Понимание дифференциала и приближённых равенств в физике

[Cheloveck]

Цитата:

Это свойство диффененцируемых функций.
Тут вам надо матан вспоминать, как раз первый курс...

Я не могу вспомнить,буду благодарен если вы мне напомните

[novichok2018]

Есть и такая точка зрения. Понятие дифференциала в первоначальном курсе анализа невозможно определить строго. Не число это и не функция - это всё неправда. Зато строго можно определить частное дифференциалов - это производная. Так бывает. Похожая ситуация. Множество тоже без схоластики в начальных курсах не определишь строго, зато можно определить, что два множества эквивалентны.
Когда можно говорить о дифференциальных формах и подобных вещах - тогда да.

[Cheloveck]

Цитата:

Вот вы удивляетесь, почему при замене приращения функции на его линейную часть не возникает ошибок в решении задачи? Да потому, что для точного решения нам как раз и нужна только линейная часть приращения (по крайней мере для этой задачи это так).

Так почему нам нужна только линейная часть приращения ?

Цитата:

Это математический факт: при нахождении предела некоторые слагаемые в выражении ни на что не влияют (просто обнуляются). Часто уже заранее можно видеть, что это за слагаемые и просто отбрасывать их.

Я всегда спрашиваю для уточнения,ибо если у меня нет подтверждения от других,то я не могу точно утверждать что-то.Как и в прошлом примере тут похоже вы намекаете на то,что мы используем приближённые равенства для упрощения,т.к если не упрощать,то в дальнейшем при поиске предела всё равно получиться то как велит приближённое равенство ?
Если это так,то хорошо,приближённые равенства просто ход заранее,но вот с дифференциалом не очень ясно,я не представляю как пределы от всяких дифференциалов они считают,нужен какой-то конкретный пример который покажет где подавляющее использование идёт на роль дифференциалов.Скажем вот задача
Условие:Цилиндрический сосуд высоты $h$ и площадью основания $S$ наполнен водой.В дне сосуда открыли отверстие $S\ll s$.Пренебрегая вязкостью воды,определить,через сколько времени вытечет вся вода из сосуда.
Пусть в любой момент времени уровень воды в сосуде равен $H$,а скорость потока воды через отверстие, в этот момент будет $u=\sqrt{2gH}$
За интервал времени $dt$ объём воды выбрасываемой через отверстие,$dV=sudt$,с другой стороны
объём выбрасываемой воды за время $dt$ как разность объёмов в начальный момент времени и спустя время $dt$ будет $dV=SdH$,заменяя dV получаем $SdH=sudt$

$$dt=\frac{S}{s}\frac{dH}{\sqrt{2gH}}$$

Приходим к ДУ,как видно его достаточно легко получить тут используя смысл дифференциала как бесконечно малое приращение физической величины,опять же почему такое его использование точное ? Я вижу вы говорите нам нужна только линейная часть приращения,т.е сам дифференциал и я не пониманию почему так.Вижу он активно используется в смысле как приращение при решении задач,но про точность не пишут.Почему так можно мне не ясно.

[realeugene]

Cheloveck в сообщении #1530642 писал(а):

Почему так можно мне не ясно.

Потому что это работает. В данной конкретной изучаемой вами части физики. Если бы это не работало, т. е. не позволяло бы предсказывать поведение наблюдаемой реальности, вы бы такую физику не изучали.

[sergey zhukov]

Cheloveck
Давайте возьмем самый простой пример: в момент $t=0$ тело начинает свободно падать из состояния покоя. Найти $x=x(t)$.
Имеем равноускоренное движение, для которого скорость пропорциональна времени $u=gt$. Рассмотрим две близких во времени точки пути $t_1$ и $t_2$. В этих точках скорость тела равна, соответственно, $u_1=gt_1$ и $u_2=gt_2$. Мы хотим вычислить, какое расстояние пройдет тело за время $\Delta t= t_2-t_1$. Однако скорость тела на этом отрезке времени переменная. Какую скорость мы должны взять, чтобы правильно решить задачу? В начале пути? В конце пути? Какую-то мгновенную скорость на этом отрезке времени? Среднюю арифметическую скоростей в начале и в конце пути? Или точно усредненную скорость на этом отрезке времени?

