Задача о четырех черепахах

[RustamG]

Всем добрый день! Представляю вам следующую классическую задачу на кинематику:

Четыре черепахи находятся в вершинах квадрата со стороной а. Черепахи начинаются двигаться, каждая со скоростью V, так что 1-я черепаха держит вектор скорости всегда по направлению ко 2-й, 2-я к 3-й, 3-я к 4-й, а 4-я к 1-й. Вопрос задачи заключается в том, чтобы найти время и место встречи, а также траектории черепах.

Задачу я решил, но вот только возник некий парадокс. Для начала отметим, что из соображений симметрии черепахи встретятся в центре квадрата. Время встречи равно $t=a/V$.
Уравнение траектории в полярных координатах с центром в точке встречи принимает следующий вид:

$L=a/\sqrt{2} \exp{-b}$, где L - это длина радиус-вектора от центра квадрата до улитки, а угол b есть угол между радиус-вектором и диагональю квадрата.

Итак, парадокс заключается в следующем: мы нашли что время встречи конечно. А согласно уравнению траектории, L=0 только при b, стремящемся к бесконечности! Таким образом получается так, будто бы черепахи будут бесконечно кружиться вокруг центра квадрата, но при этом время встречи конечно. Это и есть мой вопрос! Что здесь не так?

[DimaM]

RustamG в сообщении #695924 писал(а):

Таким образом получается так, будто бы черепахи будут бесконечно кружиться вокруг центра квадрата, но при этом время встречи конечно. Это и есть мой вопрос! Что здесь не так?

Все так. Ваш вопрос сродни известному зенонизму про Ахиллеса и черепаху (опять черепаха ;)).

[gris]

Ползут черепахи, а вектор направлен на улитку. Вот из-за этого .

А как Вы получили, что время до встречи равно $a/V$?

И что, если посчитать днину спирали?

[DimaM]

gris в сообщении #695928 писал(а):

А как Вы получили, что время до встречи равно $a/V$?

Расстояние между соседними черепахами уменьшается со скоростью $V$.

Цитата:

И что, если посчитать днину спирали?

Должно получиться $a$, разумеется.

[gris]

Ну я и это имел в виду . Длина спирали конечна, хотя она и имеет бесконечное число витков.
Но это только в том случае, если мы черепах представляем точками. А они, скорее, кружочки радиуса $R$. Тогда никакого парадокса. Черепахи будут двигаться бесконечно по окружности, радиусом $\sqrt2 R$, так как на плоскости они без налезания не могут имет одну общую точку, что означало бы их встречу.

[Munin]

Можно найти угловую скорость черепах. Тогда она будет возрастать, и за конечное время черепахи смогут пройти бесконечный угол.

[nikvic]

Munin в сообщении #696042 писал(а):

Можно найти угловую скорость черепах.

Каре из черепах.

[iliaborisov]

DimaM в сообщении #695934 писал(а):

Расстояние между соседними черепахами уменьшается со скоростью $V$.

Извиняюсь за тупость. Но если мы перейдем в систему координат одной из черепах, то вектор относительной скорости будет равен разности векторов. А так как вектора взаимно перпендикулярны, то разность будет гипотенузой с модулем соответственно корень из двух, умноженный на V. А не V. Где у меня ошибка?

[Pphantom]

iliaborisov в сообщении #1532650 писал(а):

Где у меня ошибка?

В том, что вы считаете относительную скорость, хотя для задачи существенна скорость сближения черепах (и это разные вещи).

[iliaborisov]

Pphantom в сообщении #1532651 писал(а):

iliaborisov в сообщении #1532650 писал(а):

Где у меня ошибка?

В том, что вы считаете относительную скорость, хотя для задачи существенна скорость сближения черепах (и это разные вещи).

В общем случае - это так. Но вроде бы когда скорость постоянно направлена к другой черепахе, это будет эквивалентно движению по прямой (одной черепахи относительно другой) ,где на этой прямой находятся обе черепахи. И тогда мы правомочны использовать относительную скорость как скорость сближения.
Правда я вроде бы понял,что я не учитываю то,что мои рассуждения возможно были бы правильными, если бы ускорение равно было бы нулю (вектоорное), а тут оно ненулевое.

[realeugene]

iliaborisov в сообщении #1532661 писал(а):

И тогда мы правомочны использовать относительную скорость как скорость сближения.

Нет, конечно. Относительная скорость - это векторная величина, а скорость сближения - это проекция относительной скорости на соединяющий два тела отрезок.

[iliaborisov]

realeugene в сообщении #1532663 писал(а):

iliaborisov в сообщении #1532661 писал(а):

И тогда мы правомочны использовать относительную скорость как скорость сближения.

Нет, конечно. Относительная скорость - это векторная величина, а скорость сближения - это проекция относительной скорости на соединяющий два тела отрезок.

но если она направлена вдоль этой самой прямой (по условию движение черепахи всегда направлена на другую черепаху) - то проекция ведь совпадет с самим вектором? Разве траетория движения одной черепахи в системе координат соседней черепахи не прямая, которая проходит через начало координат (начало координат мы связали с самой черепахой)? если прямая то проекция совпадает с самим вектором. вроде как.

[Someone]

iliaborisov в сообщении #1532665 писал(а):

но если она направлена вдоль этой самой прямой (по условию движение черепахи всегда направлена на другую черепаху)

Какое это имеет отношение к относительной скорости?

[Pphantom]

iliaborisov в сообщении #1532665 писал(а):

но если она направлена вдоль этой самой прямой (по условию движение черепахи всегда направлена на другую черепаху) - то проекция ведь совпадет с самим вектором?

Она так не направлена. Относительную скорость вы, в свою очередь, путаете со скоростью движения одной черепахи. В итоге получается химера, численно равная относительной скорости, а по направлению совпадающая со скоростью одной черепахи, модуль которой вы отождествляете с третьей величиной.

[iliaborisov]

Pphantom в сообщении #1532667 писал(а):

Относительную скорость вы, в свою очередь, путаете со скоростью движения одной черепахи. В итоге получается химера, численно равная относительной скорости, а по направлению совпадающая со скоростью одной черепахи, модуль которой вы отождествляете с третьей величиной.

То есть в системе координат связанной со скажем черепахой2 соседняя черепаха 1 не будет двигаться по прямой, проходящей через черепаху 2, несмотря на то,что в системе координат,связанной с самим квадратом вектор скорости черепахи 1 будет всегда направлен на черепаху 2?