2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Понимание дифференциала и приближённых равенств в физике
Сообщение06.09.2021, 11:21 
Заслуженный участник


28/12/12
7921
realeugene в сообщении #1530777 писал(а):
Да, у меня есть ощущение, что ТС на самом деле гложет философский вопрос: "почему же математика работает для физики"?

Напомню, кстати, вигнеровскую "Непостижимую эффективность математики в естественных науках".

 Профиль  
                  
 
 Re: Понимание дифференциала и приближённых равенств в физике
Сообщение06.09.2021, 14:41 


17/10/16
4776
Cheloveck в сообщении #1530763 писал(а):
Но так получается равенства до этого которые пишут физики вовсе не верные,но становятся верные потом и вообще может же быть какая-то ситуация когда используешь дифференциалы как бесконечно малые приращения,а в итоге в конце получилось так,что появилась ошибка ?

Отбрасывание бесконечно малых высших порядков в уравнениях - это все еще математика, а не физика. Это считается (да и на самом деле является) вычислениями с идеальной точностью. Физики делают гораздо более хитрые и не очевидные приближения и упрощения, описывая физические системы математическими выражениями. Там действительно встречаются ситуации, над которыми можно поломать голову. В сравнении с ними отбрасывание бесконечно малых высших порядков - просто образец строгости и ясности. Решение редко какой физической задачи обходится без приближений. Очень важно уметь ими пользоваться и не бояться их вводить.

Я всегда чувствовал себя неуверенно с приближениями и упрощениями. Часто они кажутся логически противоречивыми или граничащими с бессмысленностью. Например, квазистатическое приближение: считаем, что изменяющаяся во временм система в каждый момент времени находится в равновесии, т.е. в состоянии, когда в ней не происходят никакие изменения. Или точечное приближение электрического диполя: считаем диполь состоящим из двух бесконечно больших по величине разноименных точечных зарядов, находящихся бесконечно близко друг к другу. Но нужно все же научиться обращаться с приближениями.

Если бесконечно малые высших порядков отбрасываются правильно, решение остается точным. Другое дело, что не всегда достаточно брать только линейный член разложения. Например, в задаче поиска прямой, касательной к заданной кривой, можно обойтись линейным членом в разложении уравнения этой кривой в ряд, т.к. в этом случае кривую можно приблизить прямой.

А если стоит задача поиска касательной окружности к данной кривой, то линейное приближение этой кривой нам ничего не даст. Нужно взять так же и квадратичный член в разложении, чтобы приблизить нашу кривую в точке кривой второго порядка, а не прямой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понимание дифференциала и приближённых равенств в физике
Сообщение06.09.2021, 16:25 


26/01/20
37
Otta в сообщении #1530767 писал(а):
Есть и еще одна проблема. Несмотря на относительно долгое пребывание в Карантине и правку темы, у Вас не получилось явно вычленить, что же на самом деле вызывает затруднения. Возможно, было бы проще, если бы Вы ткнули в конкретное место или два приведенного текста и сказали - вот это и это я не понимаю. Потому и потому. Я понимаю так, а там вот так.

На данный момент у меня сложилось впечатление, что у Вас минимум два вопроса. Первый: на каком основании приращение функции приравнивается к дифференциалу (в тексте, кстати, нет знака строгого равенства между ними, оно приближенное). И до сих пор мы обсуждали этот вопрос. На самом деле, похоже, неявно висит и второй.

Рекомендация: попробуйте повторить выкладки из учебника, самому себе объясняя их. Так Вы сможете выявить, чего Вы не можете объяснить, а значит, недопонимаете.

Вовсе нет,вопрос также про операции с дифференциалом и приближённые равенства как говорит тема,просто вопрос весьма комплексный и я не могу сразу ответить фразой:Мне всё понятно.Я не говорил,что есть ещё вопросы,я сказал что ощущаю неудовлетворённость.Хотя сейчас я уже вижу как всё вроде бы встаёт на свои места,мне осталось только задать дополнительные вопросы связанные с теми вопросами о которых я спрашивал пользователей

-- 07.09.2021, 00:10 --

wrest в сообщении #1530772 писал(а):
А если дифференциал существует, то только такой, который в пределе стремления приращения аргумента функции к нулю равен линейной части приращения функции.

