Круговая цепочка

[Ignatovich]

Красивый опыт http://www.youtube.com/watch?v=Zyc3coKW8Tg, но не убедительное авторское объяснение. Известно, что при контурном движении цепочка пластична и может принимать любую форму в отсутствие внешних сил. Не понятно, почему в условиях эксперимента цепочка ведет себя как жесткий обруч. Прочему центр масс цепочки опускается медленно? Можно ли привести какие-нибудь оценки для этой скорости?

[sergey zhukov]

Ignatovich
А что в этом опыте такого необычного? Цепочка ведет себя, как жесткий обруч потому, что центробежная сила растягивает ее во все стороны. Она же вращается. Центр масс цепочки падает ровно с той же скоростью, как и центр тяжести любого массивного тела. Почему вам кажется, что это происходит медленно? Там просто воспроизведение видео замедленно.

[DimaM]

Для полноты объяснения следует еще заметить, что в ИСО никакой центробежной силы нет.

[Ignatovich]

DimaM в сообщении #1532506 писал(а):

Для полноты объяснения следует еще заметить, что в ИСО никакой центробежной силы нет.

Это так. И не только полнота объяснения, но и само объяснение пропадает.

-- 24.09.2021, 09:14 --

sergey zhukov в сообщении #1532503 писал(а):

Почему вам кажется, что это происходит медленно? Там просто воспроизведение видео замедленно.

Я сам проделывал подобный опыт: цепочка может катиться несколько секунд.

[sergey zhukov]

Ignatovich
Так вас удивляет, что круг из цепочки не сплющивается (т.е. ее центр тяжести не падает), а катится, как твердый? Так если бы не было потери энергии, цепочка-обруч каталась бы вечно. Центр тяжести этого обруча снижается только из-за потерь энергии.

[wrest]

(sergey zhukov, О силах, сохраняющих форму движущейся цепи)

sergey zhukov в сообщении #1532503 писал(а):

А что в этом опыте такого необычного? Цепочка ведет себя, как жесткий обруч потому, что центробежная сила растягивает ее во все стороны.

Я бы тут поаккуратней выражался... Движение нитей/цепей/канатов -- дело хитрое. Гляньте ролик (само движение, а не текст, который вначале показывают) https://www.youtube.com/watch?v=u-pupb18l-U )
Есть такая книжка
Меркин. Введение в механику гибкой нити. М.:Наука 1980
Гляньте там главу
Глава IX. Контурное движение нити
и в частности
Параграф 9.2 Кажущийся покой.
Возможно, вам будет интересно сравнить выводы с вашей интуицией.

Если вы кладете замкнутую цепь на скользкий горизонтальный стол в трубку произвольной формы, затем раскручиваете цепь по заданному трубкой контуру и затем трубку мгновенно удаляете, то цепь продолжит движение по пути контура до удаления трубки, а не растянется в окружность. Ну, как пример :)
О чем и говорится в ролике - "цепь сохраняет форму шкива". Просто так совпало, что шкив имеет форму окружности :) И если внимательно посмотреть начало раскрутки, то видно, что скорость уже большая, а цепь всё ещё провисает (виден зазор снизу между шкивом и цепью). И только потом, из-за всяких неидеальностей, становится окружностью.
То есть формально ваш текст вроде правильный, и цепь натянута центростремительными силами. Но есть нюанс :)

[amon]

wrest в сообщении #1532545 писал(а):

Если вы кладете замкнутую цепь на скользкий горизонтальный стол в трубку произвольной формы, затем раскручиваете цепь по заданному трубкой контуру и затем трубку мгновенно удаляете, то цепь продолжит движение по пути контура до удаления трубки, а не растянется в окружность.

Не совсем так, но близко. Кладем цепочку в трубку, и начинаем постепенно увеличивать скорость движения цепочки. При какой-то скорости цепочка перестанет давить на стенки трубки. Если в этот момент перестать разгонять цепочку и убрать трубку, то цепочка будет сохранять свою форму, какой бы затейливой она не была. В рассматриваемом опыте скорость произвольная, поэтому к нему это явление прямого отношения не имеет.

[sergey zhukov]

wrest
Да, интересно. Не сказать, чтобы такое поведение цепи было очевидно. Но если требуется объяснить такой факт, то правдоподобным кажется следующее. Центростремительная сила действует не просто на растяжение контура в кольцо, а всегда к центру кривизны контура. Приблизим произвольный контур сегментами кругов. Сила, с которой требуется удерживать за концы, скажем, трубку-полукруг радиуса $R$ (расположенную вот так - $\mathbb{C}$ - внутри которой, скажем, бегут шарики со скоростью $u$) будет пропорциональна центростремительному ускорению $\frac{u^2}{R}$, линейной плотности шариков $\rho$ и радиусу сегмента круга $R$ (это из-за проекции распределенной нагрузки от шариков на горизонталь), т.е. для каждого сегмента это $u^2\rho$ Т.к. плотность цепи и ее скорость всюду одинаковы, получаем, что ее натяжение везде одинаково. Значит, круговые сегменты такой вращающейся цепи будут находится в равновесии. Тут вроде и от скорости цепи ничего не зависит, и от плотности

[DimaM]

sergey zhukov в сообщении #1532593 писал(а):

Центростремительная сила действует не просто на растяжение контура в кольцо, а всегда к центру кривизны контура.

