И в мыслях не было переоткрывать конструктивизм. Наоборот, старался избежать даже его упоминания. Дело в том, что я не разрабатывал никакую новую теорию, а лишь обозначил, что разделение математических объектов на конечно описуемые и бесконечно описуемые может принести в дальнейшем интересные результаты. Поэтому попробуйте оценить мою идею с нуля, без отсылок к работам конструктивистов. Тем более, что идея вполне проста, но в таком виде я её нигде не встречал. Уверен, что если бы что-то подобное было у конструктивистов или интуиционистов, это имело бы достаточно широкое освещение, пусть даже и критическое.
Для начала все же опишу идею в общих чертах. Итак, что же такое конечно и бесконечно описуемые математические объекты? Рассмотрим, например, такие объекты, как множества, состоящие из натуральных чисел.
111. (Пункт 111, чтобы не путаться при цитировании.) Существуют ли такие множества, описываемые конечным текстом? Безусловно, собственно когда мы приводим пример такого множества мы и создаем конечный текст, однозначно описывающий это множество, например, "множество четных чисел".
112. Существуют ли такие множества, описываемые бесконечным текстом? Да. Например, описываемое следующим бесконечным текстом: "Возьмем из первого десятка число 3, из второго число 14, из третьего число 20, из четвертого число 31, ...". Хотя здесь появляется вопрос, каким образом такой текст может генерироваться, но это уже философия.
113. Существуют ли множества натуральных чисел, отличные от конечно и бесконечно описуемых? Нет. Если существует какое-то множество, то можно просто выписывать его элементы и получить конечный или бесконечный текст, описывающий это множество.
Вывод: все множества натуральных чисел делятся на конечно и бесконечно описуемые. Аналогично рассуждая, это же можно сказать и про действительные числа и про другие множества, функции, последовательности...
Заметим, что нас не интересует само содержание этих описаний. Можно организовать процесс перебора всех текстов начиная с односимвольных, двухсимвольных и т.д., на предмет является ли данный текст однозначным описанием какого-то объекта. Но результаты такого перебора всегда будут консенсусом среди тех, кто этим занимается - то или иное математическое сообщество или даже тот или иной математик. При этом все эти переборы будут не полными, хотя бы потому, что критично большие тексты никто не в состоянии оценить. Так ведь это и есть обычное состояние науки - неполнота и наличие спорных моментов. Нас лишь интересует тот простой факт, что поскольку все конечные тексты перечислимы, то и все математические объекты, однозначно описываемые конечными текстами также перечислимы. Вне зависимости какой коллектив математиков формирует это перечисление.
Теперь о дескрипторах. Это всего лишь термин, которым я назвал это конечное описание объекта. По сути это синоним слова "определение" в более широком смысле. Он может описывать числа, множества, функции, теоремы, акиомы и прочее. При его применении обычно необходимо указать объект, который мы описываем или определяем. Например:
Дескрипторы числа 2 это "2", или "1+1", или ...
Дескрипторы числа
это "корень из двух", или "положительное число, квадрат которого равен двум", или ...
Но не всегда, как в этих двух примерах у нас есть четкое представление о том, какой объект мы определяем (числа 2,
). Иногда сам дескриптор и определяет объект, по сути им и являясь. Например следующий дескриптор:
"Построим следующее число. Возьмем десятичную запись числа
и заменим в ней все цифры 4 на 57." Чтобы описать полученное число можно использовать и другой текст, но он будет лишь равноправным эквивалентом без какого-то общепризнанного названия.
Таким образом, дескрипторы и есть сами математические объекты. Поэтому требуя определения дескриптора, мы требуем определения математического объекта, например дескриптор действительного числа это "......" - в кавычки можно вставить любое общепризнанное определение действительного числа.
Продолжение следует...
