условия интегрируемости

[Oleg Zubelevich]

Ниже приведена, как мне кажется, схема наиболее короткого доказательства теоремы об условиях интегрируемости.
Хорошо было бы еслиб кто-нибудь не поленился и выложил сюда геометрические следствия этих теорем, в частности теорему Фробениуса о распределениях. А то в учебники эти вопросы не так часто попадают.


Предположим в пространстве $\mathbb{R}^m=\{x=(x^1,\ldots, x^m)\}$ заданы гладкие векторные поля $w_1,\dots, w_n$.

Рассмотрим следующую задачу Коши

$$\frac{\partial x^k}{\partial t^j}=w^k_j(x),\quad x(0)=\hat x.\qquad (*)$$

Теорема 1. Если векторные поля $w_j$ попарно коммутируют то система (*) имеет решение $x(t),\quad t=(t^1,\ldots, t^n)$ при любых начальных данных $\hat x$. Это решение определено при мылых $|t|$ и единственно.

Доказательство. Искомое решение выписывается явно через фазовые потоки векторных полей: $x(t)=g_{w_1}^{t^1}\ldots g_{w_n}^{t^n}(\hat x)$. Для проверки того, что это действительно решение нужно воспользоваться тем, что потоки коммутирующих векторных полей коммутируют.
Для доказательства единственности нужно применить рассуждения типа тех, что используются в стандартной теореме Коши для ОДУ к интегральному уравнению

$$x^i(t)=\hat x^i+\int_{[0,t]}w^i_k(x(s))ds^k.$$

ЧТД

Рассмотрим задачу

$$\frac{\partial x^j}{\partial t^i}=f_i^j(t,x),\quad x(\hat t)=\hat x\qquad (**)$$

Функции $f_i^j$ являются гладкими в окрестности точки $(\hat t,\hat x).$

Следствие. Если при всех $t,x$ выполнены условия

$$\frac{\partial f_i^j(t,x)}{\partial t^k}+\frac{\partial f_i^j(t,x)}{\partial x^s}f^s_k(t,x) -\frac{\partial f_k^j(t,x)}{\partial t^i}-\frac{\partial f_k^j(t,x)}{\partial x^s}f^s_i(t,x)=0\qquad (***)$$

то задача (**) имеет решение $x(t)$ при любых допустимых начальных данных $\hat x,\hat t$. Это решение определено при мылых $|t-\hat t|$ и единственно.

Действительно, задача (**) сводится к задаче (*) добавлением к переменным $x$ переменных $y$, которые удовлетворяют системе

$$\frac{\partial y^s}{\partial t^l}=\delta_l^s.\qquad (\#)$$

Это просто хорошо известный прием "автономизации" неавтономной системы.
В системе (**)-(#) условие коммутирования соответствующих векторных полей имеет вид (***)

[Munin]

Спасибо.

Oleg Zubelevich в сообщении #759012 писал(а):

Это решение определено при мылых $|t|$ и единственно.

А с чем связана неединственность?

[Slav-27]

(Предупреждение: далее, вроде бы, одно и то же написано 2 раза, потом я это перечитаю и исправлю, а пока не относитесь с доверием, если читаете; и извините.)

А мне, пожалуй, больше нравится сначала доказывать "геометрический" вариант теоремы об интегрируемости, а потом выводить из него единственность. Делать оценки при этом необязательно, всё уже сделано до нас при доказательстве теоремы о локальном решении задачи Коши и теоремы об обратной функции.


Зафиксируем порядок гладкости $k=1,2,3,...$ или $\infty$.

1. Предварительные сведения

1.1. Теорема о постоянном ранге. Пусть $U$, $V$ — открытые подмножества $\mathbb R^m$ и $\mathbb R^n$ соответственно (или $C^k$-гладкие многообразия размерности $m$ и $n$ соответственно), $f:U\to V$ — $C^k$-гладкое отображение, дифференциал которого имеет постоянный ранг $r$. Тогда для любой $x\in U$ можно выбрать $C^k$-гладкие координаты около $x$ и около $f(x)$ так, что в этих координатах $f$ будет иметь вид $(x_1,...,x_r,...,x_m)\mapsto(x_1,...,x_r,0,...,0)$.

