2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 условия интегрируемости
Сообщение30.08.2013, 16:54 


10/02/11
6786
Ниже приведена, как мне кажется, схема наиболее короткого доказательства теоремы об условиях интегрируемости.
Хорошо было бы еслиб кто-нибудь не поленился и выложил сюда геометрические следствия этих теорем, в частности теорему Фробениуса о распределениях. А то в учебники эти вопросы не так часто попадают.


Предположим в пространстве $\mathbb{R}^m=\{x=(x^1,\ldots, x^m)\}$ заданы гладкие векторные поля $w_1,\dots, w_n$.

Рассмотрим следующую задачу Коши
$$\frac{\partial x^k}{\partial t^j}=w^k_j(x),\quad x(0)=\hat x.\qquad (*)$$

Теорема 1. Если векторные поля $w_j$ попарно коммутируют то система (*) имеет решение $x(t),\quad t=(t^1,\ldots, t^n)$ при любых начальных данных $\hat x$. Это решение определено при мылых $|t|$ и единственно.

Доказательство. Искомое решение выписывается явно через фазовые потоки векторных полей: $x(t)=g_{w_1}^{t^1}\ldots g_{w_n}^{t^n}(\hat x)$. Для проверки того, что это действительно решение нужно воспользоваться тем, что потоки коммутирующих векторных полей коммутируют.
Для доказательства единственности нужно применить рассуждения типа тех, что используются в стандартной теореме Коши для ОДУ к интегральному уравнению
$$x^i(t)=\hat x^i+\int_{[0,t]}w^i_k(x(s))ds^k.$$
ЧТД

Рассмотрим задачу
$$\frac{\partial x^j}{\partial t^i}=f_i^j(t,x),\quad x(\hat t)=\hat x\qquad (**)$$
Функции $f_i^j$ являются гладкими в окрестности точки $(\hat t,\hat x).$

Следствие. Если при всех $t,x$ выполнены условия
$$\frac{\partial f_i^j(t,x)}{\partial t^k}+\frac{\partial f_i^j(t,x)}{\partial x^s}f^s_k(t,x) -\frac{\partial f_k^j(t,x)}{\partial t^i}-\frac{\partial f_k^j(t,x)}{\partial x^s}f^s_i(t,x)=0\qquad (***)$$
то задача (**) имеет решение $x(t)$ при любых допустимых начальных данных $\hat x,\hat t$. Это решение определено при мылых $|t-\hat t|$ и единственно.


Действительно, задача (**) сводится к задаче (*) добавлением к переменным $x$ переменных $y$, которые удовлетворяют системе
$$\frac{\partial y^s}{\partial t^l}=\delta_l^s.\qquad (\#)$$
Это просто хорошо известный прием "автономизации" неавтономной системы.
В системе (**)-(#) условие коммутирования соответствующих векторных полей имеет вид (***)

 Профиль  
                  
 
 Re: условия интегрируемости
Сообщение30.08.2013, 17:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Спасибо.

Oleg Zubelevich в сообщении #759012 писал(а):
Это решение определено при мылых $|t|$ и единственно.

А с чем связана неединственность?

 Профиль  
                  
 
 Re: условия интегрируемости
Сообщение14.07.2021, 20:08 
Заслуженный участник


14/10/14
967
(Предупреждение: далее, вроде бы, одно и то же написано 2 раза, потом я это перечитаю и исправлю, а пока не относитесь с доверием, если читаете; и извините.)

А мне, пожалуй, больше нравится сначала доказывать "геометрический" вариант теоремы об интегрируемости, а потом выводить из него единственность. Делать оценки при этом необязательно, всё уже сделано до нас при доказательстве теоремы о локальном решении задачи Коши и теоремы об обратной функции.


Зафиксируем порядок гладкости $k=1,2,3,...$ или $\infty$.

1. Предварительные сведения

1.1. Теорема о постоянном ранге. Пусть $U$, $V$ — открытые подмножества $\mathbb R^m$ и $\mathbb R^n$ соответственно (или $C^k$-гладкие многообразия размерности $m$ и $n$ соответственно), $f:U\to V$$C^k$-гладкое отображение, дифференциал которого имеет постоянный ранг $r$. Тогда для любой $x\in U$ можно выбрать $C^k$-гладкие координаты около $x$ и около $f(x)$ так, что в этих координатах $f$ будет иметь вид $(x_1,...,x_r,...,x_m)\mapsto(x_1,...,x_r,0,...,0)$.

Точнее говоря, найдутся открытые окрестности $U'\subset U$ точки $x$ и $V'\subset V$ точки $f(x)$ с $f(U')\subset V'$, а также $C^k$-диффеоморфизмы $\varphi:U'\to U''$, $\varphi(x)=0$ и $\psi:V'\to V''$, $\psi(f(x))=0$, где $U''$ и $V''$ — открытые окрестности нуля в $\mathbb R^m$ и $\mathbb R^n$ соответственно, такие что $\psi\circ f\circ \varphi^{-1}$ совпадает с ограничением на $U''$ вышеописанного стандартного отображения $\mathbb R^m\to \mathbb R^n$ ранга $r$.

