Непрерывность счетного множества чисел

[kirilych]

Pustovoi в сообщении #1526966 писал(а):

Определение. "Конечным описанием действительного числа" или "дескриптором действительного числа" называется конечный текст, который однозначно описывает это число.

Это постое определение никуда не годится (см. парадокс).
Надо разобраться с "однозначным описанием", ибо оно может быть как безусловным, так и условным.
"5 в квадрате" - безусловное.
"Наименьшее составное число, не делящееся ни на 2, ни на 3" - уже условное, хотя вроде вполне однозначное.
А отсюда рукой подать до "наименьшего, которое нельзя описать..." ))
Это значит, что описания типа "наименьшее составное число, не делящееся ни на 2, ни на 3" вообще-то надо запретить. Но попробуйте-ка незыблемо обосновать этот запрет. Ведь формально это описание однозначно указывает на 25 и ни на что иное, за что его запрещать?
Наилучший способ угодить в какую-нибудь ловушку - это примешать к математической логике лингвистическую (по сути своей менее формальную) и благополучно в ней запутаться.

[Pustovoi]

Цитата:

kirilych: Это постое определение никуда не годится (см. парадокс). Надо разобраться с "однозначным описанием", ибо оно может быть как безусловным, так и условным. "5 в квадрате" - безусловное.

Как раз только такое определение и годится, если примешивать сюда условное-безусловное, попытки уходить от парадоксов, то точно это будет путь в никуда, точнее хаос. Дескриптор - это самое общее понятие, это текст со смыслом. А разбираться, является ли текст дескриптором чего-либо, это каждый раз задача. А приведенный вами парадокс как раз удобно разобрать с помощью моего определения. Будем рассматривать дескрипторы натуральных чисел. Разделим все множество натуральных чисел на $A$ и $B$. $A$ -числа, которые можно описать не более чем 10-ю словами, $B$ - нельзя. Ваш текст парадокса, как предполагаемый дескриптор описывает некоторое натуральное число. Очевидно, что оно принадлежит и множеству $A$ и множеству $B$. Но эти множества не пересекаются. Вывод: ваш текст парадокса не является дескриптором натурального числа. Только и всего. Надо проанализировать текст и если он противоречив или некорректен, просто его отбросить.

-- 24.07.2021, 13:49 --

Цитата:

kirilych: Наилучший способ угодить в какую-нибудь ловушку - это примешать к математической логике лингвистическую (по сути своей менее формальную) и благополучно в ней запутаться.

Абсолютно с Вами согласен, именно поэтому не накладываю на дескрипторы никаких дополнительных условий и запретов. Каждый конкретный текст-описание надо анализировать.

[kirilych]

Pustovoi в сообщении #1526974 писал(а):

Дескриптор - это самое общее понятие, это текст со смыслом

Неужели вы сами не видите, что это крайне мутное определение? Оно логически заставляет нас определить на формальном языке понятие "смысл" (применительно к теме разговора). Что неизбежно и приведет к разновидностям этого смысла, малую часть которых я уже затронул... Желаю удачи )

Однако, вы не хотите этого делать! Вы предпочитаете от смысловых проблем просто отмахиваться:

Pustovoi в сообщении #1526974 писал(а):

Надо проанализировать текст и если он противоречив или некорректен, просто его отбросить.

Ну да, самый простой и "научный" подход - отбросить то, что не укладывается в вами же придуманную схему.
Хотя вам неизбежно придется дать формальные определения "некорректности" и "противоречивости", а это тоже непросто. Вы же вместо этого занимаетесь передергиванием колоды:

Pustovoi в сообщении #1526974 писал(а):

текст парадокса, как предполагаемый дескриптор описывает некоторое натуральное число. Очевидно, что оно принадлежит и множеству $A$ и множеству $B$. Но эти множества не пересекаются. Вывод: ваш текст парадокса не является дескриптором

Не-а! Выводов может быть минимум два. Второй - некорректно сформулированы сами множества! Смотрим:

Pustovoi в сообщении #1526974 писал(а):

Разделим все множество натуральных чисел на $A$ и $B$. $A$ -числа, которые можно описать не более чем 10-ю словами, $B$ - нельзя.