Точнее говоря, найдутся открытые окрестности $U'\subset U$ точки $x$ и $V'\subset V$ точки $f(x)$ с $f(U')\subset V'$, а также $C^k$-диффеоморфизмы $\varphi:U'\to U''$, $\varphi(x)=0$ и $\psi:V'\to V''$, $\psi(f(x))=0$, где $U''$ и $V''$ — открытые окрестности нуля в $\mathbb R^m$ и $\mathbb R^n$ соответственно, такие что $\psi\circ f\circ \varphi^{-1}$ совпадает с ограничением на $U''$ вышеописанного стандартного отображения $\mathbb R^m\to \mathbb R^n$ ранга $r$.

(В частном случае $m=n=r$ это теорема об обратной функции.)

1.2. Теорема о выпрямлении векторного поля. Пусть $U$ — открытое подмножество $\mathbb R^m$ (или $m$-мерное $C^k$-гладкое многообразие), $v$ — $C^k$-гладкое векторное поле на $U$. Пусть $x\in U$, $v(x)\ne 0$. Тогда около $x$ можно выбрать $C^k$-координаты $x^1,...,x^m$ так, что в этих координатах $v$ будет равно $\partial_1$.

Литература: Арнольд, Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Teschl, Ordinary differential equations and dynamical systems.


2. Выпрямление распределений

2.1. Лемма. Пусть $E\subset I\times \mathbb R^m$ — $C^k$-гладкое векторное подрасслоение ранга $r$ в тривиальном расслоении ранга $m$ над интервалом $I$. Предположим, что у любого $C^k$-сечения $v:I\to E$, $t\mapsto (t,w(t))$ производная $\frac{dw}{dt}(t)\in E_t$ при всех $t\in I$. Тогда $E$ постоянно (совпадает с $I\times V\subset I\times\mathbb R^m$ для какого-то $r$-мерного векторного подпространства $V\subset\mathbb R^m$).

Доказательство: Выбором тривиализации $I\times\mathbb R^r\to E$ задача сводится к следующей. Задано линейное вложение $L(t):\mathbb R^r\to\mathbb R^m$, $C^k$-гладко зависящее от $t\in I$, причём известно, что для любого гладкого отображения $v:I\to\mathbb R^r$ выполняется $\dfrac {d(L\circ v)}{dt}(t)\in\operatorname{im}L(t)$ для всех $t$; по правилу дифференцирования композиции, это условие эквивалентно включению $\operatorname{im}\dfrac{dL}{dt}(t)\subset\operatorname{im}L(t)$ для всех $t$. Надо доказать, что образ $L(t)$ не зависит от $t$.

Рассмотрим отображение $p:I\times\mathbb R^r\to\mathbb R^m$, $p(t,x)=L(t)x$. Его матрица Якоби в точке $(t,x)$ равна $\left(\dfrac{dL}{dt}(t)x\quad L(t)\right)$, поэтому имеет постоянный ранг $\dim\operatorname{im}L(t)\equiv r$.

По теореме о постоянном ранге, образ $p$ есть $r$-мерное подмногообразие в $\mathbb R^m$; с другой стороны, он равен $\bigcup\limits_{t\in I}\operatorname{im}L(t)$. Значит, все $\operatorname{im}L(t)$ одинаковые. $\square$

2.2. Теорема Фробениуса. Пусть $U$ — открытое подмножество $\mathbb R^m$ (или $m$-мерное $C^k$-гладкое многообразие), $D\subset TU$ — $C^k$-гладкое распределение на $U$ ранга $r$. Предположим, что $D$ инволютивно, то есть для любых двух $C^k$-гладких векторных полей $u$ и $v$ на $U$ со значениями в $D$ их коммутатор $[u,v]$ тоже принимает значения в $D$. Тогда $D$ локально является касательным распределением к слоям некоторой $C^k$-субмерсии (то есть
вполне интегрируемо).

Точнее говоря, у любой $x\in U$ найдётся открытая окрестность $U'$ и $C^k$-субмерсия $p:U'\to\mathbb R^{m-r}$, такая что $\ker dp=D\big|_{U'}$. (По теореме о постоянном ранге отсюда сразу следует, что $D$ локально $C^k$-изоморфно $T\mathbb R^r\subset T\mathbb R^m$, где $\mathbb R^r$ стандартно вложено в $\mathbb R^m$: $(x^1,...,x^r)\mapsto (x^1,...,x^r,0,...,0)$.)

