2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Характеристика кривой
Сообщение14.08.2021, 07:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
2030
Минск, Беларусь
Для произвольной кривой рассмотрим интеграл вдоль неё от обратного радиуса кривизны, делённый на $2\pi$:
$$E=\frac1{2\pi}\int\frac{dl}{r(l)}$$
Точки с нулевым радиусом кривизны (например, для ломаной) можно рассмотреть как закругления бесконечно малого радиуса. Тогда, например, для плоских выпуклых замкнутых контуров $E=1$, для отрезков $E=0$, для кардиоиды $E=2$, и так далее.

Есть ли общепринятое название у этой характеристики $E$? Было бы интересно рассмотреть классы эквивалентности кривых, у которых эта характеристика совпадает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Характеристика кривой
Сообщение14.08.2021, 10:33 
Заслуженный участник


14/10/14
991
Это угол, на который поворачивается единичный касательный вектор при обходе кривой (измеренный в долях окружности).

 Профиль  
                  
 
 Re: Характеристика кривой
Сообщение14.08.2021, 16:06 
Заслуженный участник


23/07/08
9149
Харьков
Turning_number
В русской Вики это переведено как число вращения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Характеристика кривой
Сообщение14.08.2021, 19:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
2030
Минск, Беларусь
Спасибо!

А если кривая неплоская?

 Профиль  
                  
 
 Re: Характеристика кривой
Сообщение14.08.2021, 20:38 


20/04/10
1230
Русь
Я бы назвал это угловой мерой кривой. В пространстве она, очевидно, не имеет столь наглядного смысла как на плоскости. Кривая может не иметь самопересечений, но нагулять на сфере $2\pi$ можно легко. Ещё в трёхмерии есть проблема -- кривизне нельзя приписывать знак как это можно на плоскости. Если знак не учитывать, то физический смысл понятия есть изогнутость или искривлëнность кривой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Характеристика кривой
Сообщение18.08.2021, 16:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
2030
Минск, Беларусь
Эта величина и задумывалась как "скрученность". Но слишком уж просто она задаётся, чтобы её не придумали давным-давно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Характеристика кривой
Сообщение19.08.2021, 21:36 
Заслуженный участник


14/10/14
991
Droog_Andrey в сообщении #1528732 писал(а):
А если кривая неплоская?
Извините, я был неаккуратен. (Сейчас буду более аккуратен, но тоже не совсем, спрашивайте, если непонятно.) Предположим, что кривая хотя бы $C^2$-гладкая. Пусть $\gamma:[0,1]\to \mathbb R^n$ -- натуральная (т. е. изометрическая) параметризация. Тогда $\dot\gamma$ -- это (не обязательно регулярная) параметризованная кривая на единичной сфере $S^{n-1}\subset\mathbb R^n$, а интеграл кривизны (ваша величина, умноженная на $2\pi$) -- её длина.

Если $n=2$, то можно брать кривизну со знаком и длину $\dot\gamma$ считать тоже со знаком (то есть положительной при движении по часовой стрелки и отрицательной при движении против). Тогда интеграл кривизны $\mod 2\pi$ будет зависеть только от касательного вектора к начальной и конечной точке кривой (и равен ориентированному углу между ними); в частности, он будет целым кратным $2\pi$ для замкнутой кривой. Если брать беззнаковую кривизну, то получится более сложная штука: повороты туда-обратно не уничтожают друг друга, а складываются. При $n\geqslant 3$ кривизна бывает только беззнаковая. Но смысл величины тот же: угол поворота касательного вектора. -- Что это такое? -- для ломаной это понятно что такое, а гладкую (даже просто непрерывную) кривую можно приблизить ломаными.

Droog_Andrey в сообщении #1529017 писал(а):
Но слишком уж просто она задаётся, чтобы её не придумали давным-давно.
Конечно, давным-давно придумали. Например, про это была первая статья Милнора (ему было 18 лет): он доказал, что если интеграл кривизны по узлу в $\mathbb R^3$ $\leqslant 4\pi$, то узел тривиальный. On the total curvature of knots -- смотрите там ссылки, а ещё там аккуратно написано про приближение ломаными.

-- 19.08.2021, 23:03 --

Вот ещё интересное: https://arxiv.org/abs/math/0606007.

 Профиль  
                  
 
 Re: Характеристика кривой
Сообщение31.08.2021, 12:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
2030
Минск, Беларусь
Спасибо! Разобрался :)

Вдогонку: https://en.wikipedia.org/wiki/Total_absolute_curvature

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group