Неравенство с факториалами

[Сомик]

Коллеги, меня интересует при каких $s=s(n)$ выполняется неравенство

$$ ((n-\frac{s(s+1)}{2})!)((\frac{s(s+1)}{2})!)} > (n-s)! $$

Хотелось бы, конечно, при фиксированном $n$оценить значения $s=s(n)$, хотя и ассмиптотическая оценка при $n \to \infty$ будет интересна.

[Хорхе]

Гипотеза (по первым 10000 значениям): $s(n)\sim \sqrt{2n}$.

[Джек]

А откуда вы взяли ету задачу?

[Руст]

Пусть $A(n,s)=\frac{(n-k)!k!}{(n-s)!},k=\frac{s(s+1)}{2}$. Легко проверяется $A(n,0)=A(n,1)=1$ и далее А уменьшается, если n не малое.
Рассмотрим отношение $\frac{A(n,s-1)}{A(n,s)}=\frac{(n-k+1)...(n-k+s)}{k(k-1)...(k+1-s)(n-s+1)}$.
Отношение меньше 1, если $k\ge n-k+s$, т.е. $s^2\ge n$ и это отношение. При фиксированном s, отношение $\frac{A(n+1,s)}{A(n,s)}=\frac{n+1-k}{n+1-s}<1,s>1$. Поэтому, проще найти по заданному s до какого m $A(k+m,s)>1,s>1,m\ge 0$. С этой целью Рассмотрим две величины
$B(s)=A(k+2s+1,s),C(s)=A(k+2s+2,s),k=\frac{s(s+1)}{2}$.
Рассмотрим отношения
$r(s)=\frac{B(s+1)}{B(s)}=\frac{(2s+3)(2s+2)(k+1)...(k+s+1)}{(k+s+2)(k+s+3)...(k+2s+3)},d(s)=\frac{C(s+1)}{C(s)}=\frac{(2s+4)(2s+3)(k+1)...(k+s+1)}{(k+s+3)...(k+2s+4)}$.
Доказывая $r(s)>1,s>3,r(2)=r(3)=1,d(s)<1,s>1$ получаем, что $A(n,s)>1$ только в случае $\frac{s(+1)}{2}\le n<\frac{(s+1)(s+2)}{2}.$
При каждом n найдётся единственное значение s, такое, что $A(n,s)>1$ за исключением $n=1,2,5,9$.

[Сомик]

Хорхе в сообщении #153353 писал(а):

Гипотеза (по первым 10000 значениям): $s(n)\sim \sqrt{2n}$.

Тут ведь неравенство. Поэтому должны быть оценки вида $f_1(n) \lesssim s(n) \lesssim f_2(n)$

Джек в сообщении #153362 писал(а):

А откуда вы взяли ету задачу? Question

Задача связана с представлениями регулярных языков гиперавтоматами.

Руст, спасибо. Буду разбираться!