельно!

[mkot]

Цитата:

Почему на один множитель меньше? По моему n повысится на 1. И что такое $b_n$?

В примере $\sum\limits_{n=1}^{100} \frac{1}{n(n+1)}$
$b_n = \frac1n$, $a_n = b_n - b_{n+1} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$.
Заметьте, что в знаменателе $a_n$ было два множителя $n$ и $n+1$, в $b_n$ -- только один $n$.

[Taurendil]

(1.2) $\sum\limits_{n=2}^{100} n(n+1)={(1\cdot 2)}+{(3\cdot4)}+{(5\cdot6)}+...+{(97\cdot98)}+{(99\cdot100)}
Я правильно начал?