Одно уравнение четвертой степени

[nnosipov]

FL91 в сообщении #1527536 писал(а):

Насчёт уравнений четвёртой степени... Это уже ужас.

Нет, там не ужас, если Вы имели в виду уравнение $x^4-14x^3+66x^2-115x+66,25=0$. Это ерунда на постном масле. А настоящий ужас вот:

$$x^4+x^3-7x^2-2x+9=0.\eqno(*)$$

Итак, господа, кто сможет решить уравнение $(*)$, используя для записи его корней минимальное количество элементарных (желательно как можно более школьных) функций?

Похоже, пора переезжать в математический раздел.

Lia: Отделено от «Уравнения четвёртой степени на вступительных экзаменах»

[novichok2018]

MATHEMATICA в примере в хелпе подобное уравнение решает явно, а это не может. Есть способ заставить её решить данное уравнение явно?

[nnosipov]

novichok2018 в сообщении #1527661 писал(а):

Есть способ заставить её решить данное уравнение явно?

В Maple можно написать так:

solve(x^4+x^3-7*x^2-2*x+9=0,explicit=true);

Но ответ будет содержать комплексные величины, хотя все корни уравнения вещественны. Что неудивительно: Maple и другие CAS решают уравнения 3-й и 4-й степени по стандартной схеме. В данном случае, если немного поработать руками, мы по этой схеме получим корни, выраженные через функцию квадратного корня, функцию косинус и (здесь можно выбирать) одну из обратных тригонометрических функций. Итого: будут задействованы три различных элементарных функции. Оказывается, этот очевидный результат можно улучшить.

[novichok2018]

В MATHEMATICA работает так:
Reduce[x^4 + x^3 - 7 x^2 - 2 x + 9 == 0, x, Quartics -> True]
Но после ответа до простой формы, которую просит найти nnosipov ещё далеко.

[nnosipov]

nnosipov в сообщении #1527621 писал(а):

Нет, там не ужас, если Вы имели в виду уравнение $x^4-14x^3+66x^2-115x+66,25=0$. Это ерунда на постном масле.

Я имел в виду следующее: с точки зрения общего подхода, ибо кубическая резольвента имеет рациональный корень. В связи с этим процитирую Гашкова: "Если же кубическая резольвента не имеет рациональных корней, то можно доказать, что корни исходного уравнения четвертой степени нельзя выразить только через квадратные радикалы (см. §4.19), а значит, и решить «школьным» методом."

[arqady]

nnosipov
А что кубичный корень не входит в школьную программу? И ещё. Кубическое уравнение, которое даёт резольвента всегда даёт корень, который даёт возможность разложить исходный многочлен четвёртой степени на два множителя, все коэффициенты которых можно записать в элементарных функциях от натуральных чисел.

(PS)

Кажется, что-то банальное рассказал

[iifat]

arqady в сообщении #1527752 писал(а):

А что кубичный корень не входит в школьную программу?

А что, корень кубический с позором изгнан из радикалов? А то ведь вы не с nnosipov спорите, а с процитированным им Гашковым.

-- 01.08.2021, 03:19 --

Хотя таки да, непонятно, откуда берётся невыразимость.
Ах да, там же квадратные радикалы! Всё равно непонятно, что в кубических так уж непонятно школьникам. В моё время, впрочем, если не путаю, и кубических-то уравнений не решали, не говоря уж.

[nnosipov]

arqady в сообщении #1527752 писал(а):

А что кубичный корень не входит в школьную программу?

Квадратный корень входит туда еще лучше. Кстати, не понимаю, зачем нам здесь кубический корень (ведь комплексных чисел у нас тоже как бы нет).

arqady в сообщении #1527752 писал(а):

Кубическое уравнение, которое даёт резольвента всегда даёт корень, который даёт возможность разложить исходный многочлен четвёртой степени на два множителя, все коэффициенты которых можно записать в элементарных функциях от натуральных чисел.

Это очевидно, я об этом уже писал выше. Вопрос в другом: записать корни уравнения, обойдясь при этом минимально возможным набором вещественнозначных элементарных функций. Мне кажется, подобные вопросы Вам раньше нравились (вспоминается тема про уравнение $y^6 + y^4-y^3-y^2-1=0$, например).

Самое сложное было придумать такой пример уравнения (или хотя бы понять, что он существует). А выписать ответ для конкретного уравнения --- это уже техническое упражнение. Надеюсь, кто-нибудь здесь это сделает.

Upd. Да, я не имею в виду уравнения типа $x^4-x-1=0$, где для записи корней достаточно только квадратного и кубического корней. Речь шла об уравнении из начального сообщения.

