Понимание дифференциала и приближённых равенств в физике

[DimaM]

realeugene в сообщении #1530777 писал(а):

Да, у меня есть ощущение, что ТС на самом деле гложет философский вопрос: "почему же математика работает для физики"?

Напомню, кстати, вигнеровскую "Непостижимую эффективность математики в естественных науках".

[sergey zhukov]

Cheloveck в сообщении #1530763 писал(а):

Но так получается равенства до этого которые пишут физики вовсе не верные,но становятся верные потом и вообще может же быть какая-то ситуация когда используешь дифференциалы как бесконечно малые приращения,а в итоге в конце получилось так,что появилась ошибка ?

Отбрасывание бесконечно малых высших порядков в уравнениях - это все еще математика, а не физика. Это считается (да и на самом деле является) вычислениями с идеальной точностью. Физики делают гораздо более хитрые и не очевидные приближения и упрощения, описывая физические системы математическими выражениями. Там действительно встречаются ситуации, над которыми можно поломать голову. В сравнении с ними отбрасывание бесконечно малых высших порядков - просто образец строгости и ясности. Решение редко какой физической задачи обходится без приближений. Очень важно уметь ими пользоваться и не бояться их вводить.

Я всегда чувствовал себя неуверенно с приближениями и упрощениями. Часто они кажутся логически противоречивыми или граничащими с бессмысленностью. Например, квазистатическое приближение: считаем, что изменяющаяся во временм система в каждый момент времени находится в равновесии, т.е. в состоянии, когда в ней не происходят никакие изменения. Или точечное приближение электрического диполя: считаем диполь состоящим из двух бесконечно больших по величине разноименных точечных зарядов, находящихся бесконечно близко друг к другу. Но нужно все же научиться обращаться с приближениями.

Если бесконечно малые высших порядков отбрасываются правильно, решение остается точным. Другое дело, что не всегда достаточно брать только линейный член разложения. Например, в задаче поиска прямой, касательной к заданной кривой, можно обойтись линейным членом в разложении уравнения этой кривой в ряд, т.к. в этом случае кривую можно приблизить прямой.

А если стоит задача поиска касательной окружности к данной кривой, то линейное приближение этой кривой нам ничего не даст. Нужно взять так же и квадратичный член в разложении, чтобы приблизить нашу кривую в точке кривой второго порядка, а не прямой.

[Cheloveck]

Otta в сообщении #1530767 писал(а):

Есть и еще одна проблема. Несмотря на относительно долгое пребывание в Карантине и правку темы, у Вас не получилось явно вычленить, что же на самом деле вызывает затруднения. Возможно, было бы проще, если бы Вы ткнули в конкретное место или два приведенного текста и сказали - вот это и это я не понимаю. Потому и потому. Я понимаю так, а там вот так.

На данный момент у меня сложилось впечатление, что у Вас минимум два вопроса. Первый: на каком основании приращение функции приравнивается к дифференциалу (в тексте, кстати, нет знака строгого равенства между ними, оно приближенное). И до сих пор мы обсуждали этот вопрос. На самом деле, похоже, неявно висит и второй.

Рекомендация: попробуйте повторить выкладки из учебника, самому себе объясняя их. Так Вы сможете выявить, чего Вы не можете объяснить, а значит, недопонимаете.

Вовсе нет,вопрос также про операции с дифференциалом и приближённые равенства как говорит тема,просто вопрос весьма комплексный и я не могу сразу ответить фразой:Мне всё понятно.Я не говорил,что есть ещё вопросы,я сказал что ощущаю неудовлетворённость.Хотя сейчас я уже вижу как всё вроде бы встаёт на свои места,мне осталось только задать дополнительные вопросы связанные с теми вопросами о которых я спрашивал пользователей

-- 07.09.2021, 00:10 --

wrest в сообщении #1530772 писал(а):

А если дифференциал существует, то только такой, который в пределе стремления приращения аргумента функции к нулю равен линейной части приращения функции.