Вообще ясно, что мы пытаемся заменить некоторую точную кривую $x=x(t)$ на отрезке времени $\triangle t$, которая соответствует переменной скорости, на отрезок прямой, который соответствует какой-то постоянной скорости $u$. При этом приращение пути $\Delta x$ считается линейной функцией пройденного времени $\Delta t$, т.е. мы хотим заменить полное приращение функции $x=x(t)$ его линейной частью $\Delta x =u\Delta t$ и отбросить все члены этого приращения более высоких порядков.
Все эти варианты кажутся заведомо вносящими ошибку, т.к. точно заменить кривую прямой невозможно. Правда, если взять точно усредненную скорость на этом отрезке (последний вариант), то результат (путь, пройденный телом на отрезке времени $\Delta t$) в точности совпадет для прямой и для кривой, так что это представляется хорошим вариантом. Т.е. $x(t_2)-x(t_1) = u(t^*)(t_2-t_1)$, где $u(t^*)$ - точная средняя скорость на отрезке времени $(t_1; t_2)$, причем $t^*$ всегда лежит где-то между $t_1$ и $t_2$. Т.е. где-то на отрезке времени между $t_1$ и $t_2$ у тела всегда есть такая мгновенная скорость, что она равна точной средней скорости тела на этом отрезке времени.

В данной задаче именно про равноускоренное движение очевидно, что точная средняя скорость есть как раз средняя арифметическая между скоростью в $t_1$ и скоростью в $t_2$, так что среднее арифметическое в данном случае - это точный вариант, не вносящий никакой ошибки в решение. Однако в более сложных случаях, когда само ускорение переменное, задача поиска средней скорости сама сводится к интегрированию, при котором опять встают те же вопросы приближений и огрублений. Кажется, что это замкнутый круг.

А давайте просто попробуем решить эту задачу для всех пяти вариантов выбора средней скорости. Если это проделать и проинтегрировать полученные уравнения, то мы увидим, что во всех пяти случаях результат одинаковый: $x=\frac{gt^2}{2}$. Спрашивается, зачем же нам тогда заботится о точности на конечных интервалах, если на бесконечно малых интервалах все варианты, и точные, и не точные, дают одно и то же? Нет никакой необходимости искать, чему в точности равна средняя скорость тела на конечном отрезке $\Delta t$, т.е. искать точное приращение функции $x=x(t)$, когда достаточно взять просто любую мгновенную скорость тела этом отрезке времени и результат будет тот же. Это можно понимать так, что при уменьшении отрезка времени $\Delta t$ любая произвольно выбранная скорость на этом отрезке неизбежно приближается к точной средней скорости, т.к. последняя тоже лежит где-то внутри этого отрезка.

[realeugene]

(Оффтоп)

Cheloveck в сообщении #1530460 писал(а):

я весьма удивился как решают такие задачи люди.

Лайк!

-- 05.09.2021, 12:45 --

Cheloveck в сообщении #1530460 писал(а):

Каким на самом деле смыслом дифференциала пользуются физики и если он отличается от математического определения,то почему они могут пользоваться таким смыслом ?

Пофилософствую немного вслед за окружающими. Физики используют математику для построения и описания своих физических моделей. Математика выступает в качестве языка описания моделей. Физики используют именно тот математический смысл математических терминов, которому их научили преподаватели математики в своих курсах. Только самые великие физики двигали вперёд математику, изобретая свои новые математические понятия и формулируя математические теоремы. Но физики при этом помнят, что их модели приближенные. И вот где точности модели достаточно, а где нет - это уже существенная и рядовая часть физики, доступная и не столь великим физикам.

То, что взаимодействие между частями верёвки локально и может быть описано локальным натяжением верёвки - это чисто физика. Так что можно мысленно разрезать верёвку на части и к каждой части независимо применять законы Ньютона. Так что математическая операция предельного перехода для числовой последовательности адекватно описывает последовательность мысленных разрезов верёвки с применением к каждой части законов Ньютона. И в пределе это даёт законы Ньютона в дифференциальной форме.

-- 05.09.2021, 13:09 --

Cheloveck в сообщении #1530639 писал(а):

Я не могу вспомнить,буду благодарен если вы мне напомните

А вот это уже не получится. Не тот раздел форума. Но не владея необходимой математикой вы просто не понимаете язык, на котором написана физика.

[wrest]

Cheloveck в сообщении #1530639 писал(а):

Я не могу вспомнить,буду благодарен если вы мне напомните

Конечно, можете начать с википедии, статья "Дифференцируемая функция"
Или посмотрите в учебнике матана, который вам больше нравится.

P.S. Кстати, вот пришел в голову пример в физике, когда предположение о гладкости функций приводило к противоречию с наблюдамой реальностью, и в последствии, к великим открытиям. Поискать можно по названию "Ультрафиолетовая катастрофа". Полезно было бы ознакомиться.

[realeugene]

wrest в сообщении #1530655 писал(а):

Конечно, можете начать с википедии, статья "Дифференцируемая функция"

Матан по википедии лучше не учить, как мне кажется. И нужно предупредить, что символ дифференциала в математике используется в нескольких разных смыслах.

[wrest]

realeugene в сообщении #1530656 писал(а):

Матан по википедии лучше не учить, как мне кажется.

