Модифицированные ф-ии Бесселя первого рода

[ihq.pl]

Понадобились значения модифицированной функции Бесселя $I_\nu(x)$, где $\nu=m+1/2$, $m$- натуральное, $x>0$- вещественное. Думал найти в сети интегральное представление и считать интеграл методом трапеций. Самым простым на вид показалось представление

$$I_\nu(x) = \frac{2^{-\nu}x^\nu}{\sqrt{\pi}\Gamma(\nu+1/2)}\int_0^\pi e^{x\cos t}(\sin t)^{2\nu}dt, \quad \operatorname{Re} \nu>-1/2$$

из Википедии. Можно ли ему доверять? Просто, больше нигде не нашел ничего подобного. Я знаю, что есть представление в виде степенного ряда

$$I_\nu(x)=\left(\frac{x}{2}\right)^v\sum_{k=0}^\infty \frac{(x^2/4)^k}{k!\Gamma(\nu+k+1)}$$

которое может даже лучше. Но у меня $x$ маленькие, поэтому хотел считать интеграл методом трапеций или через квадратуры Гаусса.

[Vince Diesel]

Обязательно вручную? Некоторые матпакеты считать умеют, или хоть Wolfram alpha.

[Eule_A]

ihq.pl
Посмотрите книгу Ватсона "Теория бесселевых функций", том 1, стр. 190, формула (2) по изданию 1949 года.

[ihq.pl]

Vince Diesel, в тех пакетах, с которыми я успел познакомиться, оценивают с помощью степенного ряда. Хотя, не знаю, так ли это плохо. Судя по тому, что нашел по вашей ссылке, представление из Википедии верное).. уже неплохо. Спасибо)

Eule_A, спасибо)

[Vince Diesel]

С полуцелыми индексами WolframAlpha выражает через элементарные функции.

[novichok2018]

Да, выражаются через конечную комбинацию экспонент.
Явную формулу для этого случая не так просто найти сразу, вот есть в Абрамовиц, Стегун с. 261.

[Евгений Машеров]

А что плохого в выражении через степенной ряд, "если иксы маленькие"? Сходиться быстро будет...

[ihq.pl]

Евгений Машеров
Не знаю, наверное, просто плохой опыт со степенными рядами. Вернее, с полиномами. Была одна функция, которая выражалась и как сумма полиномов и было её интегральное представление. Вычисление суммы полиномов давало заметно большую погрешность, чем квадратуры интегралов.

А так, по логике, чем меньше икс, тем быстрее его степень обращается в нуль в машине, и значит тем больший остаток ряда отбрасывается, что теоретически может привести к существенной погрешности) Вроде так. Хотя, конкретно для ряда ф-ии Бесселя может и не так.

Такой пример. Допустим, левую часть в

$$(a+\delta)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k}\delta^k $$

надо посчитать через правую. Здесь $n$ - большое, а $\delta$ мало настолько, что в машине $\delta^k=0$ для $k\ge n-1$. Тогда погрешность $na\delta^{n-1}$ может быть большой при больших $a$.

[Otta]

ihq.pl
Вам же рекомендовали источник. Очень хороший. Только не знаю, почему была указана именно та страница.
Но неважно. Посмотрите с. 94 формулу (10) в Ватсоне 1949 года. Функция Бесселя (в т.ч. модифицированная) для полуцелых индексов выражается через конечную сумму. Наверняка это и в каком-то справочнике есть.
...елки, и это уже четвертый ответ об одном и том же. (

[Евгений Машеров]

ihq.pl в сообщении #1529578 писал(а):

Не знаю, наверное, просто плохой опыт со степенными рядами. Вернее, с полиномами. Была одна функция, которая выражалась и как сумма полиномов и было её интегральное представление. Вычисление суммы полиномов давало заметно большую погрешность, чем квадратуры интегралов.

А можно подробностей? А то выглядит как-то странно...

-- 25 авг 2021, 14:31 --

ihq.pl в сообщении #1529578 писал(а):

А так, по логике, чем меньше икс, тем быстрее его степень обращается в нуль в машине, и значит тем больший остаток ряда отбрасывается, что теоретически может привести к существенной погрешности) Вроде так. Хотя, конкретно для ряда ф-ии Бесселя может и не так.

Ну, можно остаток ряда мажорировать геометрической прогрессией и видеть, что отброшенная сумма меньше последнего отброшенного члена.

-- 25 авг 2021, 14:33 --

ihq.pl в сообщении #1529578 писал(а):

Такой пример. Допустим, левую часть в

$$(a+\delta)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k}\delta^k $$

надо посчитать через правую. Здесь $n$ - большое, а $\delta$ мало настолько, что в машине $\delta^k=0$ для $k\ge n-1$. Тогда погрешность $na\delta^{n-1}$ может быть большой при больших $a$.

Но если рассматривать относительную погрешность - то для больших a она будет весьма мала...

[ihq.pl]

Евгений Машеров в сообщении #1529599 писал(а):

А можно подробностей? А то выглядит как-то странно...

Да, там не так было, это вы точно заметили. Мне надо было посчитать интеграл

$$\int_{-\delta}^\delta g(t)\Psi(t,s)dt, \delta<1$$

$$\Psi(t,s) = \sum_{n=0}^{N-1}(n+1)U_n(t)U_n(s)$$

Сначала я считал ядро в лоб, используя рекуррентные формулы для полиномов Чебышева. Потом дошло, что ядро можно преобразовать к простому виду, используя формулы для сумм косинусов и синусов. И вычисления стали не только проще но и точнее.

А вы считаете, что значения суммы ряда из первого моего поста при малых иксах не будут ни чем отличаться от квадратуры Гаусса?

-- 25.08.2021, 16:49 --

Otta, спасибо. Всё нашел еще вчера. Вики не обманула)

[Eule_A]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #1529584 писал(а):

Только не знаю, почему была указана именно та страница.

Всё очень просто. Сработала доведённая до автоматизма привычка отвечать ровно на заданный вопрос. Был вопрос, можно ли доверять вот именно той конкретной формуле.
Правда, это если вывести за скобки, что почему-то я проглядел уточнение о полуцелых значениях индекса $\nu$...
Так что это не вредность, а привычка плюс некоторая невнимательность.

[ihq.pl]

И я тоже невнимательный. Формула (10) на стр. 94 просто супер. Otta, еще раз спасибо)

[Евгений Машеров]

Ну, в точной арифметике должно быть одно и то же, а проанализировать ошибки при интегрировании мне сложно. Я бы, наверно, зная, что х-ы маленькие, выбрал бы вычисление через ряд.

[Farest2]

Не заморачивайтесь с конечными суммами, если нужны численные значения $I_{n+1/2}(x)$, да ещё при малых значениях аргумента. Там же полиномы от $1/x$ вылезают, и чем больше $n$, тем больше проблем. Только через ряд!