Существование базиса в любом ВП

[EminentVictorians]

Задача - доказать, что в любом векторном пространстве есть базис.

Стандартное доказательство с использованием леммы Цорна и построением частично упорядоченного множества я знаю. Проблема в том, что мне не очень нравятся все эти вещи (лемма Цорна, теорема Цермело, принцип максимума Хаусдорфа) в которых фигурируют порядки. А аксиома выбора нравится.

Я хочу найти доказательство, опирающееся непосредственно на аксиому выбора. Понятно, что можно по пути просто доказать лемму Цорна, но мне такой вариант не подходит. В общем, хочется доказательства, в котором вообще не было бы никаких упорядоченных множеств.

[EminentVictorians]

А если так.

Пусть нашлось векторное пространство $V(K)$, у которого нету базиса. Тогда любое его линейно независимое подмножество векторов не является максимальным, т.е. к любому линейно независимому множеству векторов можно добавить некоторый вектор из $V$ и полученное множество все равно будет линейно независимым. Возьмем какое нибудь такое линейно независимое множество (можно просто взять какой-нибудь ненулевой вектор $v_1$). Вектор $v_1$ порождает подпространство $\operatorname {lin} v_1$ - линейную оболочку этого вектора. Добавим к нему второй вектор $v_2$, они оба породят подпространство $\operatorname {lin} v_1 \subset \operatorname {lin} v_2$. Продолжая этот процесс бесконечно получим цепочку вложенных подпространств: $\operatorname {lin} v_1 \subset ... \subset \operatorname {lin} v_n \subset ...$. Объединение $\bigcup\limits_{i = 1}^{\infty} \operatorname {lin} v_i$ будет подпространством пространства $V$, причем оно будет порождаться множеством $\bigcup\limits_{i = 1}^{\infty}v_i$, которое линейно независимо. А значит $\bigcup\limits_{i = 1}^{\infty} \operatorname {lin} v_i \ne V$.

Вот это множество $\bigcup\limits_{i = 1}^{\infty} \operatorname {lin} v_i$ получено как бы на шаге $\omega$. Но к $\bigcup\limits_{i = 1}^{\infty}v_i$ можно опять точно так же добавлять векторы и опять получится некоторое собственное подпространство уже на шаге $\omega + \omega$. Продолжаем этот процесс до победного и в итоге получаем, что на некотором шаге мощность некоторого собственного (а оно на любом шаге будет собственным) подпространства превосходит мощность самого $V(K)$ и противоречие вроде как получено.


Я сразу скажу, я все эти ординалы совсем не понимаю. Я даже не знаю, какое у них определение. Но все же интересно, пройдет ли такое рассуждение в качестве доказательства.

[Null]

Ошибки:
1.

EminentVictorians в сообщении #1529312 писал(а):

Продолжая этот процесс бесконечно получим цепочку вложенных подпространств

Продолжая процесс бесконечно нельзя(не гарантируется) получить бесконечную цепочку. Нет такой аксиомы. Нужно явно использовать аксиому выбора или её аналог. Советую прочитать доказательство о том что любое множество можно вполне упорядочить.
2.

EminentVictorians в сообщении #1529312 писал(а):

Продолжаем этот процесс до победного и в итоге получаем, что на некотором шаге мощность некоторого собственного (а оно на любом шаге будет собственным) подпространства превосходит мощность самого $V(K)$

Ну тут надо доказывать что победный конец будет. По факту придется доказать что $V(K)$ можно вполне упорядочить.
3.Сам шаг описан не корректно, не все ординалы представимы в виде суммы $\omega$ с хвостиком.

[EminentVictorians]

Null в сообщении #1529387 писал(а):

Продолжая процесс бесконечно нельзя(не гарантируется) получить бесконечную цепочку. Нет такой аксиомы.

Хм.. Вот я взял первый вектор $v_1$ и рассмотрел его линейную оболочку $\operatorname{lin} v_1$. Потом добавил к нему вектор $v_2$ и рассмотрел линейную оболочку $\operatorname{lin} v_2$ этой пары. На каждом шаге получается пространство, содержащее предыдущее в качестве собственного подпространства. Они все попарно различны. Получилась самая обычная цепочка вложенных подпространств $\operatorname {lin} v_1 \subset ... \subset \operatorname {lin} v_n \subset ...$. Почему не гарантируется получить бесконечную цепочку, если я ее прямо предъявил?