(В частном случае $m=n=r$ это теорема об обратной функции.)

1.2. Теорема о выпрямлении векторного поля. Пусть $U$ — открытое подмножество $\mathbb R^m$ (или $m$-мерное $C^k$-гладкое многообразие), $v$$C^k$-гладкое векторное поле на $U$. Пусть $x\in U$, $v(x)\ne 0$. Тогда около $x$ можно выбрать $C^k$-координаты $x^1,...,x^m$ так, что в этих координатах $v$ будет равно $\partial_1$.

Литература: Арнольд, Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Teschl, Ordinary differential equations and dynamical systems.


2. Выпрямление распределений

2.1. Лемма. Пусть $E\subset I\times \mathbb R^m$$C^k$-гладкое векторное подрасслоение ранга $r$ в тривиальном расслоении ранга $m$ над интервалом $I$. Предположим, что у любого $C^k$-сечения $v:I\to E$, $t\mapsto (t,w(t))$ производная $\frac{dw}{dt}(t)\in E_t$ при всех $t\in I$. Тогда $E$ постоянно (совпадает с $I\times V\subset I\times\mathbb R^m$ для какого-то $r$-мерного векторного подпространства $V\subset\mathbb R^m$).

Доказательство: Выбором тривиализации $I\times\mathbb R^r\to E$ задача сводится к следующей. Задано линейное вложение $L(t):\mathbb R^r\to\mathbb R^m$, $C^k$-гладко зависящее от $t\in I$, причём известно, что для любого гладкого отображения $v:I\to\mathbb R^r$ выполняется $\dfrac {d(L\circ v)}{dt}(t)\in\operatorname{im}L(t)$ для всех $t$; по правилу дифференцирования композиции, это условие эквивалентно включению $\operatorname{im}\dfrac{dL}{dt}(t)\subset\operatorname{im}L(t)$ для всех $t$. Надо доказать, что образ $L(t)$ не зависит от $t$.

Рассмотрим отображение $p:I\times\mathbb R^r\to\mathbb R^m$, $p(t,x)=L(t)x$. Его матрица Якоби в точке $(t,x)$ равна $\left(\dfrac{dL}{dt}(t)x\quad L(t)\right)$, поэтому имеет постоянный ранг $\dim\operatorname{im}L(t)\equiv r$.

По теореме о постоянном ранге, образ $p$ есть $r$-мерное подмногообразие в $\mathbb R^m$; с другой стороны, он равен $\bigcup\limits_{t\in I}\operatorname{im}L(t)$. Значит, все $\operatorname{im}L(t)$ одинаковые. $\square$

2.2. Теорема Фробениуса. Пусть $U$ — открытое подмножество $\mathbb R^m$ (или $m$-мерное $C^k$-гладкое многообразие), $D\subset TU$$C^k$-гладкое распределение на $U$ ранга $r$. Предположим, что $D$ инволютивно, то есть для любых двух $C^k$-гладких векторных полей $u$ и $v$ на $U$ со значениями в $D$ их коммутатор $[u,v]$ тоже принимает значения в $D$. Тогда $D$ локально является касательным распределением к слоям некоторой $C^k$-субмерсии (то есть
вполне интегрируемо).

Точнее говоря, у любой $x\in U$ найдётся открытая окрестность $U'$ и $C^k$-субмерсия $p:U'\to\mathbb R^{m-r}$, такая что $\ker dp=D\big|_{U'}$. (По теореме о постоянном ранге отсюда сразу следует, что $D$ локально $C^k$-изоморфно $T\mathbb R^r\subset T\mathbb R^m$, где $\mathbb R^r$ стандартно вложено в $\mathbb R^m$: $(x^1,...,x^r)\mapsto (x^1,...,x^r,0,...,0)$.)

Доказательство:
  1. Зафиксируем $x\in U$. Выберем незануляющееся сечение $D$ около $x$. По теореме о выпрямлении векторного поля мы можем считать (уменьшив $U$, если это нужно), что $U=I\times V$ и выбранное сечение есть $\frac\partial{\partial t}=:\partial_t$, где $I$ — интервал, $t$ — координата на $I$.

  2. Рассмотрим подрасслоение $\widetilde E$ расслоения $D$, состоящее из векторов, касательных к слоям проекции $I\times V\xrightarrow{\mathrm{pr}_I}I$; то есть $v\in\Gamma(\widetilde E)$ $\Longleftrightarrow$ $v\in\Gamma(D)$ и $dt\cdot v\equiv vt=0$.