Но до тех пор, пока мы не определили четко понятие "описать" (о чем я и говорил), мы соответственно и не имеем четких границ этих "множеств" и не можем с ними нормально работать. В том числе, не имеем права утверждать, что они не пересекаются. Бинарная логика "или да, или нет" не работает, если сама постановка задачи не вполне осмысленна!

Ну, поверьте - не получится у вас просто "отбрасывать" всё, что не нравится или неудобно. Нет. Придется долго и нудно уточнять определения. И в процессе этого, возможно, всё и прояснится. А если вы будете пренебрегать этим, то всё повиснет в воздухе и скоро станет никому не интересно.

[epros]

Pustovoi в сообщении #1526966 писал(а):

Дескриптор более общее понятие, чем алгоритм. Я ужи приводил пример числа, которое нельзя вычислить с помощью алгоритма.

Числа, которые невозможно определить алгоритмом, известны. Например, $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{\Sigma(n)}$, где $\Sigma(n)$ - функция busy beaver. Вопрос в том, являются ли они в каком-то смысле результатом некоего "конечного описания". Казалось бы, несомненно. Эта функция, а значит и это число, общепризнанно считаются well defind, то бишь однозначно определёнными. С другой стороны, с точки зрения того же конструктивного анализа данное число не определено. Ибо возможно, что на некотором шаге вычисления $\Sigma(n)$ мы столкнемся с машиной Тьюринга, которая никак не останавливается и ни в какой достаточно мощной аксиоматике не удается доказать, что она не останавливается.

[Pustovoi]

Цитата:

epros: Эта функция, а значит и это число, общепризнанно считаются well defind, то бишь однозначно определёнными. С другой стороны, с точки зрения того же конструктивного анализа данное число не определено.

Конечное описание этого числа есть немаленький текст, воспринимаемый только подготовленными людьми. И у них, как Вы сами указали, мнения разделились насчет well defind. Что тут скажешь, специалисты должны искать истину, таких спорных текстов бесконечно много. Для моей темы не важно, определилось ли математическое сообщество относительно какого-то конкретного текста, дескриптор ли он. В конце концов мы вообще ничего не можем и никогда не сможем сказать про тексты в $10^{1000}$ слов. На счетность (И НЕПРЕРЫВНОСТЬ!!!) множества конечно описуемых чисел это не влияет.

[epros]

Pustovoi в сообщении #1526987 писал(а):

Что тут скажешь, специалисты должны искать истину, таких спорных текстов бесконечно много.

Стало быть, чёткого критерия того, является ли текст однозначным определением числа, нет. Поэтому и определение таких чисел не может быть принято.

[Pustovoi]

Цитата:

epros: Стало быть, чёткого критерия того, является ли текст однозначным определением числа, нет. Поэтому и определение таких чисел не может быть принято.

Совершенно верно, текст, который описывает предложенное Вами предполагаемое число, на данный момент нельзя считать дескриптором числа. Я не занимаюсь определением чисел. Указать чёткий критерий, является ли текст однозначным определением числа всё равно что указать чёткий критерий истинности произвольного высказывания. Надо разбираться в каждом конкретном случае. Если Вас попросят назвать какое-нибудь иррациональное число, вы ответите, например, "квадратный корень из двух". При этом Вы обязательно прибегните к дескриптору этого числа, поскольку назвать 1,414... будет недостаточно, а бесконечно говорить невозможно. То есть дескрипторами мы пользуемся на каждом шагу, и это не вызывает споров. Можно было бы сказать "длина диагонали единичного квадрата" или "sqrt(2)", что означало бы то же самое и Вас бы однозначно поняли те, кто в теме. Все эти три текста являются дескрипторами числа. Если отрицать это, то можно отрицать вообще всё, просто цепляясь к каждому слову в любом тексте и требуя его "точного определения". Подытожим:

