Вообще-то это нужно только для определенных вопросов КМ, а именно того, что математики называют обобщенными собственными функциями. Даже непрерывный спектр можно вполне изучать без них.
собственно об этом я и намекал выше говоря
В принципе, без этого формализма можно обойтись (даже в КТП)
но дело не только чисто в обобщенных функциях, с которыми физики и так справлялись без оснащенного гильбертова (ого) пространства (например, "возводя в квадрат" выражения для <<матрицы>> рассеяния, содержащие дельта-функцию Дирака для нахождения вероятности рассеяния в базисе плоских волн, для чего существует два строгих в мат плане физических пути). Этот формализм важен (ну как важен, как строительные леса, которые потом убирают чтобы облегчить жизнь и заодно напакостить математикам) по крайней мере в строгом подходе к задаче рассения в КТП, а также для строгого описания резонансов.