Разрывная функция распределения

[artempalkin]

Задача формулируется так:

Из всех приборов $p$ ($0<p<1$) от общего числа бракованны и ломаются сразу при включении. Остальные имеют время жизни показательно распределенное с параметром $\lambda$. Найти среднее значение времени жизни случайно выбранного прибора.

Составляю функцию распределения (для отрицательных $x$ равна нулю, рассмотрим $x\geqslant 0$):

$F(x)=P(\xi\leqslant x)=p+(1-p)\int\limits_0^{x}\lambda e^{-\lambda t}dt=p+(1-p)(-e^{-\lambda x}+1)=1-(1-p)e^{-\lambda x}$

Ничем не плоха эта функция, условиям удовлетворяет нужным. Но для нахождения среднего значения нужна вроде бы плотность, а плотность что-то не получается получить, т.к. функция разрывна. Подскажите, что делать?

[Someone]

У Вас должно быть

$$F(x)=\begin{cases}0\text{ при }x<0,\\ p+(1-p)e^{-\lambla x}\text{ при }x\geqslant 0.\end{cases}$$

Это смесь двух распределений: дискретного с единственным возможным значением $0$ и показательного с весами $p$ и $1-p$. Формально нужно использовать интеграл Стилтьеса, который в данном случае сводится к вычислению математических ожиданий смешиваемых распределений и суммированию их с соответствующими весами.

[artempalkin]

Someone в сообщении #1532425 писал(а):

У Вас должно быть

$$F(x)=\begin{cases}0\text{ при }x<0,\\ p+(1-p)e^{-\lambla x}\text{ при }x\geqslant 0.\end{cases}$$

Это смесь двух распределений: дискретного с единственным возможным значением $0$ и показательного с весами $p$ и $1-p$.

У вас функция не стремится к единице на бесконечности... опечатка или так должно быть?

Да, про смешение распределений я понимаю, но не особо знаю и здесь слишком рано, чтобы это применять... надо как-то придумать, как сделать по другому с применением более простых правил.

-- 23.09.2021, 12:57 --

А если так:
Пусть $\theta$ - это сколько "бракованных" приборов выбрано (либо 1, либо 0).
$\eta$ - сколько проработал небракованный прибор.

Тогда $\xi=(1-\theta)\eta$, где $\xi$ - наша искомая случайная величина.

$\theta$ и $\eta$ независимы. Тогда:

$M\xi=(1-M\theta) M\eta=\frac{(1-p)}{\lambda}$

Так не пойдет?

[Александрович]

artempalkin в сообщении #1532423 писал(а):

Составляю функцию распределения (для отрицательных $x$ равна нулю, рассмотрим $x\geqslant 0$):

Зачем? Ищите плотность для 0 и для x>0. Находите среднее.

[artempalkin]

Александрович в сообщении #1532427 писал(а):

Зачем? Ищите плотность для 0 и для x>0. Находите среднее.

Функцию распределения нужно найти по первому вопросу задачи.

А в нуле в смысле будет что-то типа дельта-функции? Если да, то не подойдет, мы этого еще не знаем и никогда не узнаем (курс тервера для экономистов).

[Александрович]

artempalkin в сообщении #1532428 писал(а):

А в нуле в смысле будет что-то типа дельта-функции?

Нет, вы же сами сказали что от 0 до 1.

[artempalkin]

Александрович в сообщении #1532429 писал(а):

Нет, вы же сами сказали что от 0 до 1.

Вы хотите сказать, что $f(0)=p$? Вы рушите мои представления о математике. А как будет выглядеть в целом плотность? Мне кажется, что в таком случае интеграл от плотности по $\mathbb{R}$ не будет равен 1.

[ИСН]

В целом - как раз и будет "что-то типа дельта-функции". Даже не что-то, а буквально она.

[artempalkin]

ИСН в сообщении #1532439 писал(а):

В целом - как раз и будет "что-то типа дельта-функции". Даже не что-то, а буквально она.

Ну да, такое решение я понимаю, и оно приведет к ответу. Но это нельзя использовать совершенно точно.

[EUgeneUS]

artempalkin в сообщении #1532440 писал(а):

Но это нельзя использовать совершенно точно.

Если врачи запрещают пить кофе, то можно пить цикорий.
То есть можно сгородить какой-то суррогат дельта-функции.
Например так:
1. Представим, что бракованные приборы сгорают не моментально, а в течение какого-то короткого промежутка $[0,\Delta x]$.
2. Причем на этом промежутке функция распределения - хорошая, то есть непрерывная, монотонная, дифференцируемая.
3. Запишем интеграл для среднего, потом возьмем его по частям.
4. После чего устремим $\Delta x$ к нулю и убедимся, что этот скачок в нуле не влияет на среднее, потому что он в нуле.

[Евгений Машеров]

Матожидание смеси распределений равно взвешенному среднему их матожиданий с весами, равными долям в смеси. Одно распределение вырожденное, второе "табличное".

[ИСН]

Я бы даже сказал - одно дискретное, другое непрерывное. Те и другие по отдельности ведь можно?

[Евгений Машеров]

Безусловно. Одно дискретное, второе непрерывное. При этом дискретное вырожденное, его и считать не надо (собственно, если кто заявит, что оно непрерывное, только вырожденное - тоже будет прав, и тоже считать нечего). А непрерывное давно "обкатанное".

[artempalkin]

Дорогие друзья, все ваши мысли хорошие, но все же решение не предполагается такое сложное. Что вы думаете о таком решении:

artempalkin в сообщении #1532426 писал(а):

Пусть $\theta$ - это сколько "бракованных" приборов выбрано (либо 1, либо 0).
$\eta$ - сколько проработал небракованный прибор.

Тогда $\xi=(1-\theta)\eta$, где $\xi$ - наша искомая случайная величина.

$\theta$ и $\eta$ независимы. Тогда:

$M\xi=(1-M\theta) M\eta=\frac{(1-p)}{\lambda}$

Так не пойдет?

[EUgeneUS]

artempalkin в сообщении #1532452 писал(а):

Так не пойдет?

а как расширить эти рассуждения на
а) бракованный прибор работает ровно одну секунду, а потом сгорает
б) есть два типа бракованных приборов: одни сгорают ровно через 1 секунду, другие ровно через 2 секунды.
?

Из факта, приведенного уважаемым Евгений Машеров:

Евгений Машеров в сообщении #1532447 писал(а):

Матожидание смеси распределений равно взвешенному среднему их матожиданий с весами, равными долям в смеси.

решение получается моментально и в этих случаях. А доказывается он несложно, вроде бы.