1. Дескрипторы чисел существуют, это надо просто принять, если угодно, как аксиому и не возвращаться к этому.
2. Про некоторые тексты неизвестно, дескрипторы они или нет для каких-либо чисел. Это касается вообще ВСЕХ текстов длинною в $10^{1000}$ символов и больше. Поэтому не стоит приводить примеры спорных текстов, их и так больше чем достаточно.
3. Множество дескрипторов чисел счетно, а значит и множество конечно описуемых чисел счетно.
4. При этом множество конечно описуемых чисел непрерывно (если в определении непрерывности под множеством понимать конечно описуемое множество)
5. Если при определении действительного числа и множества указать, что они конечно описуемы, то мы получим удобную "счетную" математику, в которой все множества счетные, все математические результаты не изменились. За исключением теоремы Кантора о множестве всех подмножеств и ее следствий. Эту теорему в нынешней формулировке следует рассматривать на бесконечно описуемых объектах.

К сожалению, пункты 3-5 никто пока не обсуждал, всё остановилось на дескрипторах.

[kirilych]

Позвольте вернуться чуть-чуть назад. Вы писали:

Pustovoi в сообщении #1526919 писал(а):

мы можем расположить в столбик все F-числа по порядку их дескрипторов. Обозначим это упорядоченное множество через $B$. Теперь рассмотрим следующий текст:
"Построим следующее число $b$. Целая часть его равна 0. Все цифры после запятой равны 4 или 5 по правилу: если энная цифра энного числа из множества $B$ равна 4, то энная цифра числа $b$ равна 5, а если энная цифра энного числа из множества $B$ не равна 4, то энная цифра числа $b$ равна 4. И так для всех n=1,2,3,4,..."
Казалось бы данный текст однозначно описывает некоторое число $b$, причем это число не принадлежит множеству $B$. Но это не так. Поскольку данный текст конечен, и если он является дескриптором числа $b$, то это число $b$ находится во множестве $B$ под каким-то номером $k$. И какая же цифра в нём находится на "катом" месте после запятой? Ответ - не та, что находится на "катом" месте. То есть бессыслица, принеси мне то, чего не может быть. Но это не парадокс, просто данный текст на самом деле не описывает никакое число.

Как это так "но это не парадокс"? Это именно парадокс в чистом виде. Т.е. когда два формально верных рассуждения приводят к различным результатам, чего не может быть. Вот они родимые в явном виде:
1) Поскольку данный текст конечен ... то число b находится во множестве B.
2) И какая же цифра ... на "катом" месте...? Ответ - не та, что находится на "катом" месте.
Парадокс - это вовсе не "бессмыслица"!
А текст описывает-таки именно число, а не "не описывает никакое число". Ибо мы ж договорились, что однозначный алгоритм построения числа вполне является конечным дескриптором (типа ноль, запятая, 1234567891011121314 и т.д.)
Просто мы имеем дело с условным описанием, ибо "диагональное" число конструируется при условии, что мы _уже_ можем упорядочить конечные описания в бесконечный, но "счетный" столбик в алфавитном порядке, скажем. В сущности это ровно тот же парадокс, что и в известном "описании не более чем 10 словами", только несколько усложненный перенесением с конечного множества на счетное бесконечное. Но смысл тот же самый! И состоит он в том, что не поставив четких и недвусмысленных границ понятию "описание" или "конечный дескриптор" мы неизбежно нарвемся на нечто, что парадоксально принадлежит и множеству "В" и множеству "не В".
Вы же, как только нечто подобное нашлось, говорите "бессмыслица" и "это не число". А на каком основании? Выходит, только на том, что оно не вписывается в вашу же схему. И обвиняете в бессмысленности не огонь, а дым - не причину, а следствие. Парадокс - лишь следствие некоего упущения в схеме. От него нельзя просто так отмахнуться, бездоказательно обозвав бессмыслицей.
На самом деле вообще-то это просто доказательство от обратного:
- Положим, что конечных дескрипторов счетное множество (казалось бы, очевидно).
- Тогда упорядочим их так-то и так-то.
- Покажем, что найдется еще одно число, имеющее конечный дескриптор, но ранее не учтенное нами.
- Противоречие.
- Следовательно, что-то не так с самим понятием "конечный дескриптор"!
И вы сами это доказали, но предлагаете "индивидуально разбираться со спорными дескрипторами". Упс... Разве не логичнее сперва вполне точно разобраться с самим определением, а не предлагать индивидуально рассматривать бесконечное множество "исключений из правила", порожденных несовершенством самого правила?