Null в сообщении #1529387 писал(а):

Ну тут надо доказывать что победный конец будет.

Я могу аккуратнее сформулировать. С помощью той трансфинитной цепочки шагов мы способны получить подпространство любой мощности, а значит на некотором шаге мощность этого подпространства будет превышать мощность самого пространства $V$, чего быть не может. В такой формулировке никакого конца нету. (Но вообще, я конечно не уверен, действительно ли так можно получить подпространство прям совсем произвольной сколь угодно большой мощности.)

[Null]

EminentVictorians в сообщении #1529392 писал(а):

Почему не гарантируется получить бесконечную цепочку

Она не бесконечная. Ваше рассуждение не переводиться на язык аксиом. Проще говоря, так делать в доказательстве нельзя.

EminentVictorians в сообщении #1529392 писал(а):

С помощью той трансфинитной цепочки шагов мы способны получить подпространство любой мощности

Это же равносильно возможности вполне упорядочить любое множество. Вы же хотели без теоремы Церемело доказать.

[EminentVictorians]

Null в сообщении #1529396 писал(а):

Ваше рассуждение не переводиться на язык аксиом.

Аксиом ZFC? А что именно не переводится и почему?

Null в сообщении #1529396 писал(а):

Это же равносильно возможности вполне упорядочить любое множество. Вы же хотели без теоремы Церемело доказать.

Я хотел без упорядоченных множеств. Чтобы никаких отношений порядка не фигурировало, и в моем доказательстве их нету. А то, что что-то получается эквивалентно теореме Цермело - ну может быть, не знаю, да и это не важно. Меня само доказательство интересует, все ли с ним так или не так. (И кстати у меня же не произвольное множество, а векторное пространство. А в теореме Цермело произвольное множество. Уже хотя бы поэтому мне странно, что есть какая-то эквивалентность)

[Null]

EminentVictorians в сообщении #1529400 писал(а):

Аксиом ZFC? А что именно не переводится и почему?

Рассуждение про берем 1 элемент, 2рой элемент и т.д. - получаем бесконечную последовательность. Для этого нужна аксиома выбора, а вы ее не использовали. Известная ошибка, даже в учебниках встречается.

EminentVictorians в сообщении #1529312 писал(а):

Продолжаем этот процесс до победного и в итоге получаем, что на некотором шаге мощность некоторого собственного (а оно на любом шаге будет собственным) подпространства превосходит мощность самого $V(K)$ и противоречие вроде как получено.

EminentVictorians в сообщении #1529400 писал(а):

Я хотел без упорядоченных множеств. Чтобы никаких отношений порядка не фигурировало, и в моем доказательстве их нету. А то, что что-то получается эквивалентно теореме Цермело - ну может быть, не знаю, да и это не важно. Меня само доказательство интересует, все ли с ним так или не так.

Вы используете утверждение - вы должны его доказать.

[Nemiroff]

EminentVictorians в сообщении #1529392 писал(а):

Получилась самая обычная цепочка вложенных подпространств $\operatorname {lin} v_1 \subset ... \subset \operatorname {lin} v_n \subset ...$. Почему не гарантируется получить бесконечную цепочку, если я ее прямо предъявил?

Вы не предъявляете бесконечную цепочку. Вы говорите, что для любого натурального числа $n$ существует цепочка длины $n$.

[Mikhail_K]

EminentVictorians в сообщении #1529400 писал(а):

Я хотел без упорядоченных множеств. Чтобы никаких отношений порядка не фигурировало

Так Ваша "бесконечная цепочка", если её строго ввести, как раз и будет множеством с отношением порядка. Цепочка на то и цепочка, что в ней какие-то элементы левее, а какие-то правее. А утверждение, что "цепочка может быть любой мощности" - это в точности утверждение о том, что "множество любой мощности может быть представлено такой цепочкой", то есть теорема Цермело.

[EminentVictorians]

Null в сообщении #1529405 писал(а):

Для этого нужна аксиома выбора, а вы ее не использовали.

Так аксиома выбора то есть, ей можно пользоваться. Нельзя лемму Цорна и теорему Цермело использовать.

Mikhail_K в сообщении #1529411 писал(а):

А утверждение, что "цепочка может быть любой мощности" - это в точности утверждение о том, что "множество любой мощности может быть представлено такой цепочкой", то есть теорема Цермело.

