Перечисление классов эквивалентности (см. внутри)

[r0b0]

Доброго дня, уважаемые математики!
Нужна ваша помощь в решении исследовательской задачи.

Задача такая: Есть множества из двух, трех, ... N. элементов. Требуется классифицировать, перечислить бинарные отношения на этих множествах. Понятно, что множество всевозможных отношений на множестве мощности N имеет мощность $2^{N^2}$. Для $N = 2$ отношений будет 16. Перечислил, нашел среди них эквивалентности, доминирования. Все усложнилось, когда я захотел учесть симметрию относительно перестановок элементов исходного множества. Пришлось перебирать. Для двухэлементного множества таких отношений 6: $\{\},\{aRb\},\{aRa,aRb\}, \{aRa,aRb,bRb\},\{aRb,bRb\},\{aRa,bRb,aRb,bRa\}$. Для 3х-элементного множества перечислить отношения не представляется возможным, всего таких отношений 512. Тем более непосильно искать среди них симметричные относительно перестановок, коих 6.
Постановка задачи, как я понимаю, может сводиться к перечислению классов эквивалентности квадратных ${N} \times {N}$ бинарных матриц, где матрицы считаются эквивалентными, если получаются друг из друга перестановкой строк и столбцов, либо к перечислению смешанных псевдографов с N вершинами. Хочется как-то продвинуться в решении в общем виде, но теоретической подготовки мне не хватает. Нашел статью Enumeration of mixed graphs 1966 года, но в рассматриваемых там графах нет петель. Как думаете, если решение не публиковалось, реально это самому решить?

Возможно подобная задача уже встречалась, и решение известно. В любом случае, буду благодарен за комментарии.

[mihaild]

Для двух элементов довольно много потеряли - например $\{a\,\mathcal\,b, b\,\mathcal\,a\}$. Всего должно быть 10: 3 несвязных, 3 с циклом, и 4 связных без цикла. См. также A000595.

[r0b0]

mihaild в сообщении #1527821 писал(а):

Для двух элементов довольно много потеряли - например $\{a\,\mathcal\,b, b\,\mathcal\,a\}$. Всего должно быть 10: 3 несвязных, 3 с циклом, и 4 связных без цикла. См. также A000595.

Да, ошибся, действительно 10.

Цитата:

Equivalently, the number of digraphs on n unlabeled nodes with loops allowed but no more than one arc with the same start and end node.

как я понимаю - это именно то, что нужно. По ссылке на OEIS нашел литературу по вопросу. Спасибо!

P.S.Вот искомые отношения на 2х элементах:
$\emptyset$, $\{aa\}$,$\{ab\}$,$\{aa,bb\}$,$\{ab,ba\}$,$\{aa,ab\}$,$\{aa,ba\}$,$\{aa,ab,ba\}$,$\{aa,ab,bb\}$,$\{aa,bb,ab,ba\}$