CheloveckДавайте возьмем самый простой пример: в момент
тело начинает свободно падать из состояния покоя. Найти
.
Имеем равноускоренное движение, для которого скорость пропорциональна времени
. Рассмотрим две близких во времени точки пути
и
. В этих точках скорость тела равна, соответственно,
и
. Мы хотим вычислить, какое расстояние пройдет тело за время
. Однако скорость тела на этом отрезке времени переменная. Какую скорость мы должны взять, чтобы правильно решить задачу? В начале пути? В конце пути? Какую-то мгновенную скорость на этом отрезке времени? Среднюю арифметическую скоростей в начале и в конце пути? Или точно усредненную скорость на этом отрезке времени?
Вообще ясно, что мы пытаемся заменить некоторую точную кривую
на отрезке времени
, которая соответствует переменной скорости, на отрезок прямой, который соответствует какой-то постоянной скорости
. При этом приращение пути
считается линейной функцией пройденного времени
, т.е. мы хотим заменить полное приращение функции
его линейной частью
и отбросить все члены этого приращения более высоких порядков.
Все эти варианты кажутся заведомо вносящими ошибку, т.к. точно заменить кривую прямой невозможно. Правда, если взять точно усредненную скорость на этом отрезке (последний вариант), то результат (путь, пройденный телом на отрезке времени
) в точности совпадет для прямой и для кривой, так что это представляется хорошим вариантом. Т.е.
, где
- точная средняя скорость на отрезке времени
, причем
всегда лежит где-то между
и
. Т.е. где-то на отрезке времени между
и
у тела всегда есть такая мгновенная скорость, что она равна точной средней скорости тела на этом отрезке времени.
В данной задаче именно про равноускоренное движение очевидно, что точная средняя скорость есть как раз средняя арифметическая между скоростью в
и скоростью в
, так что среднее арифметическое в данном случае - это точный вариант, не вносящий никакой ошибки в решение. Однако в более сложных случаях, когда само ускорение переменное, задача поиска средней скорости сама сводится к интегрированию, при котором опять встают те же вопросы приближений и огрублений. Кажется, что это замкнутый круг.
А давайте просто попробуем решить эту задачу для всех пяти вариантов выбора средней скорости. Если это проделать и проинтегрировать полученные уравнения, то мы увидим, что во всех пяти случаях результат одинаковый:
. Спрашивается, зачем же нам тогда заботится о точности на конечных интервалах, если на бесконечно малых интервалах все варианты, и точные, и не точные, дают одно и то же? Нет никакой необходимости искать, чему в точности равна средняя скорость тела на конечном отрезке
, т.е. искать точное приращение функции
, когда достаточно взять просто любую мгновенную скорость тела этом отрезке времени и результат будет тот же. Это можно понимать так, что при уменьшении отрезка времени
любая произвольно выбранная скорость на этом отрезке неизбежно приближается к точной средней скорости, т.к. последняя тоже лежит где-то внутри этого отрезка.