Доказательство: как научиться

[Alexey Igorevich]

Приветствую!
Всегда было не понятно и испытывал трудности при решении задач на доказательство по школьной алгебре и геометрии, естественно простые доказательства я мог воспроизвести, если до этого видел их. Но как научиться решать задачи на доказательство, попавшиеся в первый раз на глаза. Как подойти к этому вопросу, хочу научиться решать задачи подобного типа. Что почитать, что посмотреть. Может есть какая-нибудь литература или ресурсы? Прошу помощи.


К примеру, задача вот такая : докажите, что расстояние между точками $A$$(x_1)$ и $B(x_2)$ вычисляется по формуле $AB=|x_1-x_2|$

Мне не нужно решение, мне нужно знать куда копать, чтобы я сам понял какими методами оно решается.

[Mikhail_K]

Alexey Igorevich
Вот универсальное средство, "куда копать", если не знаете, куда копать.

1) Убеждаетесь, что понимаете смысл всех обозначений и терминов в условии задачи. Лучше всего, выписываете их определения. Например, что означает запись "точка $A(x_1)$"? Какая тут связь между точкой $A$ и числом $x_1$? Что такое модуль? - нужно именно определение модуля.

2) Если можно построить рисунок, это нужно сделать. Отметьте эти самые точки $A$ и $B$ на рисунке, покажите, что такое на этом рисунке $x_1$, $x_2$, $AB$.

3) Рассматриваете частные случаи. Возьмите какие-нибудь конкретные числа $x_1$, $x_2$ (любые) и проверьте, верно ли для них утверждение теоремы. То есть найдите для этих чисел расстояние $AB$ (можно использовать рисунок) и чему равно $|x_1-x_2|$, и равны ли они. Потом рассмотрите другой частный случай, возьмите другие числа $x_1$ и $x_2$. Потом ещё.

Конечно, рассмотрение частных случаев решением задачи не является. Но оно может подтолкнуть к мысли, что надо делать.
Указанный алгоритм годится, пожалуй, вообще для любых задач.

Если Вы выполните три пункта, а до решения не догадаетесь - у Вас будет попытка решения, которую Вы сможете сюда написать, и тогда Вам помогут.
Ах да, ещё обратите внимание, что на этом форуме есть требования к оформлению формул. Сейчас тема уедет в Карантин, и у Вас будет возможность эти требования изучить.

[Lia]

Mikhail_K в сообщении #1526870 писал(а):

Ах да, ещё обратите внимание, что на этом форуме есть требования к оформлению формул. Сейчас тема уедет в Карантин, и у Вас будет возможность эти требования изучить.

Или успеть это сделать и исправить в течение ближайших сорока минут. Alexey Igorevich, посмотрите, как у Mikhail_K, достаточно на формулу навести курсор мыши, чтобы понять, как она устроена.

[Alexey Igorevich]

Цитата:

Или успеть это сделать и исправить в течение ближайших сорока минут. Alexey Igorevich, посмотрите, как у Mikhail_K, достаточно на формулу навести курсор мыши, чтобы понять, как она устроена.

Готово! С формулами понятно, скоро с цитатами разберусь. Буду на опыте.

[Lia]

Ну и хорошо.
Кстати, со временем в Вас проявится неудержимая тяга к цитированию. Вот как сейчас.
Чтобы не вываливать на читателей простыню длиной в полстраницы, нажимая на кнопку "Цитата", можно цитировать выборочно: выделяем нужный фрагмент мышью и жмем в том же посте кнопку "Вставка".
...Upd. Как в воду глядела.

[Alexey Igorevich]

Mikhail_K в сообщении #1526870 писал(а):

Alexey Igorevich
Вот универсальное средство, "куда копать", если не знаете, куда копать.

1) Убеждаетесь, что понимаете смысл всех обозначений и терминов в условии задачи. Лучше всего, выписываете их определения. Например, что означает запись "точка $A(x_1)$"? Какая тут связь между точкой $A$ и числом $x_1$? Что такое модуль? - нужно именно определение модуля.

2) Если можно построить рисунок, это нужно сделать. Отметьте эти самые точки $A$ и $B$ на рисунке, покажите, что такое на этом рисунке $x_1$, $x_2$, $AB$.

3) Рассматриваете частные случаи. Возьмите какие-нибудь конкретные числа $x_1$, $x_2$ (любые) и проверьте, верно ли для них утверждение теоремы. То есть найдите для этих чисел расстояние $AB$ (можно использовать рисунок) и чему равно $|x_1-x_2|$, и равны ли они. Потом рассмотрите другой частный случай, возьмите другие числа $x_1$ и $x_2$. Потом ещё.