Доказательство:

1. Зафиксируем $x\in U$. Выберем незануляющееся сечение $D$ около $x$. По теореме о выпрямлении векторного поля мы можем считать (уменьшив $U$, если это нужно), что $U=I\times V$ и выбранное сечение есть $\frac\partial{\partial t}=:\partial_t$, где $I$ — интервал, $t$ — координата на $I$.
   
   
2. Рассмотрим подрасслоение $\widetilde E$ расслоения $D$, состоящее из векторов, касательных к слоям проекции $I\times V\xrightarrow{\mathrm{pr}_I}I$; то есть $v\in\Gamma(\widetilde E)$ $\Longleftrightarrow$ $v\in\Gamma(D)$ и $dt\cdot v\equiv vt=0$.
   
   Для любого $v\in\Gamma(\widetilde E)$ выполнено $[\partial_t,v]t=\partial_t(vt)-v1=0$, поэтому $\mathrm{Lie}_{\partial_t}v=[\partial_t,v]\in\Gamma(\widetilde E)$. По лемме, $\widetilde E$ постоянно на каждом слое проекции $I\times V\xrightarrow{\mathrm{pr}_V}V$.
   
   То есть $\widetilde E\simeq TI\times E\subset TI\times TV\simeq T(I\times V)$, где $E\subset TV$ — какое-то распределение на $V$, и любое вложение $\{t_0\}\times V\subset I\times V$ устанавливает биекцию между сечениями $E$ и постоянными по $t$ сечениями $\widetilde E$.
   
   
3. Для любых $u,v\in\Gamma(\widetilde E)$ выполнено $[u,v]t=u(vt)-v(ut)=0$. Поэтому $E$ инволютивно.
   
   
4. Теперь мы докажем теорему индукцией по рангу $r$. Для $r=1$ она сразу получается из теоремы о выпрямлении векторного поля: выберем незануляющееся локальное сечение, в выпрямляющих координатах натянутое на него распределение касательно к слоям субмерсии $(x^1,x^2,...,x^m)\mapsto(x^2,...,x^m)$.
   
   Пусть теорема доказана для $r-1$. Тогда есть субмерсия $V\to\mathbb R^{m-r}$, касательное распределение к слоям которой есть $E$ (возможно, придётся предварительно уменьшить $V$). Тогда $I\times V\xrightarrow{\mathrm{pr}_V}V\to\mathbb R^{m-r}$ — субмерсия, касательное распределение к слоям которой есть $D\big|_U$. $\square$

3. Потоки векторных полей

(Оффтоп)

Пусть $U$ — открытое подмножество $\mathbb R^m$, $v$ — векторное поле на $U$.

3.1. Понятие потока. Пусть $p\in U$, $\tau\in \mathbb R$. Предположим, что существует интервал $I\subset\mathbb R$, содержащий $0$ и $\tau$, и функция $f:I\to U$, удовлетворяющая дифференциальному уравнению $\dfrac{df}{dt}(t)=v(f(t))$ ($t\in I$) и отображающая $0$ в $p$.

Тогда её значение в точке $\tau$ называется потоком $v$ из $p$ за время $\tau$ и обозначается $\Phi^v_\tau(p)$.

3.2. Локальное существование и единственность. Теорема о локальном решении обыкновенного дифференциального уравнения говорит, что если $v$ локально липшицево (например, $C^1$-гладко), то для любой $p\in U$ найдётся окрестность $V$ точки $(0,p)\in\mathbb R\times U$, такая что $\Phi^v_t(q)$ существует и однозначно определено при всех $(t,q)\in V$, причём оно непрерывно на $V$ и $C^k$-гладко, если $v$ $C^k$-гладко.

Для $C^1$-векторных полей это сразу получается из теоремы о выпрямлении: для незануляющихся — непосредственно, а общий случай легко сводится к этому, см. далее. То есть для $C^k$-гладких полей теорема о выпрямлении есть эквивалентная формулировка теоремы о локальном существовании и единственности решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения и гладкой зависимости от начального условия.

Замечание: композиции потоков. Отсюда следует, что если $U$ — открытое подмножество $\mathbb R^m$, $p\in U$, $v_1,...,v_r$ — локально липшицевы векторные поля на $U$, то найдётся окрестность точки $(0,p)\in\mathbb R^r\times U$, такая что для всех $((t^1,...,t^r),q)$ из этой окрестности определено $\Phi^{v_r}_{t^r}...\Phi^{v_1}_{t^1}q$. Действительно, каждое из отображений $((t^1,...,t^r),q)\mapsto ((t^1,...,t^r), \Phi^{v_i}_{t^i}q)$ непрерывно, определено в некоторой окрестности точки $(0,p)$ и сохраняет эту точку, значит, то же верно и для композиции.

