Наивные вопросы о мерах и интегралах

[Anton_Peplov]

Здесь я буду задавать наивные вопросы о различных мерах и интегралах. Вопросы задаются по одному, следующий после закрытия предыдущего.

Вопрос № 1. Площадь как мера Жордана

В книге Ильин, Позняк Основы математического анализа М.: Физматлит, 2002 в т. 1, гл. 11, параграф 2, п. 1 с. 383 дано следующее определение площади плоской фигуры.

Плоская фигура - это часть плоскости, ограниченная простой (т.е. без самопересечений и самоналеганий) замкнутой кривой. (То, что такая кривая ограничивает часть плоскости – утверждение теоремы Жордана, о доказательство которой можно сломать зубы, кости и Землю). Заметим, что мы не потребовали от кривой непрерывности и, следовательно, связности. То есть, скажем, два круга, разнесённые на ненулевое расстояние, также будут фигурой.
Если упомянутая кривая - ломаная, плоская фигура называется многоугольником. Площадь многоугольника будем понимать в смысле элементарной геометрии (благо он разбивается на треугольники). Многоугольник $M$ описан вокруг фигуры $F$, если $[F] \subset M$ (квадратные скобки означают замыкание в канонической топологии плоскости). Многоугольник $M$ вписан в фигуру $F$, если $M \subset [F]$. Инфинум площадей многоугольников, описанных вокруг фигуры $F$, называется верхней площадью фигуры $F$, супремум площадей многоугольников, вписанных в фигуру $F$, называется нижней площадью фигуры $F$. Очевидно, любая фигура имеет верхнюю и нижнюю площадь. Если верхняя площадь $\overline S$ равна нижней площади $\underline S$, говорят, что фигура $F$ имеет площадь, или квадрируема. Площадь принимается равной верхней (и, соответственно, нижней) площади.

Далее доказывается теорема, что фигура квадрируема, если и только если для любого $\varepsilon > 0$ найдётся описанный многоугольник площадью $S$ и вписанный многоугольник площадью $s$ такие, что $S - s < \varepsilon$.

Ильин и Позняк в т.2 гл. 2 параграф 1, п. 1 с. 61 отмечают, что понятие квадрируемости без каких-либо изменений переносится на произвольное ограниченное множество точек плоскости.

Всё это очень напоминает введение меры по Жордану. Пусть $m$ - мера на некотором кольце множеств $\mathbb K$. Множество $A$ называется измеримым по Жордану, если для любого $\varepsilon > 0$ найдутся такие множества $A^\prime, A^{\prime \prime}$, что $A^\prime \subset A \subset A^{\prime \prime}$ и $m(A^{\prime \prime} \setminus A^\prime) < \varepsilon$.

Вопрос № 1.1. Является ли система всех многоугольников кольцом множеств? (ясно, что если ограничиваться связными многоугольниками, то нет, но ведь нас никто не заставляет ими ограничиваться). Интуиция говорит, что да, но хотелось бы знать точно. А я как-то даже боюсь попытаться это доказать, вдруг это что-то масштаба теоремы Жордана.

Если да, то площадь, которую имеют в виду Ильин и Позняк, есть в чистом виде жорданова мера, продолженная с упомянутого кольца, а класс квадрируемых множеств есть класс множеств, измеримых этой мерой.

Вопрос № 1.2 (дополнительный). Является ли система всех многоугольников минимальным кольцом множеств над системой всех связных многоугольников?

Я читал, что класс квадрируемых множеств можно получить, продолжив площадь по Жордану с кольца элементарных множеств (т.е. минимального кольца над полукольцом всех прямоугольников со сторонами, параллельными координатным осям). Но хотелось бы до конца разобраться с построением Ильина и Позняка.

[Sender]

А, кстати, как мы определим несвязный многоугольник? Пересечение внутренностей конечного числа замкнутых несамопересекающихся ориентированных ломаных на плоскости?

[Anton_Peplov]

Sender в сообщении #1528131 писал(а):

А, кстати, как мы определим несвязный многоугольник?

Как несвязное ограниченное множество, границей которого является простая замкнутая ломаная.

[mihaild]

Anton_Peplov в сообщении #1528128 писал(а):

Заметим, что мы не потребовали от кривой непрерывности

Как это не потребовали? В определении простой кривой (368 страница) есть непрерывность.

[Padawan]

Anton_Peplov в сообщении #1528128 писал(а):

Вопрос № 1.1. Является ли система всех многоугольников кольцом множеств?

А треугольник без одной стороны является многоугольником?