-- 24.07.2021, 19:41 --

И это как раз напрямую относится к пункту 3, о необсуждении которого вы сожалели:

Pustovoi в сообщении #1527012 писал(а):

3. Множество дескрипторов чисел счетно

[epros]

Pustovoi в сообщении #1527012 писал(а):

Я не занимаюсь определением чисел.

Вы занимаетесь определением понятия "конечно описанного числа". И пока у Вас однозначного определения не получилось, говорить не о чем.

Pustovoi в сообщении #1527012 писал(а):

Все эти три текста являются дескрипторами числа.

Некоторое количество примеров не является определением. Тем более, что эти примеры - довольно спорные, ибо требуют определённого транслятора. Например, читатель должен правильно понимать, что означает странное буквосочетание "sqrt" или иметь понятие о Евклидовой геометрии с её теоремой Пифагора.

Предлагаю сравнить с конструктивным определением действительного числа: "Действительным числом называется фундаментальная последовательность рациональных чисел". Т.е. мы полагаем, что у читателя уже есть понятия "рационального числа", "последовательности" и о том, чем "фундаментальные" последовательности отличаются от всех прочих. Опираясь на эти понятия, читатель получает совершенно чёткое представление о содержании нового понятия. Никаких неявных предположений о знании читателем Евклидовой геометрии или о понимании им сакрального смысла неких символов вроде $\sqrt~$ не делается.

Ваше же определение "конечно описанного числа" не таково. По нему совершенно невозможно однозначно установить, является ли заданный текст "описанием числа". То бишь кто-то решит так, а кто-то - иначе.

[Someone]

Pustovoi в сообщении #1527012 писал(а):

К сожалению, пункты 3-5 никто пока не обсуждал, всё остановилось на дескрипторах.

К сожалению, пока не удаётся понять, что такое дескриптор, а без этого ничего нельзя понять. Вы же всячески увиливаете от вопроса о точных определениях.

Уже появилось предположение, что Вы пытаетесь переоткрыть конструктивизм. Этих конструктивизмов в математике имеется несколько штук. Отличаются они пониманием того, что называть конструктивным. В частности, существует вариант конструктивизма, основанный на понятии алгоритма (конструктивный рекурсивный анализ А. А. Маркова). В нём ваш "дескриптор" числа — это текст алгоритма (одного или двух), вычисляющего последовательность рациональных чисел, сходящуюся к определяемому действительному числу (второй алгоритм, если он есть, называется регулятором сходимости). Здесь возникают несколько вариантов "конструктивных" действительных чисел разной степени конструктивности (FR-числа, F-числа, квазичисла, псевдочисла — в порядке уменьшения "конструктивности"; конструктивные действительные числа — это FR-числа). Подробности и более точные формулировки можно найти в книге
Б. А. Кушнер. Математическая логика и основания математики. Лекции по конструктивному математическому анализу. "Наука", Москва, 1973.

Обращаю Ваше внимание на то, что в определении конструктивного действительного числа не используется запись этого числа в десятичной (или какой-нибудь другой позиционной) системе счисления. Такое определение было бы плохим: десятичная запись конструктивного действительного числа, вообще говоря, не является алгоритмически вычислимой (проблему создают десятично-рациональные числа). Число, запись которого в одной системе счисления вычислима, может иметь невычислимую запись в другой системе счисления.

Pustovoi в сообщении #1526966 писал(а):

Дескриптор более общее понятие, чем алгоритм.

Ну, есть направление конструктивизма, которое не считает, что конструктивность сводится к алгоритмам (интуиционизм).

Pustovoi в сообщении #1527012 писал(а):

3. Множество дескрипторов чисел счетно, а значит и множество конечно описуемых чисел счетно.