[arqady]

nnosipov
Несколько лет назад придумал несколько таких уравнений. Например:

$$x^5+x^4-12x^3-21x^2+x+5=0$$

$$x^6+x^5-15x^4-28x^3+15x^2+38x-1=0$$

$$x^7+x^6-18x^5-35x^4+38x^3+104x^2+7x-49=0$$

Ваше пока не поддаётся, хотя идею, похоже, понимаю

[nnosipov]

arqady в сообщении #1527756 писал(а):

Несколько лет назад придумал несколько таких уравнений. Например:

Мне думается, надо сначала полностью классифицировать "школьные" кубические и уравнения 4-й степени. Такое ощущение, что это почему-то аккуратно не сделано (поскольку периодически возникают дискуссии о том, как же надо их решать). Понятно, что термин "школьные" нуждается в формализации.

arqady в сообщении #1527756 писал(а):

хотя идею, похоже, понимаю

Безусловно, такие вещи мы здесь раньше обсуждали (и до меня, скорее всего, тоже было).

[dmd]

$x^4+x^3-7x^2-2x+9=0 \implies (-2 + x^2) (-5 + x + x^2) = 1$

Этот первый шаг?

Один из факторов левой части нового уравнения пусть косинус, второй фактор секанс. Но что это даёт и даёт ли - не вижу.

(аккуратный справочник)

Семендяев/Бронштейн, (1986) - таблички подсказывают какие будут корни

[hpbhpb]

nnosipov в сообщении #1527621 писал(а):

FL91 в сообщении #1527536 писал(а):

Насчёт уравнений четвёртой степени... Это уже ужас.

Нет, там не ужас, если Вы имели в виду уравнение $x^4-14x^3+66x^2-115x+66,25=0$. Это ерунда на постном масле. А настоящий ужас вот:

$$x^4+x^3-7x^2-2x+9=0.\eqno(*)$$

Итак, господа, кто сможет решить уравнение $(*)$, используя для записи его корней минимальное количество элементарных (желательно как можно более школьных) функций?

Да, действительно уравнение $x^4-14x^3+66x^2-115x+66,25=0$ легко решается обычными школьными методами.

[novichok2018]

nnosipov было бы здорово, если Вы напишите текст по "школьным методам" с классификацией и примерами.

[nnosipov]

dmd в сообщении #1527805 писал(а):

Этот первый шаг?

Нет.

Еще раз повторю, что здесь ничего особо нестандартного нет. Лично мне трудно было понять, почему такой пример существует (я даже пытался доказывать, что такого не бывает). Подобные примеры уравнений более высоких степеней хорошо известны, как выше отметил arqady. Мой пример интересен тем, что имеет наименьшую возможную степень. Да, есть еще 4 уравнения 4-й степени такого же типа (и вообще, их, скорее всего, бесконечно много). Для демонстрации явления я выбрал пример с наименьшей суммой модулей коэффициентов.

А не написать ли мне уже и ответ? Есть, кстати, такая форма ответа, которая сохранит некоторую интригу (Maple подсказал).

novichok2018 в сообщении #1527812 писал(а):

было бы здорово, если Вы напишите текст по "школьным методам" с классификацией и примерами

К сожалению, лето короткое (а в этом году оказалось даже короче, чем обычно). И потом, Вы сами знаете, какие тексты нам нужно писать, чтобы хоть как-то держаться на плаву. Поэтому раньше следующего лета никак не выйдет, увы.

[hpbhpb]

nnosipov в сообщении #1527621 писал(а):

FL91 в сообщении #1527536 писал(а):

Насчёт уравнений четвёртой степени... Это уже ужас.

Нет, там не ужас, если Вы имели в виду уравнение $x^4-14x^3+66x^2-115x+66,25=0$. Это ерунда на постном масле. А настоящий ужас вот:

$$x^4+x^3-7x^2-2x+9=0.\eqno(*)$$

Итак, господа, кто сможет решить уравнение $(*)$, используя для записи его корней минимальное количество элементарных (желательно как можно более школьных) функций?

Похоже, пора переезжать в математический раздел.

Lia: Отделено от «Уравнения четвёртой степени на вступительных экзаменах»

Корни:

$$x=\frac {- \sqrt{2 b} +-\sqrt{59/4-2b+\frac {13} {4 \sqrt {2b}}}} {2} -\frac {1} {4}$$

или

$$x=\frac { \sqrt{2 b} +-\sqrt{59/4-2b-\frac {13} {4 \sqrt {2b}}}} {2} - \frac {1} {4} $$

, где

$$b=59/24+ \frac{\sqrt{163}}{3} } cos(1/3 arctg ( \frac {3 \sqrt {3}} {25}))$$

Но как записать короче, я не знаю.