2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Функции от случайных величин
Сообщение22.07.2021, 17:36 
Аватара пользователя


24/10/14
81
Всех приветствую. Хочу строго доказать, что сумма, вычитание, произведение и частное случайных величин есть случайная величина.
Посмотрел доказательство в 1-м томе Ширяева(гл.2, пар.4), честно, не понравился подход. Хотелось бы отталкиваться от базовых определений.

Мои рассуждения таковы. Приведу пример для суммы.

Рассмотрим случайные величины $\xi$, $\eta$, заданные на $(\Omega, \mathcal{F}, P)$
$\zeta = \xi + \eta$
$\zeta$ - случайная величина, если прообраз любого борелевского множества принадлежит сигма-алгебре.
Берем любое $B \in \mathcal{B}(R)$.
$$\zeta^{-1}(B) = \left\lbrace w: \zeta(w) \in B \right\rbrace = \left\lbrace w: (\xi(w) + \eta(w)) \in B \right\rbrace = \left\lbrace w: \xi(w) \in B_1, \eta(w) \in B_2\right\rbrace$$

Возьмем $B_1 = B$, $B_2 = \left\lbrace 0 \right\rbrace$. Оба этих множества борелевских. Получаем:
$$\zeta^{-1}(B) = \left\lbrace w: \xi(w) \in B_1\right\rbrace \cap \left\lbrace w: \eta(w) \in B_2\right\rbrace = \xi^{-1}(B_1) \cap \eta^{-1}(B_2)$$

$\xi$, $\eta$ - случайный величины, поэтому $\xi^{-1}(B_1) \in \mathcal{F}$, $\eta^{-1}(B_2) \in \mathcal{F}$. А значит и пересечение принадлежит сигма-алгебре $\mathcal{F}$. Таким образом $\zeta$ - случайная величина.

Для вычитания аналогично. Для произведения и частного можно взять $B_2 = \left\lbrace 1 \right\rbrace$.

Есть ли проблема в этих рассуждениях? Заранее спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции от случайных величин
Сообщение22.07.2021, 17:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
Конечно, есть. Вы говорите, грубо говоря, что $\xi+\eta=7$ тогда и только тогда когда $\xi=7$ и $\eta=0$. Очевидно, что это не так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции от случайных величин
Сообщение22.07.2021, 18:02 
Аватара пользователя


24/10/14
81
--mS--

Да, этот момент сомнение вызывал. Думал, можно ли производить такой переход. Идея была такая, что для любого исходного борелевского множества можно подобрать подходящие $B_1$, $B_2$. Если так делать неправильно, стоит ли пробовать развивать далее такой подход, или такими рассуждениями ничего не добиться?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции от случайных величин
Сообщение22.07.2021, 18:42 


14/02/20
832
Jiggy в сообщении #1526743 писал(а):
если прообраз

Вернее полный прообраз

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции от случайных величин
Сообщение22.07.2021, 18:45 
Аватара пользователя


24/10/14
81
artempalkin
Да, конечно, не дописал

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции от случайных величин
Сообщение23.07.2021, 15:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
Такими ничего не добиться. Невозможно найти два множества $B_1$ и $B_2$, что $\xi+\eta=7$ равносильно $\xi\in B_1, \eta\in B_2$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group