Счётно в каком смысле? В смысле метатеории? Это не интересно. Например, с точки зрения конструктивного рекурсивного анализа, множество конструктивных действительных чисел эффективно несчётно, то есть, здесь верна теорема Кантора. Доказательство её совершенно конструктивно: существует алгоритм, который, получив на входе запись алгоритма, перечисляющего последовательность конструктивных действительных чисел, строит запись ("дескриптор") конструктивного действительного числа, не входящего в эту последовательность. Поскольку свои дескрипторы Вы точно не определили, мы ничего не можем сказать о счётности или несчётности множества ваших "описуемых" чисел.

Pustovoi в сообщении #1527012 писал(а):

4. При этом множество конечно описуемых чисел непрерывно (если в определении непрерывности под множеством понимать конечно описуемое множество)

Что здесь подразумевается под непрерывностью? Полнота?
Например, в том же конструктивном рекурсивном анализе существует конструктивная последовательность рациональных чисел, которая строго возрастает, ограничена, но не имеет предела в множестве конструктивных действительных чисел. Напомню, конструктивность здесь означает наличие алгоритма, вычисляющего эту последовательность.

По этой причине, без точного определения "дескриптора" у нас нет возможности разобраться с этим вопросом.

Pustovoi в сообщении #1527012 писал(а):

все математические результаты не изменились. За исключением

Внутренне противоречивое утверждение. Если есть исключения, то уж точно не все. И без точного определения "дескриптора" нет никакой возможности выяснить, что это за "исключения".

[epros]

(интуиционизм)

Someone в сообщении #1527027 писал(а):

Ну, есть направление конструктивизма, которое не считает, что конструктивность сводится к алгоритмам (интуиционизм).

Кстати, у меня возникла мысль, что интуиционизм (тот, который не считает, что "математическая интуиция" должна ограничиваться алгоритмами) можно трактовать как анализ на основании алгоритмов с некими оракулами. Таким образом он признаёт некоторые действительные числа, не являющиеся числами с точки зрения Марковского конструктивизма (ибо они алгоритмически невычислимы), но его логика в целом остаётся такой же (т.е. без снятия двойного отрицания и т.п.), ибо для "математической интуиции", даже если она использует оракулы, остаются неразрешимые вопросы.

[Mikhail_K]

Someone
Насколько я понял, мысль ТС такая.
В качестве аксиомы берётся, что одни тексты являются дескрипторами, а другие не являются, и это объективно.
Но определения у дескриптора в принципе не существует.
Чтобы узнать, является ли какой-либо текст дескриптором, надо спросить математическое сообщество, однозначно ли этот текст определяет какое-то число. (Именно вот в таком неформальном виде спросить.)
Если все математики согласятся, что да, значит этот текст является дескриптором.
Если все скажут, что нет - значит не является.
Если кто-то согласится, а кто-то нет, надо подождать до тех пор, пока по этому поводу не будет установлен консенсус.
Если он долго не устанавливается - предлагается считать, что объективно этот текст всё равно или является дескриптором, или не является, просто мы об этом пока что не смогли узнать (и не факт, что когда-либо сможем).

[Pustovoi]

Mikhail_K
Пишу более развернутый текст о дескрипторах, но не мог не прерваться, вы всё абсолютно точно указали, даже кое-что слово в слово из моих ранних вариантов статьи. Спасибо!

[epros]

Pustovoi в сообщении #1527041 писал(а):

вы всё абсолютно точно указали

Mikhail_K в сообщении #1527033 писал(а):

Чтобы узнать, является ли какой-либо текст дескриптором, надо спросить математическое сообщество, однозначно ли этот текст определяет какое-то число. (Именно вот в таком неформальном виде спросить.)

По-моему, "устроить голосование среди тех, кого кто-то считает членами сообщества" - это совсем не математика.
Незачем тогда топикстартеру было изображать видимость математических доказательств.

[Pustovoi]

Mikhail_K
Я отказался от таких формулировок, ибо они порождают споры о том, что, например, китайское и американское математическое сообщество могут иметь разные множества действительных чисел... Хотелось это обойти. Обойти именно споры, потому как аргументы есть.