Не учить, конечно. А вспомнить :) Википедия просто доступней. Я за Фихтенгольца, но это, как известно, дело вкуса.

[realeugene]

Cheloveck
Посмотрите это видео хотя бы несколько минут с точки остановки: https://youtu.be/WqAhlvXNx0w?t=589

[epros]

realeugene в сообщении #1530504 писал(а):

epros в сообщении #1530491 писал(а):

переменная $x$ - это число или нет?

Нет. Это символ.

Ой-ой, мы кажется впадаем в философию - возвращаемся к средневековому спору "между номиналистами и реалистами": Реален ли символ сам по себе или он только имя (обозначение) реального объекта?

realeugene в сообщении #1530504 писал(а):

epros в сообщении #1530498 писал(а):

В некотором смысле.

В некотором несформулированном смысле. ;)

Смысл как раз чётко прослеживается из вышесказанного: Он в том, что значением функции является число.

realeugene в сообщении #1530504 писал(а):

epros в сообщении #1530498 писал(а):

По моим понятиям числовая функция - это вполне себе число.

Число - это элемент числового множества. Функция таковой не является.

Зато значение функции таковым является. И в некотором контексте можно сказать "нечто является функцией от" вместо "нечто является значением функции от" и быть правильно понятым.

Кстати, интерпретация $\frac{dx}{dt}$ как дроби предполагает интерпретацию $dx$ и $dt$ как чисел, в отношении которых применяется операция деления. И уточнение, что $dx$ - функция (или оператор), сути этой интерпретации не меняет.

[realeugene]

epros в сообщении #1530676 писал(а):

:facepalm: Ой-ой, мы кажется впадаем в философию - возвращаемся к средневековому спору "между номиналистами и реалистами": Реален ли символ сам по себе или он только имя (обозначение) реального объекта?

Нет, не в философию. Про "реальность" я ничего не писал. Я писал про то, что $x$ - это символ, а не число. Который в разных контекстах может обозначать разные числа. Даже из различных полей. Или колец. А может вообще обозначать число из некоторого множества чисел, например, решений уравнения. Смысл символа от контекста зависит.

epros в сообщении #1530676 писал(а):

Смысл как раз чётко прослеживается из вышесказанного: Он в том, что значением функции является число.

Значение функции - является числом, на определённом аргументе функции из её области определения. Но не сама функция.

epros в сообщении #1530676 писал(а):

И в некотором контексте можно сказать "нечто является функцией от" вместо "нечто является значением функции от" и быть правильно понятым.

В некотором контексте. А в другом контексте нельзя так сказать.

epros в сообщении #1530676 писал(а):

Кстати, интерпретация $\frac{dx}{dt}$ как дроби предполагает интерпретацию $dx$ и $dt$ как чисел

Нет.

[epros]

realeugene в сообщении #1530684 писал(а):

Нет, не в философию. Про "реальность" я ничего не писал. Я писал про то, что $x$ - это символ, а не число.

Я и не про "реальность", а про "средневековый реализм", который, как известно, утверждал, что символ сам по себе реален, т.е. является тем реальным объектом, который он обозначает. Ваше утверждение напомнило мне сию философию. А я лично привык считать, что символ - это просто имя (собственное или нарицательное) того объекта, который он обозначает. Соответственно, символ и обозначаемый им объект - это разные вещи.

realeugene в сообщении #1530684 писал(а):

Который в разных контекстах может обозначать разные числа.

Но ведь в указанном контексте символ $x$ обозначает "какое-то", но всё же число?

realeugene в сообщении #1530684 писал(а):

Нет.

Э-эээ. Да.
(Буду столь же лаконичен). Или Вы будете утверждать, что "дробь" не имеет отношения к бинарной операции с числами, именуемой "делением"?

[realeugene]

epros в сообщении #1530696 писал(а):

который, как известно

Мне это не известно и, на самом деле, не особо интересно. Я подразумевал современную логику и современный язык математики.

epros в сообщении #1530696 писал(а):

Но ведь в указанном контексте символ $x$ обозначает "какое-то", но всё же число?

Иногде обозначает и число, да. В общем случае - нет.

epros в сообщении #1530696 писал(а):

(Буду столь же лаконичен).

А это вам как сформулировавшему конструктивное утверждение и доказывать его. ;)

[epros]

realeugene в сообщении #1530700 писал(а):

epros в сообщении #1530696 писал(а):

Но ведь в указанном контексте символ $x$ обозначает "какое-то", но всё же число?

Иногде обозначает и число, да. В общем случае - нет.

Там были слова "в указанном контексте".
Хотя, конечно, при наличии фантазии можно в $\sin 2 x$ интерпретировать $x$ и как числовую матрицу.