Простенькое диофантово уравнение

[nnosipov]

Решите уравнение $a^3c+38a^2+28ac+4c^2+4=0$ в целых числах.

Комментарий. Уравнение действительно простое, но заслуживает внимание тем, что его решения имеют определенный смысл.

[Gagarin1968]

С ходу вроде напрашивается решить квадратное уравнение относительно $c$ с параметром $a$ и рассмотреть различные значения дискриминанта. Нет?

[nnosipov]

Gagarin1968 в сообщении #1527817 писал(а):

решить квадратное уравнение относительно $c$ с параметром $a$

Совершенно правильная мысль.

Gagarin1968 в сообщении #1527817 писал(а):

и рассмотреть различные значения дискриминанта

А вот это не понял. Поясните, плиз. Тут нужны подробности.

[kotenok gav]

Дискриминант этого уравнения зависит только от $a^2$ (ну, в смысле, там нет нечётных степеней) - он есть $a^6+56a^4+176a^2-64$.

-- 02 авг 2021, 15:17 --

При $a\geq304$ дискриминант будет лежать между $(a^3+28a-1)^2$ и $(a^3+28a)^2$. Значит, $-303\leq a\leq 303$.

-- 02 авг 2021, 15:31 --

Из формулы для $c$ получаем, что дискриминат должен быть $(a^3+8c)^2$.
При $a\geq17$ дискриминат лежит между $(a^3+27a)^2$ и $(a^3+28a)^2$, т.е. промежуток довольно мал - в частности, $c$ должно лежать между $\dfrac{27}8a$ и $\dfrac72a$.

-- 02 авг 2021, 15:38 --

kotenok gav в сообщении #1527908 писал(а):

При $a\geq304$ дискриминант будет лежать между $(a^3+28a-1)^2$ и $(a^3+28a)^2$.

А при $a\geq38$ дискриминант будет строго между $(a^3+28a-8)^2$ и $(a^3+28a)^2$, т.е. $c$ будет строго между $\dfrac72a-1$ и $\dfrac72a$.

-- 02 авг 2021, 15:42 --

Можно "достичь компромисса" - при $a\geq76$ дискриминант лежит строго между $(a^3+28a-4)^2$ и $(a^3+28a)^2$, т.е. $c$ лежит между $\dfrac72a-\dfrac12$ и $\dfrac72a$, и, значит, нецелое. Т.е. $-75\leq a\leq75$.

-- 02 авг 2021, 15:44 --

kotenok gav в сообщении #1527908 писал(а):

А при $a\geq38$ дискриминант будет строго между $(a^3+28a-8)^2$ и $(a^3+28a)^2$, т.е. $c$ будет строго между $\dfrac72a-1$ и $\dfrac72a$.

Из этого следует, что при $a\geq38$ $a$ обязано быть нечётным и $c$ обязано быть $\dfrac{7a-1}2$.

[nnosipov]

kotenok gav в сообщении #1527908 писал(а):

Дискриминант этого уравнения зависит только от $a^2$ (ну, в смысле, там нет нечётных степеней) - он есть $a^6+56a^4+176a^2-64$.

-- 02 авг 2021, 15:17 --

При $a\geq304$ дискриминант будет лежать между $(a^3+28a-1)^2$ и $(a^3+28a)^2$. Значит, $-303\leq a\leq 303$.

Одно замечание: зависимость от $a^2$ неважна, важно то, что старший одночлен --- это $a^6$ (точный квадрат). Именно по этой причине уравнение удается решить элементарным способом.

Остальной Ваш текст лишний. Вместо этого надо было просто выписать ответ. Здесь ответ важен.

[kotenok gav]

Ну, сейчас посмотрел ответ в WolframAlpha - $a=\pm2$ или $\pm10$.

[nnosipov]

kotenok gav
Вообще-то, решения исходного уравнения --- это пары чисел $(a,c)$. Вот их бы все выписать.

[kotenok gav]

$(a, c)=(2, -3), (2, -13), (-2, 3), (-2, 13), (10, -3), (10, -317), (-10, 3), (-10, 317)$.

[Aritaborian]

Ещё $(1, -2)$ и $(-1, 2)$.

[nnosipov]

Да, ровно 10 штук или 5 пар вида $\pm (a,c)$. Теперь я объясню, какой в них смысл.

Пусть у нас есть многочлен 4-й степени $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$. Его резольвентой Феррари называется многочлен

$$F(z)=z^3-bz^2+(ac-4d)z-(a^2d-4bd+c^2).$$

Корнями $F(z)$ являются

$$z_1=x_1x_2+x_3x_4, \quad z_2=x_1x_3+x_2x_4, \quad z_3=x_1x_4+x_2x_3,$$

где $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$ --- корни $f(x)$. Пусть, далее, мы хотим найти все $f(x)$, для которых

$$F(z)=z^3+7z^2-38z-265$$

(см. http://dxdy.ru/post1527917.html#p1527917). Тогда возникает система уравнений на неизвестные коэффициенты $a$, $b$, $c$, $d$. Исключив $b$ и $d$, получим как раз уравнение из данной темы. Для простоты будем решать его в целых числах. В итоге получим многочлены

$$f(x)=x^4+ax^3-7x^2+cx+\frac{ac+38}{4},$$

где пары $(a,c) \in \mathbb{Z}^2$ приведены выше. Поскольку заменой $x$ на $-x$ мы не меняем свойств $f(x)$, достаточно рассмотреть только пары $(a,c)$ с положительным $a$. Таковых имеется 5 штук, пара $(a,c)=(1,-2)$ приводит к многочлену $f(x)=x^4+x^3-7x^2-2x+9$ из темы topic146804.html