[Anton_Peplov]

mihaild в сообщении #1528135 писал(а):

Как это не потребовали? В определении простой кривой (368 страница) есть непрерывность.

Хм. Ваша правда. А если кривые непрерывные, то, значит, связные. Значит, и многоугольники бывают исключительно связные по данному И. и П. определению. То есть вопрос о кольце многоугольников снимается - очевидно, что его нет.

Но тогда мне непонятно, как можно перенести введённое И. и П. понятие площади с фигур на произвольные ограниченные множества"без каких-либо изменений" (с). Если множество $F$ состоит из двух компонентов $F_1, F_2$, разнесённых на ненулевое расстояние, то с очевидностью не существует многоугольника, вписанного одновременно и в $F_1$, и в $F_2$. Чтобы оценить нижнюю площадь фигуры $F = F_1 \cup F_2$, нам нужно два отдельных многоугольника, вписанных в $F_1$ и в $F_2$, соответственно, и сумма их площадей.

То есть произвольные ограниченные множества нужно приближать не многоугольниками, а элементами минимального кольца над многоугольниками. Или я опять что-то упустил?

-- 05.08.2021, 17:11 --

Padawan в сообщении #1528137 писал(а):

А треугольник без одной стороны является многоугольником?

Тут, кмк, нужно договориться, требуем ли мы от многоугольников быть открытыми (не пересекаться со своей границей), либо быть замкнутыми (содержать свою границу), или нам без разницы (можно пересекаться с границей, можно не пересекаться, можно её содержать). Требовать замкнутости либо открытости плохо: очевидно, что тогда разность двух многоугольников, вообще говоря, не будет многоугольником. Кмк, нужно разрешить многоугольникам любые (в т.ч. нулевые) пересечения со своей границей. Т.е. одна и та же ломаная ограничивает бесконечное множество многоугольников, отличающихся тем, какие точки своей границы они содержат.

[Someone]

Ну давайте называть "многоугольником" множество на плоскости, граница которого состоит из конечного набора отрезков и точек.

[Anton_Peplov]

Someone в сообщении #1528150 писал(а):

Ну давайте называть "многоугольником" множество на плоскости, граница которого состоит из конечного набора отрезков и точек.

Интересная мысль, спасибо. Попробую ей воспользоваться.

Назовём общим отрезком отрезок прямой, из которого, быть может, выброшены один или оба конца. Назовём общей ломаной объединение конечного числа точек и общих отрезков. Мы не исключаем и нулевого числа, так что пустое множество также будем считать общей ломаной.

Теорема. Система всех общих ломаных является кольцом.

Действительно, пусть общая ломаная $A = \bigcup_{i=1}^n A_i$, $B = \bigcup_{k=1}^m B_k$, где $A_1 \dots A_n, B_1 \dots B_m$ - отрезки и точки. $A \cup B = \bigcup_{i=1}^n A_i \cup \bigcup_{k=1}^m B_k$, что с очевидностью объединение конечного числа общих отрезков и точек. Далее, $A \cap B = \bigcup_{i=1}^n A_i \cap \bigcup_{k=1}^m B_k = \bigcup_{i, k=1}^{i=n, k=m} A_i \cap B_k$. Очевидно, что пересечение точки с чем угодно есть точка либо пустое множество, а пересечение двух общих отрезков - либо общий отрезок, либо точка, либо пустое множество. Поэтому $A \cap B$ тоже общая ломаная. Наконец, $A \setminus B = \bigcup_{i_1, k=1}^{i=n, k=m} A_i \setminus B_k$. Очевидно, что точка без чего угодно либо пуста, либо точка. Общий отрезок без точки или общего отрезка либо пуст, либо общий отрезок, либо два общих отрезка. Поэтому $A \setminus B$ - общая ломаная.

Отметим, что если вместо общих отрезков использовать обычные отрезки (всегда включающие оба конца), то такая система будет замкнута по объединению и пересечению, но не по разности.

Назовём общим многоугольником ограниченное множество, границей которого является общая ломаная. Мы потребовали ограниченности, чтобы не считать общим многоугольником множество вида "вся плоскость без общей ломаной".

Из того, что общие ломаные образуют кольцо, ещё не следует, что и общие многоугольники тоже образуют кольцо. Ведь, скажем, граница объединения множеств не выражается в общем виде через объединение, пересечение и разность их границ. Верно, что $\operatorname {Fr} (F_1 \cup F_2) \subset \operatorname {Fr} F_1 \cup \operatorname {Fr} F_2$, однако это мало что даёт: подмножество общей ломаной не обязательно общая ломаная.