Нет никакой особенной "центростремительной силы". Как и центробежной.

amon в сообщении #1532558 писал(а):

Кладем цепочку в трубку, и начинаем постепенно увеличивать скорость движения цепочки. При какой-то скорости цепочка перестанет давить на стенки трубки.

Кстати, совершенно не очевидно, что в трубке не в форме окружности цепочка перестанет давить одновременно по всему периметру.

[sergey zhukov]

DimaM
Ну просто сила. На криволинейный элемент движущейся цепи действует сила, направленная к центру кривизны цепи.

[wrest]

sergey zhukov в сообщении #1532593 писал(а):

Сила, с которой требуется удерживать за концы, скажем, трубку-полукруг радиуса $R$ (расположенную вот так - $\mathbb{C}$ - внутри которой, скажем, бегут шарики со скоростью $u$) будет пропорциональна центростремительному ускорению $\frac{u^2}{R}$, линейной плотности шариков $\rho$ и радиусу сегмента круга $R$ (это из-за проекции распределенной нагрузки от шариков на горизонталь), т.е. для каждого сегмента это $u^2\rho$ Т.к. плотность цепи и ее скорость всюду одинаковы, получаем, что ее натяжение везде одинаково.

Вы обсуждаемый ролик, кстати, из первого поста темы -- смотрели? Там точь-в-точь это и говорят. Условие одинаковости натяжения - постоянная линейная скорость (тангенциальное ускорение везде ноль) и нулевые внешние силы которые могли бы поддать тангенциального ускорения (гравитации, например).

-- 24.09.2021, 17:14 --

sergey zhukov в сообщении #1532593 писал(а):

Да, интересно. Не сказать, чтобы такое поведение цепи было очевидно.

В хозбыте встречается ситуация, когда тело чего-то гибкого идёт по траектории головы. Например -- ленты у художественных гимнасток. Не сказать чтоб там тангенциальное ускорение было нулевое, конечно, и других неидеальностей хватает, типа эародинамики. Но все ж таки посмотрите на ленты. Первый попавшийся ролик: https://www.youtube.com/watch?v=fMc6vprReAI
Ещё у ковбоев кнуты. Самый кончик там конечно колбасит, ибо натяжение там нулевое, но середина кнута послушно идёт за началом. Ну и подобное.

[sergey zhukov]

wrest
Да, я про эти самые ленты у гимнасток подумал первым делом. Тоже всегда замечал, что они движутся как бы в канале.
А первый ролик я смотрел, но только без звука. Так что пропустил, видимо, все объяснения.

[amon]

DimaM в сообщении #1532599 писал(а):

Кстати, совершенно не очевидно, что в трубке не в форме окружности цепочка перестанет давить одновременно по всему периметру.

Именно так. Поэтому это называется теоремой имени кого-то известного в этой области.

[Ignatovich]

amon в сообщении #1532619 писал(а):

Именно так. Поэтому это называется теоремой имени кого-то известного в этой области.

В книге Маркина эта закономерность названа эффектом Эткина-Радингера: "При отсутствии силового поля нить, равномерно бегущая вдоль себя со скоростью $\upsilon=\sqrt{T/\rho_лин}$ , будет сохранять любую наперед заданную форму".
В соответствии с этим эффектом круговая цепочка должна быть "пластичной".

[sergey zhukov]

Ignatovich
Я кажется понял. У в первом ролике стационарная форма бегущей цепи круговая, а в книге написано, что если скорость цепи не равна скорости бегущей поперечной волны, то ее стационарная форма может быть только прямой. Вывод: раз в этом опыте цепь не прямая, ее скорость равна скорости бегущей волны, а не какая попало.

С другой стороны ясно, что бегущая замкнутая цепь может иметь круговую форму при любой скорости. Более того, есть очевидные примеры, когда контур цепи, составленный из сегментов окружностей, так же находится в стационарном состоянии при любой скорости (например, "восьмерка" - контур, составленный из четырех одинаковых полуокружностей).

Очень похоже, что замкнутый контур цепи, составленный из отрезков прямых и касательных к ним сегментов окружностей, может при произвольной скорости бега иметь стационарную форму.

В книге рассматривается случай бегущей поперечной волны вдоль тяжелой нити и делается очевидный вывод: если бежать рядом с нитью со скоростью этой волны, то мы будем наблюдать стационарную форму бегущей нити, отличную от прямой. Если же скорость нашего бега отлична от скорости поперечной волны в нити, то стационарную форму нити можно наблюдать лишь в одном случае: когда волны нет и нить прямая. Там же говорится про замкнутую нить и граничные условия, которые выполняются для нее автоматически. Но там "замкнутая" нить, по моему, означает, что граничные условия в начале нити просто равны граничным условиям на ее конце, т.е. она может быть одновременно и всюду прямой, и замкнутой (математическое замыкание). Мы же говорим о реальной замкнутой нити, которая должна образовывать кольцо и не может быть везде прямой.