Странная задачка

[Taurendil]

Я начал решать учительское задание. Завтра уже его мне сдавать.
$\sum\limits_{n=1}^{1000}{\frac{1}{2n\cdot2(n+1)\cdot2(n+2)\cdot2(n+3)\cdot2(n+4)}$ $=\frac{1}{2\cdot4\cdot6\cdot8\cdot10}+\frac{1}{4\cdot6\cdot8\cdot10\cdot12}+\frac{1}{6\cdot8\cdot10\cdot12\cdot14}+...+\frac{1}{2000\cdot2002\cdot2004\cdot2006\cdot2008}$

[mkot]

Цитата:

Я начал решать учительское задание. Завтра уже его мне сдавать.
$\sum\limits_{n=1}^{1000}{\frac{1}{2n\cdot2(n+1)\cdot2(n+2)\cdot(2n+3)\cdot(n+4)}$ $\sum\limits_{n=1}^{1000}=\frac{1}{2\cdot4\cdot6\cdot8\cdot10}+\frac{1}{4\cdot6\cdot8\cdot10\cdot12}+\frac{1}{6\cdot8\cdot10\cdot12\cdot14}+...+\frac{1}{2000\cdot2002\cdot2004\cdot2006\cdot2008}$

Только второй знак суммы лишний. Вам не кажется?

[Taurendil]

Точно )

[mkot]

Ну теперь находите $b_n$.

[Taurendil]

Я не могу понять, как находить этот $b_n$ .

[mkot]

Ладно. Мы хотим, чтобы $a_n = b_{n} - b_{n+1}$.
Чему равно $a_n$?

[Taurendil]

$a_n=\frac{1}{2n\cdot2(n+1)\cdot2(n+2)\cdot2(n+3)\cdot2(n+4)}$

[mkot]

Taurendil писал(а):

$a_n=\frac{1}{2n\cdot2(n+1)\cdot2(n+2)\cdot(n+3)\cdot(n+4)}$

Примерно так, только двойки пропущены. А теперь заметьте, что в примере $\sum{\frac{1}{n(n+1)}}$ в $b_n$ на
одно слагаемое в знаменателе было меньше. Поэтому можно предположить (предположите)
что в данном случае также в знаменателе $b_n$ на одно слагаемое будет меньше.
Заметьте, что исчезает последний сомножитель.

Предположите с точностью до константы вид $b_n$.

[Taurendil]

$b_n=\frac{1}{(2n-1)\cdot2n\cdot2(n+1)\cdot2(n+2)\cdot2(n+3)}$

[mkot]

Цитата:

$b_n=\frac{1}{(2n-1)\cdot2n\cdot2(n+1)\cdot2(n+2)\cdot2(n+3)}$

Нет-нет-нет. Это что то похожее на $a_{n-1}$.
Вам же нужно, чтобы $b_{n} - b_{n+1} = a_n$. Повторю, на один сомножитель в знаменателе $b_n$
должно быть меньше. у вас как было 5 так и осталось.

[Taurendil]

$b_n=\frac{1}{2n\cdot2(n+1)\cdot2(n+2)\cdot2(n+3)}$

[mkot]

Хорошо. Теперь
(1) выпишите $b_{n+1}$.
(2) Найдите разность $b_{n} - b_{n+1}$ приведением к общему знаменателю.
(3) Сравните полученный ответ с $a_n$.

Потом, если мы с вами дойдём до конца, я постараюсь вам объяснить, откуда следует, что
$b_n$ отличается от $a_n$ только одним слагаемым в знаменателе.

[Taurendil]

$b_{n+1}=\frac{1}{2(n+1)\cdot2(n+2)\cdot2(n+3)\cdot2(n+4)}$

[mkot]

Хорошо, а дальше?

[Taurendil]

$b_{n+1}-b_n=\frac{1}{2n\mcod2(n+1)\mcod2(n+2)\mcod2(n+3)\mcod(n+4)}$