Характеристика кривой

[Droog_Andrey]

Для произвольной кривой рассмотрим интеграл вдоль неё от обратного радиуса кривизны, делённый на $2\pi$:

$$E=\frac1{2\pi}\int\frac{dl}{r(l)}$$

Точки с нулевым радиусом кривизны (например, для ломаной) можно рассмотреть как закругления бесконечно малого радиуса. Тогда, например, для плоских выпуклых замкнутых контуров $E=1$, для отрезков $E=0$, для кардиоиды $E=2$, и так далее.

Есть ли общепринятое название у этой характеристики $E$? Было бы интересно рассмотреть классы эквивалентности кривых, у которых эта характеристика совпадает.

[Slav-27]

Это угол, на который поворачивается единичный касательный вектор при обходе кривой (измеренный в долях окружности).

[svv]

Turning_number
В русской Вики это переведено как число вращения.

[Droog_Andrey]

Спасибо!

А если кривая неплоская?

[lel0lel]

Я бы назвал это угловой мерой кривой. В пространстве она, очевидно, не имеет столь наглядного смысла как на плоскости. Кривая может не иметь самопересечений, но нагулять на сфере $2\pi$ можно легко. Ещё в трёхмерии есть проблема -- кривизне нельзя приписывать знак как это можно на плоскости. Если знак не учитывать, то физический смысл понятия есть изогнутость или искривлëнность кривой.

[Droog_Andrey]

Эта величина и задумывалась как "скрученность". Но слишком уж просто она задаётся, чтобы её не придумали давным-давно.

[Slav-27]

Droog_Andrey в сообщении #1528732 писал(а):

А если кривая неплоская?

Извините, я был неаккуратен. (Сейчас буду более аккуратен, но тоже не совсем, спрашивайте, если непонятно.) Предположим, что кривая хотя бы $C^2$-гладкая. Пусть $\gamma:[0,1]\to \mathbb R^n$ -- натуральная (т. е. изометрическая) параметризация. Тогда $\dot\gamma$ -- это (не обязательно регулярная) параметризованная кривая на единичной сфере $S^{n-1}\subset\mathbb R^n$, а интеграл кривизны (ваша величина, умноженная на $2\pi$) -- её длина.

Если $n=2$, то можно брать кривизну со знаком и длину $\dot\gamma$ считать тоже со знаком (то есть положительной при движении по часовой стрелки и отрицательной при движении против). Тогда интеграл кривизны $\mod 2\pi$ будет зависеть только от касательного вектора к начальной и конечной точке кривой (и равен ориентированному углу между ними); в частности, он будет целым кратным $2\pi$ для замкнутой кривой. Если брать беззнаковую кривизну, то получится более сложная штука: повороты туда-обратно не уничтожают друг друга, а складываются. При $n\geqslant 3$ кривизна бывает только беззнаковая. Но смысл величины тот же: угол поворота касательного вектора. -- Что это такое? -- для ломаной это понятно что такое, а гладкую (даже просто непрерывную) кривую можно приблизить ломаными.

Droog_Andrey в сообщении #1529017 писал(а):

Но слишком уж просто она задаётся, чтобы её не придумали давным-давно.

Конечно, давным-давно придумали. Например, про это была первая статья Милнора (ему было 18 лет): он доказал, что если интеграл кривизны по узлу в $\mathbb R^3$ $\leqslant 4\pi$, то узел тривиальный. On the total curvature of knots -- смотрите там ссылки, а ещё там аккуратно написано про приближение ломаными.

-- 19.08.2021, 23:03 --

Вот ещё интересное: https://arxiv.org/abs/math/0606007.

[Droog_Andrey]

Спасибо! Разобрался :)

Вдогонку: https://en.wikipedia.org/wiki/Total_absolute_curvature