3.3. Глобальная единственность. Из этой локальной теоремы следует, что если $v$ локально липшицево и $\Phi^v_\tau(p)$ существует для каких-то $p\in U$ и $\tau\in \mathbb R$, то только одно.

Доказательство: Для $\tau=0$ это верно по определению; можем считать, что $\tau>0$ (в противном случае заменим $v$ на $-v$). Зафиксируем интервал $I$ из определения и рассмотрим $J\subset I':=I\cap[0,+\infty)$ — множество таких $t$, что $\Phi^v_{t}(p)$ единственно для всех $t\in J$. $J$ открыто в $I'$ по локальной теореме, замкнуто в силу непрерывности решения и непусто, так как содержит $0$; поскольку $I'$ связно, то $J$ с ним совпадает. $\square$

Поэтому если $v$ локально липшицево, то существует единственное максимальное открытое подмножество $D^v\subset\mathbb R\times U$ (включающее $\{0\}\times U$), на котором определён поток $v$.

3.4. Расширение фазового пространства. Пусть $U$ — открытое подмножество $\mathbb R^m$ (или $C^k$-гладкое $m$-мерное многообразие), $v:U\to TU$ — $C^k$-гладкое векторное поле на $U$. Его можно продолжить до векторного поля $\bar v:\mathbb R\times U\to T(\mathbb R\times U)\simeq T\mathbb R\times TU\simeq\mathbb R\times TU$, $\bar v(t,x)=(1,v(x))$. Поток $\Phi^{\bar v}_t(t_0,x_0)=(t_0+t,\Phi^v_t(x_0))$ (части равенства одновременно определены или не определены). Поэтому изучать $v$ — это примерно то же самое, что изучать $\bar v$. При этом $\bar v$ нигде не
обращается в 0, поэтому к нему, например, применима теорема о выпрямлении. Отсюда для любой точки $p\in U$ сразу видно локальное существование, единственность и $C^k$-гладкость потока $v$.

Аналогично, если изначально задано $n$ векторных полей $v_1,...,v_n$, то можно изучать вместо них $\bar v_i:\mathbb R^n\times U\to\mathbb R^n\times TU$, $(t^1,...,t^n,x)\mapsto (0,...,1,...,0,v(x))$ (единица на $i$-м месте). Они в каждой точке ненулевые и линейно независимые. (Так же можно поля, зависящие от времени или от параметров, превратить в независящие.)

3.5. Потоки коммутирующих полей локально коммутируют. Пусть $U$ — открытое подмножество $\mathbb R^m$, $p\in U$, $v_1,...,v_r$ — $C^k$-гладкие векторные поля на $U$, все $[v_i,v_j]=0$ тождественно. Тогда существует $a>0$, такое что при всех $(t^1,...,t^r)\in(-a,a)^r$ определено выражение $\Phi^{v_{\sigma(r)}}_{t^{\sigma(r)}}...\Phi^{v_{\sigma(1)}}_{t^{\sigma(1)}}p$ для любой перестановки $\sigma$ и все они имеют одинаковое значение.

Доказательство: Достаточно доказать при $r=2$, потому что любую перестановку строки можно сделать последовательными перестановками соседних элементов.

По наблюдению о расширении фазового пространства, достаточно это доказать в предположении, что $v_1$ нигде не обращается в $0$. Поэтому по теореме о выпрямлении можно считать, что $v_1=\partial_1$, уменьшив при необходимости $U$. Мы знаем, что $\Phi^{v_2}_{t^2}\Phi^{v_1}_{t^1}p$ определено при $(t^1,t^2)\in(-a,a)^2$ для некоторого $a$. Зануление коммутатора в случае $v_1=\partial_1$ означает, что $v_2$ не зависит от $x^1$. Поэтому поток $v_1$ (сдвиг по $x^1$) сохраняет интегральные кривые $v_2$. $\square$

