А если так.
Пусть нашлось векторное пространство
, у которого нету базиса. Тогда любое его линейно независимое подмножество векторов не является максимальным, т.е. к любому линейно независимому множеству векторов можно добавить некоторый вектор из
и полученное множество все равно будет линейно независимым. Возьмем какое нибудь такое линейно независимое множество (можно просто взять какой-нибудь ненулевой вектор
). Вектор
порождает подпространство
- линейную оболочку этого вектора. Добавим к нему второй вектор
, они оба породят подпространство
. Продолжая этот процесс бесконечно получим цепочку вложенных подпространств:
. Объединение
будет подпространством пространства
, причем оно будет порождаться множеством
, которое линейно независимо. А значит
.
Вот это множество
получено как бы на шаге
. Но к
можно опять точно так же добавлять векторы и опять получится некоторое
собственное подпространство уже на шаге
. Продолжаем этот процесс до победного и в итоге получаем, что на некотором шаге мощность некоторого собственного (а оно на любом шаге будет собственным) подпространства превосходит мощность самого
и противоречие вроде как получено.
Я сразу скажу, я все эти ординалы совсем не понимаю. Я даже не знаю, какое у них определение. Но все же интересно, пройдет ли такое рассуждение в качестве доказательства.