2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Простенькое диофантово уравнение
Сообщение01.08.2021, 13:05 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Решите уравнение $a^3c+38a^2+28ac+4c^2+4=0$ в целых числах.

Комментарий. Уравнение действительно простое, но заслуживает внимание тем, что его решения имеют определенный смысл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простенькое диофантово уравнение
Сообщение01.08.2021, 13:24 
Аватара пользователя


01/11/14
1647
Principality of Galilee
С ходу вроде напрашивается решить квадратное уравнение относительно $c$ с параметром $a$ и рассмотреть различные значения дискриминанта. Нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Простенькое диофантово уравнение
Сообщение01.08.2021, 14:20 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Gagarin1968 в сообщении #1527817 писал(а):
решить квадратное уравнение относительно $c$ с параметром $a$
Совершенно правильная мысль.
Gagarin1968 в сообщении #1527817 писал(а):
и рассмотреть различные значения дискриминанта
А вот это не понял. Поясните, плиз. Тут нужны подробности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простенькое диофантово уравнение
Сообщение02.08.2021, 08:41 


21/05/16
4292
Аделаида
Дискриминант этого уравнения зависит только от $a^2$ (ну, в смысле, там нет нечётных степеней) - он есть $a^6+56a^4+176a^2-64$.

-- 02 авг 2021, 15:17 --

При $a\geq304$ дискриминант будет лежать между $(a^3+28a-1)^2$ и $(a^3+28a)^2$. Значит, $-303\leq a\leq 303$.

-- 02 авг 2021, 15:31 --

Из формулы для $c$ получаем, что дискриминат должен быть $(a^3+8c)^2$.
При $a\geq17$ дискриминат лежит между $(a^3+27a)^2$ и $(a^3+28a)^2$, т.е. промежуток довольно мал - в частности, $c$ должно лежать между $\dfrac{27}8a$ и $\dfrac72a$.

-- 02 авг 2021, 15:38 --

kotenok gav в сообщении #1527908 писал(а):
При $a\geq304$ дискриминант будет лежать между $(a^3+28a-1)^2$ и $(a^3+28a)^2$.

А при $a\geq38$ дискриминант будет строго между $(a^3+28a-8)^2$ и $(a^3+28a)^2$, т.е. $c$ будет строго между $\dfrac72a-1$ и $\dfrac72a$.

-- 02 авг 2021, 15:42 --

Можно "достичь компромисса" - при $a\geq76$ дискриминант лежит строго между $(a^3+28a-4)^2$ и $(a^3+28a)^2$, т.е. $c$ лежит между $\dfrac72a-\dfrac12$ и $\dfrac72a$, и, значит, нецелое. Т.е. $-75\leq a\leq75$.

-- 02 авг 2021, 15:44 --

kotenok gav в сообщении #1527908 писал(а):
А при $a\geq38$ дискриминант будет строго между $(a^3+28a-8)^2$ и $(a^3+28a)^2$, т.е. $c$ будет строго между $\dfrac72a-1$ и $\dfrac72a$.

Из этого следует, что при $a\geq38$ $a$ обязано быть нечётным и $c$ обязано быть $\dfrac{7a-1}2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простенькое диофантово уравнение
Сообщение02.08.2021, 09:54 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
kotenok gav в сообщении #1527908 писал(а):
Дискриминант этого уравнения зависит только от $a^2$ (ну, в смысле, там нет нечётных степеней) - он есть $a^6+56a^4+176a^2-64$.

-- 02 авг 2021, 15:17 --

При $a\geq304$ дискриминант будет лежать между $(a^3+28a-1)^2$ и $(a^3+28a)^2$. Значит, $-303\leq a\leq 303$.
Одно замечание: зависимость от $a^2$ неважна, важно то, что старший одночлен --- это $a^6$ (точный квадрат). Именно по этой причине уравнение удается решить элементарным способом.

Остальной Ваш текст лишний. Вместо этого надо было просто выписать ответ. Здесь ответ важен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простенькое диофантово уравнение
Сообщение02.08.2021, 19:25 


21/05/16
4292
Аделаида
Ну, сейчас посмотрел ответ в WolframAlpha - $a=\pm2$ или $\pm10$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простенькое диофантово уравнение
Сообщение02.08.2021, 19:27 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
kotenok gav
Вообще-то, решения исходного уравнения --- это пары чисел $(a,c)$. Вот их бы все выписать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простенькое диофантово уравнение
Сообщение02.08.2021, 19:41 


21/05/16
4292
Аделаида
$(a, c)=(2, -3), (2, -13), (-2, 3), (-2, 13), (10, -3), (10, -317), (-10, 3), (-10, 317)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простенькое диофантово уравнение
Сообщение02.08.2021, 20:00 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Ещё $(1, -2)$ и $(-1, 2)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простенькое диофантово уравнение
Сообщение02.08.2021, 20:20 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Да, ровно 10 штук или 5 пар вида $\pm (a,c)$. Теперь я объясню, какой в них смысл.

Пусть у нас есть многочлен 4-й степени $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$. Его резольвентой Феррари называется многочлен $$F(z)=z^3-bz^2+(ac-4d)z-(a^2d-4bd+c^2).$$ Корнями $F(z)$ являются $$z_1=x_1x_2+x_3x_4, \quad z_2=x_1x_3+x_2x_4, \quad z_3=x_1x_4+x_2x_3,$$ где $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$ --- корни $f(x)$. Пусть, далее, мы хотим найти все $f(x)$, для которых $$F(z)=z^3+7z^2-38z-265$$ (см. http://dxdy.ru/post1527917.html#p1527917). Тогда возникает система уравнений на неизвестные коэффициенты $a$, $b$, $c$, $d$. Исключив $b$ и $d$, получим как раз уравнение из данной темы. Для простоты будем решать его в целых числах. В итоге получим многочлены $$f(x)=x^4+ax^3-7x^2+cx+\frac{ac+38}{4},$$ где пары $(a,c) \in \mathbb{Z}^2$ приведены выше. Поскольку заменой $x$ на $-x$ мы не меняем свойств $f(x)$, достаточно рассмотреть только пары $(a,c)$ с положительным $a$. Таковых имеется 5 штук, пара $(a,c)=(1,-2)$ приводит к многочлену $f(x)=x^4+x^3-7x^2-2x+9$ из темы topic146804.html

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group