3.6. Глобальная коммутативность потоков. Пусть $U$ — открытое подмножество в $\mathbb R^m$ (или $C^k$-гладкое $m$-мерное многообразие), $p\in U$, $v_1,...,v_r$ — $C^k$-гладкие векторные поля на $U$, все $[v_i,v_j]=0$ тождественно, $I_1,...,I_n$ — отрезки вида $[0,...]$. Предположим, что $\Phi^{v_r}_{t^r}...\Phi^{v_1}_{t^1}p$ определено для всех $(t^1,...,t^r)\in I_1\times...\times I_r$. Тогда для любой перестановки $\sigma$ $\Phi^{v_{\sigma(r)}}_{t^{\sigma(r)}}...\Phi^{v_{\sigma(1)}}_{t^{\sigma(1)}}p$ тоже определено для всех $(t^1,...,t^r)\in I_1\times...\times I_r$
и равно тому же самому.

Доказательство: Опять достаточно доказать для $r=2$. Обозначим $v_1=:u$, $v_2=:v$. Зафиксируем $(s_0,t_0)\in I_1\times I_2$. Рассмотрим для каждой точки $(s,t)$ замкнутого прямоугольника $R\subset I_1\times I_2$, ограниченного прямыми $s=0,t=0$, $s=s_0$, $t=t_0$, открытый квадрат с центром в $(s,t)$ и со сторонами длины $2a(\;\Phi^v_t(\Phi^u_s(p))\;)$, параллельными сторонам $R$, где $a(q)$ означает число $a$ из предыдущей леммы для точки $q$ вместо $p$. Эти квадраты образуют открытое покрытие $R$, и так как
$R$ компактен, то он покрывается конечным количеством этих квадратов. Выберем положительное число $b$, меньшее половины длины стороны самого маленького из них, и разобьём $R$ вертикальными и горизонтальными прямыми на прямоугольники $s'\times t'$ со сторонами $s',t'$, меньшими $b$. Теперь напишем $\Phi^v_{t_0}\Phi^u_{s_0}p=\Phi^v_{t'}...\Phi^v_{t'}\Phi^u_{s'}...\Phi^u_{s'}p$. Предыдущая лемма позволяет обменивать $\Phi^v_{t'}\Phi^u_{s'}$ на $\Phi^u_{s'}\Phi^v_{t'}$ (выражение, полученное такой заменой, будет определено и равно исходному). Делая такие
перестановки, мы получим $\Phi^u_{s'}...\Phi^u_{s'}\Phi^v_{t'}...\Phi^v_{t'}p$, а это равно $\Phi^u_s\Phi^v_tp$. $\square$

Замечание. Отсюда сразу следует, что если поля $u$ и $v$ полны (например, это верно, если их носители компактны) и $[u,v]=0$ тождественно, то их потоки глобально коммутируют: $\Phi^v_{t}\Phi^u_{s}p=\Phi^u_s\Phi^v_tp$ для всех $s,t\in\mathbb R$ и $p\in U$. Для неполных полей равенство может и не выполняться, даже если обе его части определены (пример: Lee, Introduction to smooth manifolds, 2nd edition, problem 9-19).

Замечание. Дифференциал отображения $(t^1,...,t^r)\mapsto \Phi^{v_r}_{t^r}...\Phi^{v_1}_{t^1}p$ из предыдущего предложения переводит $\partial_i$ в $v_i$, потому что
$\dfrac{\partial}{\partial t^i}\;\left(\Phi^{v_r}_{t^r}...\Phi^{v_1}_{t^1}p\right)=\dfrac{\partial}{\partial t^i} \Phi^{v_i}_{t^i}(...)=v_i(\Phi^{v_i}_{t^i}(...))$.

4. Формулировка в терминах дифференциальных уравнений

4.1. Выпрямление нескольких векторных полей. Пусть $U$ — открытое подмножество $\mathbb R^m$ (или $m$-мерное $C^k$-гладкое многообразие), $v_1,...,v_r$ — попарно коммутирующие $C^k$-гладкие векторные поля, линейно независимые в каждой точке $U$. Тогда около каждой точки $p\in U$ есть $C^k$-координаты $x^1,...,x^m$, такие что в этих координатах $p=0$ и $v_i=\partial_i$ для всех $i=1,...,r$.

