Что такое интегрируемость в квадратурах

[Slav-27]

Арнольд, Математические методы классической механики, п. 49 Интегрируемые системы:

Цитата:

Предположим, что на симплектическом $n$-мерном многообразии даны $n$ функций в инволюции
$F_1,...,F_n;\quad(F_i,F_j)=0,\;\; i,j = 1, 2, ..., n.$
Рассмотрим множество уровня функций $F_i$
$M_f=\{x: F_i(x)=f_i,\;\;i=1,...,n\}.$
Предположим, что на $M_f$ $n$ функций $F_i$ независимы (т. е. $n$ 1-форм $dF_i$ линейно независимы в каждой точке $M_f$).
Тогда:
<...>
4) Канонические уравнения с функцией Гамильтона $H:=F_1$ интегрируются в квадратурах.

Вопрос: есть ли строгое определение "интегрируемости в квадратурах", подходящее к вышенаписанному, в частности, можно ли доказать, что какое-нибудь дифференциальное уравнение $\mathbf x^{(n)}(t)=\mathbf f(t,\mathbf x(t), \dot{\mathbf x}(t),...,\mathbf x^{(n-1)}(t))$ с нерациональной $\mathbf f$ не интегрируется в квадратурах?

В "дифференциальной алгебре" доказывается "неинтегрируемость в квадратурах", например, уравнения Эйри $\ddot{ x}(t)=t x(t)$ (Kaplansky, An introduction to differential algebra, § 26). Определение "интегрируемости в квадратурах" там есть, но оно, как я понимаю, не такое, как то, что подразумевает Арнольд: в дифференциальной алгебре можно брать рациональные функции, первообразные, экспоненты и функции, неявно заданные алгебраическими уравнениями $g^n=f_{n-1}g^{n-1}+...+f_1g+f_0$, где $g$ -- присоединяемая функция, а $f_i$ -- уже имеющиеся (точную формулировку смотрите у Капланского, теорема 6.6); а у Арнольда можно брать рациональные функции, первообразные и неявно заданные функции, только непонятно, какие именно:

Арнольд, М. м. кл. мех., § 50 ``Переменные действие -- угол'', конец писал(а):

Заметим теперь, что все наши построения содержат лишь «алгебраические» операции (обращение функций) и «квадратуру» — вычисление интеграла. Таким образом, задача интегрирования канонической системы $2n$ уравнений, у которых известны $n$ первых интегралов в инволюции, решается в квадратурах, что и доказывает последнее утверждение теоремы.

(Имеется в виду обращение относительно композиции; при этом в доказательстве также используется взятие функции, заданной неявно уравнением $H(p,q)=h$.)

Козлов, Замечания об интегрируемых системах, самое начало писал(а):

Интегрирование в квадратурах означает предъявление алгоритма из конечного числа операций, позволяющего найти все решения уравнения. В число разрешенных операций включаются все алгебраические операции над функциями, простые квадратуры (вычисление интегралов от функций одного переменного), а также эффективное использование теоремы о неявных функциях.

[пианист]

Нужна только не-интегрируемость, в обратную сторону, т.е. достаточные условия интегрируемости не интересуют?

[Slav-27]

пианист
Интересует определение "интегрируемости в квадратурах",
1) такое что в условиях теоремы Лиувилля имеет место интегрируемость в квадратурах в том виде, как это сформулировано у Арнольда (цитата в самом начале 1-го поста),
2) чтобы были примеры систем уравнений, не интегрируемых в квадратурах.

Дифференциально-алгебраическое определение ("решения не лежат ни в каком из полей, которые можно получить из поля рациональных функций времени $t$ последовательностью конечных алгебраических расширений, присоединений интегралов и присоединений экспонент интегралов") удовлетворяет 2-му условию, а 1-му, наверно, не удовлетворяет; по крайней мере, доказательство из книжки Арнольда с таким определением не работает (например, потому, что в процессе доказательства присоединяются функции, неявно заданные неалгебраическими, вообще говоря, уравнениями).

В "Математических методах классической механики" понятие используется, но строгого определения нет.