Увы,вижу определение которые вы написали и знал его,но как это следует ? Мне вообще сложно понять что вы написали,дифференциал в пределе аргумента ?
sergey zhukov
Спасибо вам за примеры и пояснения,теперь кажется это встаёт на свои места.Члены разложения которые пропадают в пределе,а при решении задач используются приближения.Дифференциал пишут по сути подразумевая приращение функции откидывая $\alpha(\Delta x)\Delta x$ ибо оно обнуляется в пределе,как я понимаю из сообщения Otta,в итоге выходит точное уравнение.Но что меня смущало так это то,что предельный переход не выполняется как бы,но он выполняется просто неявно,можно сказать всеми этими приближениями и откидываемыми мы приводимо уравнение таким каким бы оно получилось при предельном переходе если учитывать всё это,а т.к пределы в явном виде не пишутся,а мы это просто отбрасываем,то можно назвать это неявным предельным переходом
Я изложил как я теперь это понимаю,если я где-то ошибаюсь или похоже в неявном виде что-то понимаю не так прошу указать мне.Но а так хотел спросить по поводу отбрасывания бесконечно малых высших порядков,по отпределнию бесконечно малые высших порядков это же бесконечно малые порядок малости которых выше относительно рассматриваемой бесконечно малой величины ?
Если всё верно осталось уточнить некоторые моменты,однако,ещё не очень понял что мне хочет донести wrest,хотя и без этого чувствую себя на пути к истине почему-то

[wrest]

Cheloveck в сообщении #1530800 писал(а):

Мне вообще сложно понять что вы написали,дифференциал в пределе аргумента ?

Дифференциал функции одного аргумента это функция от двух аргументов, как я писал вам раньше, спрашивая понимаете ли вы это. Если $y$ это функция от аргумента $x$, то есть $y=y(x)$, то $dy=dy(x_0,\Delta x)$ где $x_0$ - это точка (значение аргумента $x$), в которой берется приращение аргумента, а $\Delta x$ это приращение аргумента.
Полное (линейная часть плюс все остальное) приращение функции, или просто "приращение функции", $\Delta y$ это тоже функция, и тоже от двух тех же аргументов, $\Delta y=y(x_0+ \Delta x) - y(x_0)=\Delta y(x_0,\Delta x)$
В случае $\Delta x\to 0$ имеем, по определению дифференциала, $\lim \limits_{\Delta x \to 0} \Delta y(x_0,\Delta x) = \lim \limits_{\Delta x \to 0}dy(x_0,\Delta x) \Delta x$
Это формулируют ещё так, что если существует такое число $A$ зависящее от $x_0$, т.е. $A(x_0)$, что $\Delta y(x_0, \Delta x)=A(x_0) \Delta x+o(\Delta x)$, то мы называем $A(x_0) \Delta x$ дифференциалом. Смысл $o(\Delta x)$ тут такой, что $\lim \limits_{\Delta x \to 0}\dfrac {o(\Delta x)}{\Delta x}=0$

Тут к сожалению, надо внимательно почитать определения что есть что. В учебнике матана. И тогда задать вопросы, если непонятны определения. Возможно, потянутся проблемы с пониманием других вещей, типа в принципе что такое "предел". Без этого вы тут не продвинетесь, к сожалению. У вас не возникнет понимания этой конкретной темы.
Ещё раз: в математике (в анализе) в определение дифференциала сразу заложено то, что при стремлении приращения функции к нулю, дифференциал стремится к приращению функции. Это в принципе свойство дифференциала. Дифференциалом называют то, что такое свойство имеет.

-- 06.09.2021, 17:53 --

Cheloveck в сообщении #1530800 писал(а):

Если всё верно осталось уточнить некоторые моменты,однако,ещё не очень понял что мне хочет донести wrest,

Определения терминов (которыми вы хотите оперировать) из учебников хочу донести.