Доказательство: Зафиксируем $p\in U$. По теореме Фробениуса можно считать, что $U=\{(y^1,...,y^m)\in\mathbb R^m | -a<y_i<a \}$, $p=0$ и все $v_i$ линейно выражаются (с $C^k$-коэффициентами) через $\partial_1,...,\partial_r$. Отображение $(x^1,...,x^m)\mapsto \Phi^{v_r}_{x^r}...\Phi^{v_1}_{x_1}(0,...,0,x^{r+1},...,x^m)$ определено около $0\in\mathbb R^m$ (доказано выше), $C^k$-гладко (как композиция гладких отображений), переводит $\partial_i$ при $i=1,...,r$ в $v_i$ (следует из коммутативности потоков, см. выше), сохраняет $\partial_{r+1}(0),...,\partial_m(0)$ (так как тождественно при
$x^1,...,x^r=0$), значит, имеет невырожденный дифференциал в $0$, поэтому задаёт локальные координаты около $0$ (по теореме об обратной функции). $\square$

4.2. Cформулируем это в терминах дифференциальных уравнений. Пусть $U$ — область в $\mathbb R^m$, $v_1,...,v_r:U\to\mathbb R^m$ — $C^1$-гладкие функции, все коммутаторы $[v_i,v_j]=0$ тождественно.

1. Фиксируем $x_0\in U$. Найдётся область $T\subset\mathbb R^r$, содержащая $0$, и $C^1$-функция $f:T\to U$, такая что $\dfrac{\partial f}{\partial t^i}(t)=v_i(f(t))$ для всех $t\in T$ и $f(0)=x_0$.
   
   Любые 2 такие $f_1$ и $f_2$ (с областями опредления $T_1$ и $T_2$) совпадают на $T_1\cap T_2$.
   
   В частности, среди всех таких $f$ есть единственная функция $f_{x_0}$ с максимальной областью определения $T_{x_0}$.
   
   
2. Соберём все $f_{x_0}$ из п. 1 в функцию $f:(t,x_0)\mapsto f_{x_0}(t)$, определённую на подобласти $\mathbb R^r\times U$ ( $(t,x_0)\in \operatorname{dom}f$ $\Longleftrightarrow$ $x_0\in U$ и $t\in T_{x_0}$). Эта $f$ $C^1$-гладкая. Если все $v_i$ $C^k$-гладкие ($k=2,3,...$ или $\infty$), то и $f$ тоже.

(Желающие могут добавить сюда зависимость от «начального времени» — т. е. $f(t_0)=x_0$, — зависимость $v_i$ от $t$ и перестановочность производных по $t$ с производными по $x_0$.)

Доказательство: По замечанию о расширении фазового пространства можно считать, что $v_i$ в каждой точке линейно независимы (коммутативность не испортится). По предыдущей теореме можно считать, что $U$ — окрестность $0$ в $\mathbb R^m$, $v_i=\partial_i$. Локальное существование: $f(t^1,...,t^r)=(t^1+x_0^1,...,t^r+x_0^r,x_0^{r+1},...,x_0^m)$. Локальная единственность: рассмотрим проекцию $U\to\mathbb R^{m-r}$, $(x^1,...,x^m)\mapsto (x^{r+1},...,x^m)$. Посткомпозиция $f$ с этой проекцией имеет нулевой дифференциал, следовательно, она отображает всё в точку по
теореме о ранге. Значит, $f^{r+1},...,f^{m}$ постоянны. Поэтому можно считать, что $m=r$. Если есть две такие $f$, то их разность имеет нулевой дифференциал, следовательно, постоянна на любой прямой через $0$, следовательно, постоянна и равна $0$ около $0$. $\square$

[пианист]

В рамках какого курса эти вещи читаются?
У нас в МФТИ это читалось в рамках спецкурса, читал Павловский Юрий Николаевич.
Он рассказывал примерно так, как это излагалось самим Якоби. Надо сказать, на мой взгляд - гораздо понятнее

[Slav-27]

пианист в сообщении #1526294 писал(а):

В рамках какого курса эти вещи читаются?

Например, оно бывает во "введении в дифференциальную геометрию" или типа, потому что потом используется для изучения интегрируемости геометрических структур (римановой, комплексной...). Ещё это нужно в теоретической механике (интегрируемость связей). Зачем оно ещё надо, я не знаю и скажу спасибо, если кто расскажет.
Я убрал там лишнего, кстати.

[пианист]

То есть обязательный.. Ясно, спасибо.
А, интересно, теорема Каратеодори-Рашевского излагается?