Увы,вижу определение которые вы написали и знал его,но как это следует ? Мне вообще сложно понять что вы написали,дифференциал в пределе аргумента ?
sergey zhukov
Спасибо вам за примеры и пояснения,теперь кажется это встаёт на свои места.Члены разложения которые пропадают в пределе,а при решении задач используются приближения.Дифференциал пишут по сути подразумевая приращение функции откидывая $\alpha(\Delta x)\Delta x$ ибо оно обнуляется в пределе,как я понимаю из сообщения Otta,в итоге выходит точное уравнение.Но что меня смущало так это то,что предельный переход не выполняется как бы,но он выполняется просто неявно,можно сказать всеми этими приближениями и откидываемыми мы приводимо уравнение таким каким бы оно получилось при предельном переходе если учитывать всё это,а т.к пределы в явном виде не пишутся,а мы это просто отбрасываем,то можно назвать это неявным предельным переходом
Я изложил как я теперь это понимаю,если я где-то ошибаюсь или похоже в неявном виде что-то понимаю не так прошу указать мне.Но а так хотел спросить по поводу отбрасывания бесконечно малых высших порядков,по отпределнию бесконечно малые высших порядков это же бесконечно малые порядок малости которых выше относительно рассматриваемой бесконечно малой величины ?
Если всё верно осталось уточнить некоторые моменты,однако,ещё не очень понял что мне хочет донести wrest,хотя и без этого чувствую себя на пути к истине почему-то

 Профиль  
                  
 
 Re: Понимание дифференциала и приближённых равенств в физике
Сообщение06.09.2021, 17:51 


05/09/16
12041
Cheloveck в сообщении #1530800 писал(а):
Мне вообще сложно понять что вы написали,дифференциал в пределе аргумента ?

Дифференциал функции одного аргумента это функция от двух аргументов, как я писал вам раньше, спрашивая понимаете ли вы это. Если $y$ это функция от аргумента $x$, то есть $y=y(x)$, то $dy=dy(x_0,\Delta x)$ где $x_0$ - это точка (значение аргумента $x$), в которой берется приращение аргумента, а $\Delta x$ это приращение аргумента.
Полное (линейная часть плюс все остальное) приращение функции, или просто "приращение функции", $\Delta y$ это тоже функция, и тоже от двух тех же аргументов, $\Delta y=y(x_0+ \Delta x) - y(x_0)=\Delta y(x_0,\Delta x)$
В случае $\Delta x\to 0$ имеем, по определению дифференциала, $\lim \limits_{\Delta x \to 0} \Delta y(x_0,\Delta x) = \lim \limits_{\Delta x \to 0}dy(x_0,\Delta x) \Delta x$
Это формулируют ещё так, что если существует такое число $A$ зависящее от $x_0$, т.е. $A(x_0)$, что $\Delta y(x_0, \Delta x)=A(x_0) \Delta x+o(\Delta x)$, то мы называем $A(x_0) \Delta x$ дифференциалом. Смысл $o(\Delta x)$ тут такой, что $\lim \limits_{\Delta x \to 0}\dfrac {o(\Delta x)}{\Delta x}=0$

Тут к сожалению, надо внимательно почитать определения что есть что. В учебнике матана. И тогда задать вопросы, если непонятны определения. Возможно, потянутся проблемы с пониманием других вещей, типа в принципе что такое "предел". Без этого вы тут не продвинетесь, к сожалению. У вас не возникнет понимания этой конкретной темы.
Ещё раз: в математике (в анализе) в определение дифференциала сразу заложено то, что при стремлении приращения функции к нулю, дифференциал стремится к приращению функции. Это в принципе свойство дифференциала. Дифференциалом называют то, что такое свойство имеет.

-- 06.09.2021, 17:53 --

Cheloveck в сообщении #1530800 писал(а):
Если всё верно осталось уточнить некоторые моменты,однако,ещё не очень понял что мне хочет донести wrest,

Определения терминов (которыми вы хотите оперировать) из учебников хочу донести.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понимание дифференциала и приближённых равенств в физике
Сообщение06.09.2021, 19:53 


05/09/16
12041
Пропустил слово
Здесь
wrest в сообщении #1530805 писал(а):
Ещё раз: в математике (в анализе) в определение дифференциала сразу заложено то, что при стремлении приращения функции к нулю, дифференциал стремится к приращению функции.
Надо читать так:

Ещё раз: в математике (в анализе) в определение дифференциала сразу заложено то, что при стремлении приращения аргумента функции к нулю, дифференциал стремится к приращению функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понимание дифференциала и приближённых равенств в физике
Сообщение06.09.2021, 20:03 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
wrest в сообщении #1530821 писал(а):
Ещё раз: в математике (в анализе) в определение дифференциала сразу заложено то, что при стремлении приращения аргумента функции к нулю, дифференциал стремится к приращению функции.