[wrest]

Пропустил слово
Здесь

wrest в сообщении #1530805 писал(а):

Ещё раз: в математике (в анализе) в определение дифференциала сразу заложено то, что при стремлении приращения функции к нулю, дифференциал стремится к приращению функции.

Надо читать так:

Ещё раз: в математике (в анализе) в определение дифференциала сразу заложено то, что при стремлении приращения аргумента функции к нулю, дифференциал стремится к приращению функции.

[Otta]

wrest в сообщении #1530821 писал(а):

Ещё раз: в математике (в анализе) в определение дифференциала сразу заложено то, что при стремлении приращения аргумента функции к нулю, дифференциал стремится к приращению функции.

Они оба к нулю стремятся, раз уж функция дифференцируема. А не дифференциал к приращению.
Пусть ТС учебник читает, я думаю, хватит его пересказывать. Обычный. По вышке или анализу. А то дурная копия какая-то.

[Cheloveck]

Otta в сообщении #1530822 писал(а):

Они оба к нулю стремятся, раз уж функция дифференцируема. А не дифференциал к приращению.

Мне именно это больше кажется.

-- 07.09.2021, 14:27 --

В любом случае,надо уточнить и спросить что не ясно.Как я понимаю физик использует приближённые равенства такие как $\sin(\Delta \varphi)\approx \Delta \varphi$,$T(\Delta \varphi+\varphi)\approx T(\varphi)$ и т.д,а также приближённое равенство связанное с дифференциалом $\Delta y\approx dy$,далее их связывают,получается уравнение или несколько уравнения,в конце концов получается так,что окончательное уравнение к которому приходит физик содержит дифференциалы и упрощения связанные с приближёнными заменами,однако,окончательно уравнение уже является точным,потому что если бы мы перешли к пределу,то тогда приближённые равенства,в том числе и с дифференциалом стали бы точными.Но всё же.
1.Получается всегда можно использовать смысл дифференциала в физике как бесконечно малое приращение ? А если на выходе окончательно уравнение не позволяет получить производную или что-то в этом духе,то тогда вроде $\alpha(\Delta x)\Delta x$не уходит,может такое быть ?
2.Тот же вопрос для остальных приближений,может ли быть какой-то случай где бесконечно малые высших порядков или что-то подобное нужны ?
Я спрашивал а почему так,а теперь хочу спросить а когда именно так,хоть и однозначный ответ скорее всего нельзя дать

[realeugene]

Cheloveck в сообщении #1530850 писал(а):

1.Получается всегда можно использовать смысл дифференциала в физике как бесконечно малое приращение ?

Не всё в физике везде дифференцируемо.

Cheloveck в сообщении #1530850 писал(а):

2.Тот же вопрос для остальных приближений,может ли быть какой-то случай где бесконечно малые высших порядков или что-то подобное нужны ?

А в математике? Вы дифуры помните, или про них вам тоже нужно в разделе про физику рассказывать?

[DimaM]

Cheloveck в сообщении #1530850 писал(а):

2.Тот же вопрос для остальных приближений,может ли быть какой-то случай где бесконечно малые высших порядков или что-то подобное нужны ?

Может. Если в точке производная равна нулю, то приращение функции пропорционально приращению аргумента в степени больше единицы.
Например, у функции $y=\sqrt{1-x^2}$ вблизи точки $x_0=0$ приращение $\Delta y=-\Delta x^2/2+o(\Delta x^2)$.

[sergey zhukov]

Cheloveck в сообщении #1530850 писал(а):

1.Получается всегда можно использовать смысл дифференциала в физике как бесконечно малое приращение ? А если на выходе окончательно уравнение не позволяет получить производную или что-то в этом духе,то тогда вроде $\alpha(\Delta x)\Delta x$не уходит,может такое быть ?

Тогда тем более все уходит, даже линейная часть. Сами бесконечно малые какого угодно порядка не могут появиться в ответе иначе, как в виде отношения друг к другу. Например, в ответе не может быть $S=Adx$, потому, что в таком случае просто $S=0$. Должно быть так: $dS=Adx$, т.е. отношение бесконечно малых $\frac{dS}{dx}=A$.