Ну у меня же конкретная цепочка конкретных множеств - подпространств векторного пространства. Плюс у меня существенно используется тот факт, что если для любых 2-ух подпространств существует 3-е, их накрывающее, то объединение всего семейства этих подпространств - подпространство. Теорема Цермело мне кажется гораздо сильнее.

[Null]

EminentVictorians в сообщении #1529413 писал(а):

Так аксиома выбора то есть, ей можно пользоваться.

Пользуйтесь! Без нее ваше доказательство неверно.

EminentVictorians в сообщении #1529413 писал(а):

Теорема Цермело мне кажется гораздо сильнее.

Все равно это(то что достигнем любой мощности) надо доказывать.

[Mikhail_K]

EminentVictorians в сообщении #1529413 писал(а):

Теорема Цермело мне кажется гораздо сильнее.

Не сильнее. Смотрите. Вы говорите: вот эти конкретные цепочки могут быть любой мощности. Равносильное утверждение: любое (вообще любое) множество равномощно некоторой из этих цепочек. <Потому что если взять произвольное множество, то у него есть какая-то мощность, и нужно взять цепочку такой же мощности.> Но если заметить, что все Ваши цепочки вполне упорядочены, то равномощность произвольного множества одной из Ваших цепочек позволяет ввести на этом произвольном множестве полный порядок, а это и есть теорема Цермело.

EminentVictorians в сообщении #1529400 писал(а):

Я хотел без упорядоченных множеств. Чтобы никаких отношений порядка не фигурировало

Тогда не используйте ординалы. Потому что ординалы - это и есть порядковые типы вполне упорядоченных множеств.

[Someone]

EminentVictorians в сообщении #1529392 писал(а):

Почему не гарантируется получить бесконечную цепочку, если я ее прямо предъявил?

Для этого Вам нужно написать бесконечно длинное рассуждение. Поскольку Вы его никогда не напишете, то бесконечную цепочку Вы не предъявите.

EminentVictorians в сообщении #1529413 писал(а):

Так аксиома выбора то есть, ей можно пользоваться.

А где Вы ей пользовались в вашем рассуждении?

И, кстати, какую именно формулировку аксиомы выбора Вы имеете в виду?

[EminentVictorians]

Someone в сообщении #1529493 писал(а):

Для этого Вам нужно написать бесконечно длинное рассуждение. Поскольку Вы его никогда не напишете, то бесконечную цепочку Вы не предъявите.

Кстати а нужна ли она вообще? Для каждого $n$ я предъявил некоторое подпространство $\operatorname {lin} v_n$. Это мне кажется конечное рассуждение,т.к. его же можно по индукции сделать: для $n=1$ берем линейную оболочку ненулевого вектора, а для $k+1$ берем линейную оболочку множества $\{v_1, ... ,v_k\} \cup \{v_{k+1}\}$. Потом просто возьмем объединение этих подпространств и все. Для того, чтобы просто взять объединение некоторой совокупности множеств аксиома выбора вроде не нужна?

Someone в сообщении #1529493 писал(а):

А где Вы ей пользовались в вашем рассуждении?

Сложно сказать. Наверное в том месте, где я утверждаю, что с помощью трансфинитной цепочки шагов можно получить множество произвольно большой мощности?

Someone в сообщении #1529493 писал(а):

И, кстати, какую именно формулировку аксиомы выбора Вы имеете в виду?

Та, которая утверждает существование функции выбора для всякого семейства непустых множеств.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1529523 писал(а):

Для того, чтобы просто взять объединение некоторой совокупности множеств аксиома выбора вроде не нужна?

А у вас нет совокупности множеств. У вас есть по множеству для каждого $n$, а общее, содержащее их все, без аксиомы выбора существовать не обязано.

EminentVictorians в сообщении #1529523 писал(а):

Наверное в том месте, где я утверждаю, что с помощью трансфинитной цепочки шагов можно получить множество произвольно большой мощности?

Как ни странно, конкретно здесь можно и без аксиомы выбора - ваша цепочка (если она уже построена) задает инъекцию из любого ординала в $V$. Но то, что для любого множества существует ординал, мощность которого не меньше и не равна мощности этого множества, доказывается уже без аксиомы выбора (а вот то, что существует ординал большей мощности, уже её требует).