2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Существование базиса в любом ВП
Сообщение22.08.2021, 00:54 


22/10/20
1188
Задача - доказать, что в любом векторном пространстве есть базис.

Стандартное доказательство с использованием леммы Цорна и построением частично упорядоченного множества я знаю. Проблема в том, что мне не очень нравятся все эти вещи (лемма Цорна, теорема Цермело, принцип максимума Хаусдорфа) в которых фигурируют порядки. А аксиома выбора нравится.

Я хочу найти доказательство, опирающееся непосредственно на аксиому выбора. Понятно, что можно по пути просто доказать лемму Цорна, но мне такой вариант не подходит. В общем, хочется доказательства, в котором вообще не было бы никаких упорядоченных множеств.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование базиса в любом ВП
Сообщение22.08.2021, 21:32 


22/10/20
1188
А если так.

Пусть нашлось векторное пространство $V(K)$, у которого нету базиса. Тогда любое его линейно независимое подмножество векторов не является максимальным, т.е. к любому линейно независимому множеству векторов можно добавить некоторый вектор из $V$ и полученное множество все равно будет линейно независимым. Возьмем какое нибудь такое линейно независимое множество (можно просто взять какой-нибудь ненулевой вектор $v_1$). Вектор $v_1$ порождает подпространство $\operatorname {lin} v_1$ - линейную оболочку этого вектора. Добавим к нему второй вектор $v_2$, они оба породят подпространство $\operatorname {lin} v_1 \subset \operatorname {lin} v_2$. Продолжая этот процесс бесконечно получим цепочку вложенных подпространств: $\operatorname {lin} v_1 \subset ... \subset \operatorname {lin} v_n \subset ...$. Объединение $\bigcup\limits_{i = 1}^{\infty} \operatorname {lin} v_i$ будет подпространством пространства $V$, причем оно будет порождаться множеством $\bigcup\limits_{i = 1}^{\infty}v_i$, которое линейно независимо. А значит $\bigcup\limits_{i = 1}^{\infty} \operatorname {lin} v_i \ne V$.

Вот это множество $\bigcup\limits_{i = 1}^{\infty} \operatorname {lin} v_i$ получено как бы на шаге $\omega$. Но к $\bigcup\limits_{i = 1}^{\infty}v_i$ можно опять точно так же добавлять векторы и опять получится некоторое собственное подпространство уже на шаге $\omega + \omega$. Продолжаем этот процесс до победного и в итоге получаем, что на некотором шаге мощность некоторого собственного (а оно на любом шаге будет собственным) подпространства превосходит мощность самого $V(K)$ и противоречие вроде как получено.


Я сразу скажу, я все эти ординалы совсем не понимаю. Я даже не знаю, какое у них определение. Но все же интересно, пройдет ли такое рассуждение в качестве доказательства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование базиса в любом ВП
Сообщение23.08.2021, 14:19 
Заслуженный участник


12/08/10
1676
Ошибки:
1.
EminentVictorians в сообщении #1529312 писал(а):
Продолжая этот процесс бесконечно получим цепочку вложенных подпространств
Продолжая процесс бесконечно нельзя(не гарантируется) получить бесконечную цепочку. Нет такой аксиомы. Нужно явно использовать аксиому выбора или её аналог. Советую прочитать доказательство о том что любое множество можно вполне упорядочить.
2.
EminentVictorians в сообщении #1529312 писал(а):
Продолжаем этот процесс до победного и в итоге получаем, что на некотором шаге мощность некоторого собственного (а оно на любом шаге будет собственным) подпространства превосходит мощность самого $V(K)$
Ну тут надо доказывать что победный конец будет. По факту придется доказать что $V(K)$ можно вполне упорядочить.
3.Сам шаг описан не корректно, не все ординалы представимы в виде суммы $\omega$ с хвостиком.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование базиса в любом ВП
Сообщение23.08.2021, 14:55 


22/10/20
1188
Null в сообщении #1529387 писал(а):
Продолжая процесс бесконечно нельзя(не гарантируется) получить бесконечную цепочку. Нет такой аксиомы.
Хм.. Вот я взял первый вектор $v_1$ и рассмотрел его линейную оболочку $\operatorname{lin} v_1$. Потом добавил к нему вектор $v_2$ и рассмотрел линейную оболочку $\operatorname{lin} v_2$ этой пары. На каждом шаге получается пространство, содержащее предыдущее в качестве собственного подпространства. Они все попарно различны. Получилась самая обычная цепочка вложенных подпространств $\operatorname {lin} v_1 \subset ... \subset \operatorname {lin} v_n \subset ...$. Почему не гарантируется получить бесконечную цепочку, если я ее прямо предъявил?