Они оба к нулю стремятся, раз уж функция дифференцируема. А не дифференциал к приращению.
Пусть ТС учебник читает, я думаю, хватит его пересказывать. Обычный. По вышке или анализу. А то дурная копия какая-то.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понимание дифференциала и приближённых равенств в физике
Сообщение07.09.2021, 07:27 


26/01/20
37
Otta в сообщении #1530822 писал(а):
Они оба к нулю стремятся, раз уж функция дифференцируема. А не дифференциал к приращению.

Мне именно это больше кажется.

-- 07.09.2021, 14:27 --

В любом случае,надо уточнить и спросить что не ясно.Как я понимаю физик использует приближённые равенства такие как $\sin(\Delta \varphi)\approx \Delta \varphi$,$T(\Delta \varphi+\varphi)\approx T(\varphi)$ и т.д,а также приближённое равенство связанное с дифференциалом $\Delta y\approx dy$,далее их связывают,получается уравнение или несколько уравнения,в конце концов получается так,что окончательное уравнение к которому приходит физик содержит дифференциалы и упрощения связанные с приближёнными заменами,однако,окончательно уравнение уже является точным,потому что если бы мы перешли к пределу,то тогда приближённые равенства,в том числе и с дифференциалом стали бы точными.Но всё же.
1.Получается всегда можно использовать смысл дифференциала в физике как бесконечно малое приращение ? А если на выходе окончательно уравнение не позволяет получить производную или что-то в этом духе,то тогда вроде $\alpha(\Delta x)\Delta x$не уходит,может такое быть ?
2.Тот же вопрос для остальных приближений,может ли быть какой-то случай где бесконечно малые высших порядков или что-то подобное нужны ?
Я спрашивал а почему так,а теперь хочу спросить а когда именно так,хоть и однозначный ответ скорее всего нельзя дать

 Профиль  
                  
 
 Re: Понимание дифференциала и приближённых равенств в физике
Сообщение07.09.2021, 10:32 


27/08/16
10171
Cheloveck в сообщении #1530850 писал(а):
1.Получается всегда можно использовать смысл дифференциала в физике как бесконечно малое приращение ?
Не всё в физике везде дифференцируемо.

Cheloveck в сообщении #1530850 писал(а):
2.Тот же вопрос для остальных приближений,может ли быть какой-то случай где бесконечно малые высших порядков или что-то подобное нужны ?
А в математике? Вы дифуры помните, или про них вам тоже нужно в разделе про физику рассказывать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Понимание дифференциала и приближённых равенств в физике
Сообщение07.09.2021, 10:33 
Заслуженный участник


28/12/12
7921
Cheloveck в сообщении #1530850 писал(а):
2.Тот же вопрос для остальных приближений,может ли быть какой-то случай где бесконечно малые высших порядков или что-то подобное нужны ?

Может. Если в точке производная равна нулю, то приращение функции пропорционально приращению аргумента в степени больше единицы.
Например, у функции $y=\sqrt{1-x^2}$ вблизи точки $x_0=0$ приращение $\Delta y=-\Delta x^2/2+o(\Delta x^2)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понимание дифференциала и приближённых равенств в физике
Сообщение07.09.2021, 14:33 


17/10/16
4776
Cheloveck в сообщении #1530850 писал(а):
1.Получается всегда можно использовать смысл дифференциала в физике как бесконечно малое приращение ? А если на выходе окончательно уравнение не позволяет получить производную или что-то в этом духе,то тогда вроде $\alpha(\Delta x)\Delta x$не уходит,может такое быть ?

Тогда тем более все уходит, даже линейная часть. Сами бесконечно малые какого угодно порядка не могут появиться в ответе иначе, как в виде отношения друг к другу. Например, в ответе не может быть $S=Adx$, потому, что в таком случае просто $S=0$. Должно быть так: $dS=Adx$, т.е. отношение бесконечно малых $\frac{dS}{dx}=A$.