Попробуем такой путь. Пусть $\mathbb A$ - система всех общих отрезков и точек, образующих границу общего многоугольника $F_1$, $\mathbb B$ - система всех общих отрезков и точек, образующих границу общего многоугольника $F_2$. Верно ли, что $\operatorname {Fr} (F_1 \cup F_2)$ есть объединение некоторого подмножества $\mathbb {A \cup B}$? Подумаю об этом.

[Someone]

Anton_Peplov в сообщении #1528318 писал(а):

Назовём общим многоугольником ограниченное множество, границей которого является общая ломаная.

Граница множества всегда является замкнутым множеством. Подозреваю, что Вы имели в виду что-то другое.

[Anton_Peplov]

Someone в сообщении #1528361 писал(а):

Граница множества всегда является замкнутым множеством.

Про этот факт я, к своему стыду, просто забыл Сначала я думал использовать обычные отрезки, а не общие, но потом понял, что не получу из таких ломаных кольцо, и попытался поставить на это место заплатку. Кривовато вышло :(

[Someone]

Anton_Peplov в сообщении #1528369 писал(а):

Кривовато вышло

Да ничего, подправить можно.

[mihaild]

Возьмем отрезок $A$, возьмем произвольное его замкнутое подмножество $X$ и два непересекающихся плотных на отрезке множества $Y$ и $Z$. Тогда $X \cup Y$ и $X \cup Z$ - общие многоугольники (границей каждого из них является $A$), но их пересечение - $X$ - не обязано быть общим многоугольником.

[Anton_Peplov]

mihaild, спасибо. Действительно, Ваш контрпример показывает, что в таком определении общего многоугольника они не образуют кольцо (достаточно взять в качестве $X$ совершенное канторово множество).

И ещё похоже, что определение общего многоугольника чересчур общее и его надо сузить. В качестве кольца, с которого будет продолжаться мера, нам нужны исключительно многоугольники, площадь которых можно вычислить из элементарной (школьной) геометрии. В приведённом Вами примере это ещё возможно (достаточно договориться, что любое подмножество отрезка имеет нулевую площадь). Но, боюсь, определение, допускающее такого монстра на отрезке, может и на плоскости допустить что-нибудь несусветное.

В общем, задача определить многоугольник достаточно общо, чтобы можно было приближать многоугольниками несвязные подмножества плоскости, оказалась неожиданно сложной :( Проще уж сразу построить минимальное кольцо над многоугольниками (как они определены у Ильина и Позняка) и продолжить площадь сначала на него (что заведомо можно сделать, причём единственным образом), а потом с него - по Жордану.

По идее, в результате мы должны получить тот же класс квадрируемых множеств, что и при продолжении площади по Жордану с кольца элементарных множеств (т.е. минимального кольца над полукольцом всех прямоугольников со сторонами, параллельными координатным осям). Однако я не готов вотпрямщас это доказать.

[Anton_Peplov]

Вопрос № 2. Покрытие множества открытыми шарами

Пусть $\mu$ - каноническая лебегова мера на числовой прямой. Пусть $A \subset \mathbb R$. Зафиксируем $\varepsilon > 0$. Доказать или опровергнуть следующее утверждение. Пусть существует покрытие $\Delta$ множества $A$ измеримыми множествами такое, что $\mu(\cup \Delta) < \varepsilon$. Тогда существует и покрытие $\Theta$ множества $A$ открытыми шарами (т.е. интервалами) такое, что $\mu(\cup \Theta) < \varepsilon$.

Рассмотреть общий случай никак не получается. Тривиальные крайние случаи:
- если $A$ - отрезок длиной $\mu(A)$, то достаточно заключить весь отрезок в интервал длиной $<\varepsilon$. Для произвольного множества $A$ такая схема не работает, т.к. тривиально строятся примеры, когда мера множества много меньше его диаметра.
- если $A$ состоит из счетного множества изолированных точек, достаточно заключить каждую из них в интервал и заставить сумму длин этих интервалов сходиться к нужному пределу.
- совершенное множество Кантора можно покрыть конечным числом непересекающимися друг с другом шаров в силу его компактности и нульмерности.
- а толстое множество Кантора?

Интуиция говорит, что утверждение истинно. Но в голове полный сумбур. Не станет ли легче, если дополнительно предположить компактность множества $A$?

[mihaild]

Раз вы говорите о $\mu(\cup \Delta)$, то $\cup \Delta$ измеримо. А измеримое множество можно сколь угодно точно покрыть интервалами, покрытие его с точностью $\varepsilon - \mu(\cup \Delta)$ нам подойдет.