Cheloveck в сообщении #1530850 писал(а):

2.Тот же вопрос для остальных приближений,может ли быть какой-то случай где бесконечно малые высших порядков или что-то подобное нужны ?

Может ли понадобиться, например, выражение $\Delta S=A\Delta x+B\Delta x^2+C\Delta x^3$, т.е. по сути, сумма линейной, квадратичной и кубической частей приращения функции? И может ли оно где-либо оказаться точнее, чем просто линейная часть приращения $\Delta S=A\Delta x$? Да, если $\Delta x$ конечно. И нет, если $\Delta x \to 0$ и превращается в $dx$. Потому, что каждый последующий член в этой сумме $dS=Adx+Bdx^2+Cdx^3$ бесконечно мал в сравнении с предыдущим (это очевидно, если соседние члены поделить друг на друга). Так что только первый член в такой сумме имеет значение, остальные не добавляют к нему вообще ничего.
Иногда, правда, бывает, что $A=0$. Тогда линейный член зануляется, и первым становится квадратичный член (как в примере у DimaM). В таком случае только квадратичный член имеет значение (а последующие так же не добавляют к нему ничего).

Поэтому в сумме бесконечно малых имеет значение только бесконечно малая самого низкого порядка. Чаще всего это $dx$. Но может быть и $dx^2$ и $dx^3$ и т.д.

[realeugene]

sergey zhukov в сообщении #1530872 писал(а):

В таком случае только квадратичный член имеет значение

Это неправда. Зависит от того, что дальше делают с такими выражениями. При раскрытии неопределённостей по Тейлору иногда в промежуточных преобразованиях нужно оставлять несколько членов более старшего порядка.

[sergey zhukov]

realeugene
Как это может выглядеть? Т.е. как может случится так, чтобы появилась необходимость удерживать в сумме бесконечно малые разных порядков?

[realeugene]

sergey zhukov в сообщении #1530883 писал(а):

Как это может выглядеть? Т.е. как может случится так, чтобы появилась необходимость удерживать в сумме бесконечно малые разных порядков?

Обычно это нужно когда бесконечно малые более младших порядков сокращаются в промежуточных вычислениях. Но иногда при разложении функции в ряд в окрестности точки это полезно и для уменьшения погрешности аппроксимации, и для оценки остаточной погрешности.

[Someone]

sergey zhukov в сообщении #1530883 писал(а):

Как это может выглядеть?

Например, так:

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-x}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac x{1!}-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)-x}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{-\frac{x^3}6+o(x^3)}{x^3}=\lim_{x\to 0}\left(-\frac 16+\frac{o(x^3)}{x^3}\right)=-\frac 16.$$

[sergey zhukov]

Действительно, нельзя бездумно выбрасывать из суммы бесконечно малые более высоких порядков, т.к. может случиться, что придется вычесть друг из друга две такие суммы, у которых первые члены (или даже несколько первых членов) совпадают и в результате вычитания обнуляются. Если заранее округлить эти суммы до первого члена, то результат вычитания в точности окажется нулевым, и это будет ошибкой, т.к. результат вычитания есть просто бесконечно малая более высокого порядка, чем члены разности.
Первый член в разложении функции с ряд - это вообще константа, "бесконечно малая" нулевого порядка. Если разложение сразу огрубить до этой константы (вроде бы почему и нет? Все последующие члены бесконечно малы в сравнении с константой), то даже первую производную функции нельзя будет вычислить, она всегда будет равна нулю.

Похоже на выражение вроде $S=\frac{100 - 100,1}{0,01}$. Если бездумно округлить 100,1 до 100, считая (справедливо), что 0,1 пренебрежимо мало в сравнении со 100, то можно получить, что $S=0$. Если же не округлять, то $S=10$.