Функции от случайных величин

[Jiggy]

Всех приветствую. Хочу строго доказать, что сумма, вычитание, произведение и частное случайных величин есть случайная величина.
Посмотрел доказательство в 1-м томе Ширяева(гл.2, пар.4), честно, не понравился подход. Хотелось бы отталкиваться от базовых определений.

Мои рассуждения таковы. Приведу пример для суммы.

Рассмотрим случайные величины $\xi$, $\eta$, заданные на $(\Omega, \mathcal{F}, P)$
$\zeta = \xi + \eta$
$\zeta$ - случайная величина, если прообраз любого борелевского множества принадлежит сигма-алгебре.
Берем любое $B \in \mathcal{B}(R)$.

$$\zeta^{-1}(B) = \left\lbrace w: \zeta(w) \in B \right\rbrace = \left\lbrace w: (\xi(w) + \eta(w)) \in B \right\rbrace = \left\lbrace w: \xi(w) \in B_1, \eta(w) \in B_2\right\rbrace$$

Возьмем $B_1 = B$, $B_2 = \left\lbrace 0 \right\rbrace$. Оба этих множества борелевских. Получаем:

$$\zeta^{-1}(B) = \left\lbrace w: \xi(w) \in B_1\right\rbrace \cap \left\lbrace w: \eta(w) \in B_2\right\rbrace = \xi^{-1}(B_1) \cap \eta^{-1}(B_2)$$

$\xi$, $\eta$ - случайный величины, поэтому $\xi^{-1}(B_1) \in \mathcal{F}$, $\eta^{-1}(B_2) \in \mathcal{F}$. А значит и пересечение принадлежит сигма-алгебре $\mathcal{F}$. Таким образом $\zeta$ - случайная величина.

Для вычитания аналогично. Для произведения и частного можно взять $B_2 = \left\lbrace 1 \right\rbrace$.

Есть ли проблема в этих рассуждениях? Заранее спасибо.

[--mS--]

Конечно, есть. Вы говорите, грубо говоря, что $\xi+\eta=7$ тогда и только тогда когда $\xi=7$ и $\eta=0$. Очевидно, что это не так.

[Jiggy]

--mS--

Да, этот момент сомнение вызывал. Думал, можно ли производить такой переход. Идея была такая, что для любого исходного борелевского множества можно подобрать подходящие $B_1$, $B_2$. Если так делать неправильно, стоит ли пробовать развивать далее такой подход, или такими рассуждениями ничего не добиться?

[artempalkin]

Jiggy в сообщении #1526743 писал(а):

если прообраз

Вернее полный прообраз

[Jiggy]

artempalkin
Да, конечно, не дописал

[--mS--]

Такими ничего не добиться. Невозможно найти два множества $B_1$ и $B_2$, что $\xi+\eta=7$ равносильно $\xi\in B_1, \eta\in B_2$.