Null в сообщении #1529387 писал(а):
Ну тут надо доказывать что победный конец будет.
Я могу аккуратнее сформулировать. С помощью той трансфинитной цепочки шагов мы способны получить подпространство любой мощности, а значит на некотором шаге мощность этого подпространства будет превышать мощность самого пространства $V$, чего быть не может. В такой формулировке никакого конца нету. (Но вообще, я конечно не уверен, действительно ли так можно получить подпространство прям совсем произвольной сколь угодно большой мощности.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование базиса в любом ВП
Сообщение23.08.2021, 15:45 
Заслуженный участник


12/08/10
1676
EminentVictorians в сообщении #1529392 писал(а):
Почему не гарантируется получить бесконечную цепочку
Она не бесконечная. Ваше рассуждение не переводиться на язык аксиом. Проще говоря, так делать в доказательстве нельзя.
EminentVictorians в сообщении #1529392 писал(а):
С помощью той трансфинитной цепочки шагов мы способны получить подпространство любой мощности
Это же равносильно возможности вполне упорядочить любое множество. Вы же хотели без теоремы Церемело доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование базиса в любом ВП
Сообщение23.08.2021, 16:01 


22/10/20
1188
Null в сообщении #1529396 писал(а):
Ваше рассуждение не переводиться на язык аксиом.
Аксиом ZFC? А что именно не переводится и почему?
Null в сообщении #1529396 писал(а):
Это же равносильно возможности вполне упорядочить любое множество. Вы же хотели без теоремы Церемело доказать.
Я хотел без упорядоченных множеств. Чтобы никаких отношений порядка не фигурировало, и в моем доказательстве их нету. А то, что что-то получается эквивалентно теореме Цермело - ну может быть, не знаю, да и это не важно. Меня само доказательство интересует, все ли с ним так или не так. (И кстати у меня же не произвольное множество, а векторное пространство. А в теореме Цермело произвольное множество. Уже хотя бы поэтому мне странно, что есть какая-то эквивалентность)

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование базиса в любом ВП
Сообщение23.08.2021, 16:13 
Заслуженный участник


12/08/10
1676
EminentVictorians в сообщении #1529400 писал(а):
Аксиом ZFC? А что именно не переводится и почему?
Рассуждение про берем 1 элемент, 2рой элемент и т.д. - получаем бесконечную последовательность. Для этого нужна аксиома выбора, а вы ее не использовали. Известная ошибка, даже в учебниках встречается.
EminentVictorians в сообщении #1529312 писал(а):
Продолжаем этот процесс до победного и в итоге получаем, что на некотором шаге мощность некоторого собственного (а оно на любом шаге будет собственным) подпространства превосходит мощность самого $V(K)$ и противоречие вроде как получено.
EminentVictorians в сообщении #1529400 писал(а):
Я хотел без упорядоченных множеств. Чтобы никаких отношений порядка не фигурировало, и в моем доказательстве их нету. А то, что что-то получается эквивалентно теореме Цермело - ну может быть, не знаю, да и это не важно. Меня само доказательство интересует, все ли с ним так или не так.
Вы используете утверждение - вы должны его доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование базиса в любом ВП
Сообщение23.08.2021, 16:15 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
EminentVictorians в сообщении #1529392 писал(а):
Получилась самая обычная цепочка вложенных подпространств $\operatorname {lin} v_1 \subset ... \subset \operatorname {lin} v_n \subset ...$. Почему не гарантируется получить бесконечную цепочку, если я ее прямо предъявил?

Вы не предъявляете бесконечную цепочку. Вы говорите, что для любого натурального числа $n$ существует цепочка длины $n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование базиса в любом ВП
Сообщение23.08.2021, 16:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4842
EminentVictorians в сообщении #1529400 писал(а):
Я хотел без упорядоченных множеств. Чтобы никаких отношений порядка не фигурировало
Так Ваша "бесконечная цепочка", если её строго ввести, как раз и будет множеством с отношением порядка. Цепочка на то и цепочка, что в ней какие-то элементы левее, а какие-то правее. А утверждение, что "цепочка может быть любой мощности" - это в точности утверждение о том, что "множество любой мощности может быть представлено такой цепочкой", то есть теорема Цермело.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование базиса в любом ВП
Сообщение23.08.2021, 17:01 


22/10/20
1188
Null в сообщении #1529405 писал(а):
Для этого нужна аксиома выбора, а вы ее не использовали.
Так аксиома выбора то есть, ей можно пользоваться. Нельзя лемму Цорна и теорему Цермело использовать.

