Странная задачка

[GAA]

Taurendil писал(а):

В результате остаются $\frac{1}{4}+\frac{1}{20200}$

Ошибка. Должно быть: $\frac{1}{4} - \frac{1}{20200}$.

В 2.2 легко видеть, что $(n-1)n(n+1) = A [(n-1)n(n+1)(n+2) - (n-2)(n-1)n(n+1)]$. Найдите $A$, а затем вычислите сумму, действуя подобно тому, как действовали в предыдущем примере.

Добавлено спустя 9 минут 4 секунды:

Примечание. В промежуточных вычислениях совсем не обязательно перемножать все числа. Более того, это лучше не делать, чтобы не допустить ошибок. Главное определить: что сокращается, а что остается.

[Taurendil]

А можно $6$ за скобки вынести?
$$\sum\limits_{n=1}^{100} {(n-1)n (n+1)}=6(0+1+4+10+20+...+166650)$

[mkot]

Taurendil писал(а):

А можно $6$ за скобки вынести?
$$\sum\limits_{n=1}^{100} {(n-1)n (n+1)}=6(0+1+4+10+20+...+166650)$

Ну, если хотите, то выносите, здесь это не принципиально и не так уж необходимо.

[Taurendil]

GAA писал(а):

Пусть $a_n$ можно представить в виде $a_n = c(b_{n+1} - b_{n})$, где $c$ — некоторая константа, тогда
$\sum\limits_{n=l}^N a_n = c(b_{N+1} - b_{l})$.

А в примере 2.2 как можно сделать?

[mkot]

Taurendil писал(а):

А в примере 2.2 как можно сделать?

Чуть выше:

GAA писал(а):

В 2.2 легко видеть, что $(n-1)n(n+1) = A [(n-1)n(n+1)(n+2) - (n-2)(n-1)n(n+1)]$. Найдите $A$, а затем вычислите сумму, действуя подобно тому, как действовали в предыдущем примере.

Или вы не про то спрашиваете?

[Taurendil]

GAA писал(а):

В 2.2 легко видеть, что $(n-1)n(n+1) = A [(n-1)n(n+1)(n+2) - (n-2)(n-1)n(n+1)]$. Найдите $A$, а затем вычислите сумму, действуя подобно тому, как действовали в предыдущем примере.

Что-то я в этом решении совсем запутался о_О

Добавлено спустя 11 минут 15 секунд:

получается у меня
$A=\frac{1}{2n}$

[mkot]

$(n-1)n(n+1) = A [(n-1)n(n+1)(n+2) - (n-2)(n-1)n(n+1)]$
Для простоты $(n-1)n(n+1)$ обозначим через $X$,
тогда $X = A (X (n+2) - (n-2)X)$.
Раскрываем скобки
$X = AXn + 2AX - AXn + 2AX$,
$AXn$ уничтожится, из оставшегося легко найти $A$ (по $X$ равенство однородно, поэтому $X$ сократится).

[GAA]

Полностью согласен с

mkot писал(а):

$(n-1)n(n+1) = A [(n-1)n(n+1)(n+2) - (n-2)(n-1)n(n+1)]$
Для простоты $(n-1)n(n+1)$ обозначим через $X$,
тогда $X = A (X (n+2) - (n-2)X)$.

Но дальше проще вынести $X$ за скобки
$X = AX[(n + 2) - (n -2)]$,
и затем раскрывать полукруглые скобки (но вначале не расрывать квадратные).

Добавлено спустя 11 минут 26 секунд:

На самом деле, простота очень желательна, поскольку подбор (угадывание) представления $a_n = b_{n+1} - b_n$ выполняется в «уме». Нужно угадать $b_n$ «с точностью до постоянной».

[Taurendil]

A=1/4

[GAA]

Да, $A=1/4$. Теперь находим сумму, подобно тому, как это делали в предыдущем примере.

[Taurendil]

Начинаю делать и только получается доказательство того, что А=1/4

[GAA]

Подобно тому, как mkot писал: «Теперь заметим, что $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} -\frac{1}{n+1}$, поэтому предыдущая сумма равна...»,
Вы можете написать: «Теперь заметим, что $(n-1)n(n+1) = (1/4) (n-1)n(n+1)(n+2)} -(1/4)(n-2)(n-1)(n+1)}$ поэтому » и продолжить решение по образцу и подобию

[Taurendil]

Все ) Понял!
Заметим, что $(n-1)n(n+1) = (1/4) (n-1)n(n+1)(n+2)} -(1/4)(n-2)(n-1)(n+1)}$ , поэтому предыдущая сумма будет равна
$=(0-0)+(6-0)+(30-6)+(90-30)+...+(25497450-24497550)$
По другому расставим скобки.
$(6-6)+(30-30)+(90-90)+...+25497450$
Остается только 25497450
Ответ: 25497450.

GAA, mkot, спасибо! Благодаря вам, я стал умнее!

[GAA]

Ответ правильный.
Теперь самостоятельно найдите такую сумму
(1.1*) $\sum\limits_{n=1}^{100} {\frac{1}{2n \cdot 2(n+1)}}$.

[mkot]

GAA писал(а):

Теперь самостоятельно найдите такую сумму
(1.1*) $\sum\limits_{n=1}^{100} {\frac{1}{2n \cdot 2(n+1)}}$

GAA, пора уже исходную задачу решить, мне так кажется.