Конечно, рассмотрение частных случаев решением задачи не является. Но оно может подтолкнуть к мысли, что надо делать.
Указанный алгоритм годится, пожалуй, вообще для любых задач.

Если Вы выполните три пункта, а до решения не догадаетесь - у Вас будет попытка решения, которую Вы сможете сюда написать, и тогда Вам помогут.
Ах да, ещё обратите внимание, что на этом форуме есть требования к оформлению формул. Сейчас тема уедет в Карантин, и у Вас будет возможность эти требования изучить.

Спасибо за ответ, отправлю в ближайшее время.

[Alexey Igorevich]

Mikhail_K
Пытался сделать сам, не уверен в том что верно получилось, но какие-то свои мысли набросал.

1) $A(x_1) $ - это точка $A$ и $x_1$ её координата на оси абсцисс. Аналогично с $B(x_2)$
Модулем числа $a$ называется расстояние от начала координат до точки $A$ с координатой a.

2)


3)

а) Рассмотрим частный случай, когда $A(x_1)>0$ и $B(x_2)>0$
Пусть $x_1=1$ , а $x_2=4$
Найдем AB по формуле $|x_1-x_2|=|1-4|=|-3|=3$
$AB=3$

б)$A(x_1)>0$ и $B(x_2)<0$
Пусть $x_1=2$ , а $x_2=-2$
Найдем AB по формуле $|x_1-x_2|=|2-(-2)|=|4|=4$
$AB=4$

в)$A(x_1)<0$ и $B(x_2)>0$
Пусть $x_1=-4$ , а $x_2=6$
Найдем AB по формуле $|x_1-x_2|=|-4-6|=|-10|=10$

Доказательство:
По определению модуля, модулем числа $a$ называется расстояние от начала координат до точки $A$ с координатой $a$.
Поэтому в нашей задаче точка $A(x_1)$, а $B(x_2)$ точка до которой мы ищем расстояние. Поэтому расстояние находится между ними с помощью модуля, т.к расстояние не может быть отрицательным и формулы $AB=|x_1-x_2|$.
Попытался сам, но не уверен )

А что за утверждение теоремы, про которое вы писали ? Это про модуль ?

[Lia]

Alexey Igorevich
Прочитайте правила, пожалуйста.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- ссылки на картинки убираем, набираем формулы здесь:
(краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- пояснительные чертежи можно прикрепить картинкой. Как угодно, через хостинг картинок, через облако.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[mihaild]

Alexey Igorevich, вы еще одно понятие определить забыли - $AB$ (которое длина отрезка).

Alexey Igorevich в сообщении #1526887 писал(а):

Поэтому расстояние находится между ними с помощью модуля

Совершенно непонятно, откуда взялось это "поэтому".

[vpb]

Тут я вижу такую трудность. Кажется, ТС не вполне понимает, что такое доказательство. Но, чтобы понять, что такое доказательство, надо не разбирать доказательство какого-то простого и наглядно очевидного утверждения, а попробовать самостоятельно доказать какое-то неочевидное утверждение. По-моему, очень хорошо для этого подходит следущая задача: "в комнате находятся 6 человек. Доказать, что среди них обязательно найдутся трое попарно знакомых, или трое попарно незнакомых". Вот в этой теме была похожая ситуация. Рекомендуется ту тему прочитать (правда, там ТС был какой-то похожий на тролля), и попробовать самостоятельно решить задачу (которая про 6 человек).

[Alexey Igorevich]

vpb
Задача про доказательство применении формулы для меня не выглядит простой) Может для вас она наглядная - для меня нет.

Предположим, что каждый из 6 в комнате знает каждого следующего, то среди них обязательно найдутся трое попарно знакомых.
Допустим: 1 знает 2, а 2 знает 3, тогда 1 знаком с 3 через 2, следовательно они трое попарно знакомы, что и требовалось доказать.

В том случае если все будут не знакомы в комнате или будут шестеро знакомы не попарно, то обязательно найдутся трое попарно незнакомых.
Допустим: 1 знает 3, 2 знает 4, 5 знает 6, следовательно они трое попарно не знакомы, что и требовалось доказать.

Не знаю насколько это верно, но я хотя бы попытался.
Прошу помочь, пнуть если потребуется )

[vpb]

Alexey Igorevich в сообщении #1527055 писал(а):

Допустим: 1 знает 2, а 2 знает 3, тогда 1 знаком с 3 через 2, следовательно они трое попарно знакомы,

Нет, через одного (типа, "я от Иван Ивановича") не считается. Да вы и сами из жизни должны знать, что если Саша дружит с Пашей, а Паша с Лёшей, то Саша и Лёша --- не обязательно друзья. Короче, считается только непосредственное знакомство. (И, конечно, если Вася знает Петю, то и Петя знает Васю).