Mikhail_K в сообщении #1529411 писал(а):
А утверждение, что "цепочка может быть любой мощности" - это в точности утверждение о том, что "множество любой мощности может быть представлено такой цепочкой", то есть теорема Цермело.
Ну у меня же конкретная цепочка конкретных множеств - подпространств векторного пространства. Плюс у меня существенно используется тот факт, что если для любых 2-ух подпространств существует 3-е, их накрывающее, то объединение всего семейства этих подпространств - подпространство. Теорема Цермело мне кажется гораздо сильнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование базиса в любом ВП
Сообщение23.08.2021, 18:21 
Заслуженный участник


12/08/10
1676
EminentVictorians в сообщении #1529413 писал(а):
Так аксиома выбора то есть, ей можно пользоваться.
Пользуйтесь! Без нее ваше доказательство неверно.
EminentVictorians в сообщении #1529413 писал(а):
Теорема Цермело мне кажется гораздо сильнее.
Все равно это(то что достигнем любой мощности) надо доказывать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование базиса в любом ВП
Сообщение23.08.2021, 18:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4842
EminentVictorians в сообщении #1529413 писал(а):
Теорема Цермело мне кажется гораздо сильнее.
Не сильнее. Смотрите. Вы говорите: вот эти конкретные цепочки могут быть любой мощности. Равносильное утверждение: любое (вообще любое) множество равномощно некоторой из этих цепочек. <Потому что если взять произвольное множество, то у него есть какая-то мощность, и нужно взять цепочку такой же мощности.> Но если заметить, что все Ваши цепочки вполне упорядочены, то равномощность произвольного множества одной из Ваших цепочек позволяет ввести на этом произвольном множестве полный порядок, а это и есть теорема Цермело.
EminentVictorians в сообщении #1529400 писал(а):
Я хотел без упорядоченных множеств. Чтобы никаких отношений порядка не фигурировало
Тогда не используйте ординалы. Потому что ординалы - это и есть порядковые типы вполне упорядоченных множеств.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование базиса в любом ВП
Сообщение24.08.2021, 13:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
EminentVictorians в сообщении #1529392 писал(а):
Почему не гарантируется получить бесконечную цепочку, если я ее прямо предъявил?
Для этого Вам нужно написать бесконечно длинное рассуждение. Поскольку Вы его никогда не напишете, то бесконечную цепочку Вы не предъявите.

EminentVictorians в сообщении #1529413 писал(а):
Так аксиома выбора то есть, ей можно пользоваться.
А где Вы ей пользовались в вашем рассуждении?

И, кстати, какую именно формулировку аксиомы выбора Вы имеете в виду?

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование базиса в любом ВП
Сообщение24.08.2021, 19:42 


22/10/20
1188
Someone в сообщении #1529493 писал(а):
Для этого Вам нужно написать бесконечно длинное рассуждение. Поскольку Вы его никогда не напишете, то бесконечную цепочку Вы не предъявите.
Кстати а нужна ли она вообще? Для каждого $n$ я предъявил некоторое подпространство $\operatorname {lin} v_n$. Это мне кажется конечное рассуждение,т.к. его же можно по индукции сделать: для $n=1$ берем линейную оболочку ненулевого вектора, а для $k+1$ берем линейную оболочку множества $\{v_1, ... ,v_k\} \cup \{v_{k+1}\}$. Потом просто возьмем объединение этих подпространств и все. Для того, чтобы просто взять объединение некоторой совокупности множеств аксиома выбора вроде не нужна?

Someone в сообщении #1529493 писал(а):
А где Вы ей пользовались в вашем рассуждении?
Сложно сказать. Наверное в том месте, где я утверждаю, что с помощью трансфинитной цепочки шагов можно получить множество произвольно большой мощности?

Someone в сообщении #1529493 писал(а):
И, кстати, какую именно формулировку аксиомы выбора Вы имеете в виду?
Та, которая утверждает существование функции выбора для всякого семейства непустых множеств.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существование базиса в любом ВП
Сообщение24.08.2021, 20:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9114
Цюрих
EminentVictorians в сообщении #1529523 писал(а):
Для того, чтобы просто взять объединение некоторой совокупности множеств аксиома выбора вроде не нужна?
А у вас нет совокупности множеств. У вас есть по множеству для каждого $n$, а общее, содержащее их все, без аксиомы выбора существовать не обязано.
EminentVictorians в сообщении #1529523 писал(а):
Наверное в том месте, где я утверждаю, что с помощью трансфинитной цепочки шагов можно получить множество произвольно большой мощности?
Как ни странно, конкретно здесь можно и без аксиомы выбора - ваша цепочка (если она уже построена) задает инъекцию из любого ординала в $V$. Но то, что для любого множества существует ординал, мощность которого не меньше и не равна мощности этого множества, доказывается уже без аксиомы выбора (а вот то, что существует ординал большей мощности, уже её требует).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group