А если так.
Пусть нашлось векторное пространство

, у которого нету базиса. Тогда любое его линейно независимое подмножество векторов не является максимальным, т.е. к любому линейно независимому множеству векторов можно добавить некоторый вектор из

и полученное множество все равно будет линейно независимым. Возьмем какое нибудь такое линейно независимое множество (можно просто взять какой-нибудь ненулевой вектор

). Вектор

порождает подпространство

- линейную оболочку этого вектора. Добавим к нему второй вектор

, они оба породят подпространство

. Продолжая этот процесс бесконечно получим цепочку вложенных подпространств:

. Объединение

будет подпространством пространства

, причем оно будет порождаться множеством

, которое линейно независимо. А значит

.
Вот это множество

получено как бы на шаге

. Но к

можно опять точно так же добавлять векторы и опять получится некоторое
собственное подпространство уже на шаге

. Продолжаем этот процесс до победного и в итоге получаем, что на некотором шаге мощность некоторого собственного (а оно на любом шаге будет собственным) подпространства превосходит мощность самого

и противоречие вроде как получено.
Я сразу скажу, я все эти ординалы совсем не понимаю. Я даже не знаю, какое у них определение. Но все же интересно, пройдет ли такое рассуждение в качестве доказательства.