Модифицированные ф-ии Бесселя первого рода

[novichok2018]

Впервые слышу, что вместо явной простой формулы через элементарные функции лучше считать по приближённым формулам через ряды. Век живи...

[Otta]

novichok2018
На самом деле, зависит от целей. Если нужен расчет численного значения при конкретном малом аргументе, конечно, ряд быстрее и точнее даст результат.
Но что нужно ТС - он знает лучше, пусть выбирает сам.

[Farest2]

Так численно же... Два факториала в знаменателе и полиномиальная структура частичных сумм явно выгоднее, чем синусы-косинусы и куча дробей вида $1/x^k$. То есть это (почти)
$$\infty-\infty=0.$$\
Зачем нарываться на дикую машинную ошибку?

[ihq.pl]

Из интереса сравнил. Особого смысла в квадратурах в моем случае нет.

[Евгений Машеров]

ihq.pl в сообщении #1529578 писал(а):

Такой пример. Допустим, левую часть в

$$(a+\delta)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k}\delta^k $$

надо посчитать через правую. Здесь $n$ - большое, а $\delta$ мало настолько, что в машине $\delta^k=0$ для $k\ge n-1$. Тогда погрешность $na\delta^{n-1}$ может быть большой при больших $a$.

Ну вот прикинем. Пусть, для простоты, $a=1$. А $\delta$ такова, что $\delta^{n-1}=\varepsilon$, где "эпсилон" равен "машинному нулю". То есть $\delta=\sqrt[n-1]\varepsilon$. Тогда абсолютная ошибка от обнуления $\delta^{n-1}$ будет равна $n\delta^{n-1}=n\varepsilon$, а для оценки сверху относительной ошибки поделим не на всё выражение, а лишь на одно слагаемое, второе $n\delta=n\sqrt[n-1]\varepsilon$. Тогда относительная ошибка будет не более $\varepsilon^{1-\frac 1 {n-1}}$ и чем больше n, тем меньше. Если же рассмотреть случай большого a - то в знаменателе относительной ошибки появляется большое a в большой степени n.

[Евгений Машеров]

novichok2018 в сообщении #1529670 писал(а):

Впервые слышу, что вместо явной простой формулы через элементарные функции лучше считать по приближённым формулам через ряды. Век живи...

Ну, элементарные функции тоже считаются "приближённым способом". А расчёт через ряды "приближённый" в той степени, в какой мы ряд заменяем конечной суммой, обрывая суммирование. И, в частности, в данном случае можно довольно легко оценить возникающую от этого ошибку, да и расчёт легко организуется программно. Каждое новое слагаемое получается из предыдущего умножением на некоторое малое число и делением на всё большие числа.