Cheloveck в сообщении #1530850 писал(а):
2.Тот же вопрос для остальных приближений,может ли быть какой-то случай где бесконечно малые высших порядков или что-то подобное нужны ?

Может ли понадобиться, например, выражение $\Delta S=A\Delta x+B\Delta x^2+C\Delta x^3$, т.е. по сути, сумма линейной, квадратичной и кубической частей приращения функции? И может ли оно где-либо оказаться точнее, чем просто линейная часть приращения $\Delta S=A\Delta x$? Да, если $\Delta x$ конечно. И нет, если $\Delta x \to 0$ и превращается в $dx$. Потому, что каждый последующий член в этой сумме $dS=Adx+Bdx^2+Cdx^3$ бесконечно мал в сравнении с предыдущим (это очевидно, если соседние члены поделить друг на друга). Так что только первый член в такой сумме имеет значение, остальные не добавляют к нему вообще ничего.
Иногда, правда, бывает, что $A=0$. Тогда линейный член зануляется, и первым становится квадратичный член (как в примере у DimaM). В таком случае только квадратичный член имеет значение (а последующие так же не добавляют к нему ничего).

Поэтому в сумме бесконечно малых имеет значение только бесконечно малая самого низкого порядка. Чаще всего это $dx$. Но может быть и $dx^2$ и $dx^3$ и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понимание дифференциала и приближённых равенств в физике
Сообщение07.09.2021, 16:59 


27/08/16
10171
sergey zhukov в сообщении #1530872 писал(а):
В таком случае только квадратичный член имеет значение
Это неправда. Зависит от того, что дальше делают с такими выражениями. При раскрытии неопределённостей по Тейлору иногда в промежуточных преобразованиях нужно оставлять несколько членов более старшего порядка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понимание дифференциала и приближённых равенств в физике
Сообщение07.09.2021, 17:20 


17/10/16
4776
realeugene
Как это может выглядеть? Т.е. как может случится так, чтобы появилась необходимость удерживать в сумме бесконечно малые разных порядков?

 Профиль  
                  
 
 Re: Понимание дифференциала и приближённых равенств в физике
Сообщение07.09.2021, 17:32 


27/08/16
10171
sergey zhukov в сообщении #1530883 писал(а):
Как это может выглядеть? Т.е. как может случится так, чтобы появилась необходимость удерживать в сумме бесконечно малые разных порядков?
Обычно это нужно когда бесконечно малые более младших порядков сокращаются в промежуточных вычислениях. Но иногда при разложении функции в ряд в окрестности точки это полезно и для уменьшения погрешности аппроксимации, и для оценки остаточной погрешности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понимание дифференциала и приближённых равенств в физике
Сообщение07.09.2021, 19:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
sergey zhukov в сообщении #1530883 писал(а):
Как это может выглядеть?
Например, так: $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-x}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac x{1!}-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)-x}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{-\frac{x^3}6+o(x^3)}{x^3}=\lim_{x\to 0}\left(-\frac 16+\frac{o(x^3)}{x^3}\right)=-\frac 16.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Понимание дифференциала и приближённых равенств в физике
Сообщение08.09.2021, 02:00 


17/10/16
4776
Действительно, нельзя бездумно выбрасывать из суммы бесконечно малые более высоких порядков, т.к. может случиться, что придется вычесть друг из друга две такие суммы, у которых первые члены (или даже несколько первых членов) совпадают и в результате вычитания обнуляются. Если заранее округлить эти суммы до первого члена, то результат вычитания в точности окажется нулевым, и это будет ошибкой, т.к. результат вычитания есть просто бесконечно малая более высокого порядка, чем члены разности.
Первый член в разложении функции с ряд - это вообще константа, "бесконечно малая" нулевого порядка. Если разложение сразу огрубить до этой константы (вроде бы почему и нет? Все последующие члены бесконечно малы в сравнении с константой), то даже первую производную функции нельзя будет вычислить, она всегда будет равна нулю.

Похоже на выражение вроде $S=\frac{100 - 100,1}{0,01}$. Если бездумно округлить 100,1 до 100, считая (справедливо), что 0,1 пренебрежимо мало в сравнении со 100, то можно получить, что $S=0$. Если же не округлять, то $S=10$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 61 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group