    Для любого $v\in\Gamma(\widetilde E)$ выполнено $[\partial_t,v]t=\partial_t(vt)-v1=0$, поэтому $\mathrm{Lie}_{\partial_t}v=[\partial_t,v]\in\Gamma(\widetilde E)$. По лемме, $\widetilde E$ постоянно на каждом слое проекции $I\times V\xrightarrow{\mathrm{pr}_V}V$.

    То есть $\widetilde E\simeq TI\times E\subset TI\times TV\simeq T(I\times V)$, где $E\subset TV$ — какое-то распределение на $V$, и любое вложение $\{t_0\}\times V\subset I\times V$ устанавливает биекцию между сечениями $E$ и постоянными по $t$ сечениями $\widetilde E$.

  3. Для любых $u,v\in\Gamma(\widetilde E)$ выполнено $[u,v]t=u(vt)-v(ut)=0$. Поэтому $E$ инволютивно.

  4. Теперь мы докажем теорему индукцией по рангу $r$. Для $r=1$ она сразу получается из теоремы о выпрямлении векторного поля: выберем незануляющееся локальное сечение, в выпрямляющих координатах натянутое на него распределение касательно к слоям субмерсии $(x^1,x^2,...,x^m)\mapsto(x^2,...,x^m)$.

    Пусть теорема доказана для $r-1$. Тогда есть субмерсия $V\to\mathbb R^{m-r}$, касательное распределение к слоям которой есть $E$ (возможно, придётся предварительно уменьшить $V$). Тогда $I\times V\xrightarrow{\mathrm{pr}_V}V\to\mathbb R^{m-r}$ — субмерсия, касательное распределение к слоям которой есть $D\big|_U$. $\square$


3. Потоки векторных полей

(Оффтоп)

Пусть $U$ — открытое подмножество $\mathbb R^m$, $v$ — векторное поле на $U$.

3.1. Понятие потока. Пусть $p\in U$, $\tau\in \mathbb R$. Предположим, что существует интервал $I\subset\mathbb R$, содержащий $0$ и $\tau$, и функция $f:I\to U$, удовлетворяющая дифференциальному уравнению $\dfrac{df}{dt}(t)=v(f(t))$ ($t\in I$) и отображающая $0$ в $p$.

Тогда её значение в точке $\tau$ называется потоком $v$ из $p$ за время $\tau$ и обозначается $\Phi^v_\tau(p)$.

3.2. Локальное существование и единственность. Теорема о локальном решении обыкновенного дифференциального уравнения говорит, что если $v$ локально липшицево (например, $C^1$-гладко), то для любой $p\in U$ найдётся окрестность $V$ точки $(0,p)\in\mathbb R\times U$, такая что $\Phi^v_t(q)$ существует и однозначно определено при всех $(t,q)\in V$, причём оно непрерывно на $V$ и $C^k$-гладко, если $v$ $C^k$-гладко.

Для $C^1$-векторных полей это сразу получается из теоремы о выпрямлении: для незануляющихся — непосредственно, а общий случай легко сводится к этому, см. далее. То есть для $C^k$-гладких полей теорема о выпрямлении есть эквивалентная формулировка теоремы о локальном существовании и единственности решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения и гладкой зависимости от начального условия.

Замечание: композиции потоков. Отсюда следует, что если $U$ — открытое подмножество $\mathbb R^m$, $p\in U$, $v_1,...,v_r$ — локально липшицевы векторные поля на $U$, то найдётся окрестность точки $(0,p)\in\mathbb R^r\times U$, такая что для всех $((t^1,...,t^r),q)$ из этой окрестности определено $\Phi^{v_r}_{t^r}...\Phi^{v_1}_{t^1}q$. Действительно, каждое из отображений $((t^1,...,t^r),q)\mapsto ((t^1,...,t^r), \Phi^{v_i}_{t^i}q)$ непрерывно, определено в некоторой окрестности точки $(0,p)$ и сохраняет эту точку, значит, то же верно и для композиции.

3.3. Глобальная единственность. Из этой локальной теоремы следует, что если $v$ локально липшицево и $\Phi^v_\tau(p)$ существует для каких-то $p\in U$ и $\tau\in \mathbb R$, то только одно.

Доказательство: Для $\tau=0$ это верно по определению; можем считать, что $\tau>0$ (в противном случае заменим $v$ на $-v$). Зафиксируем интервал $I$ из определения и рассмотрим $J\subset I':=I\cap[0,+\infty)$ — множество таких $t$, что $\Phi^v_{t}(p)$ единственно для всех $t\in J$. $J$ открыто в $I'$ по локальной теореме, замкнуто в силу непрерывности решения и непусто, так как содержит $0$; поскольку $I'$ связно, то $J$ с ним совпадает. $\square$

Поэтому если $v$ локально липшицево, то существует единственное максимальное открытое подмножество $D^v\subset\mathbb R\times U$ (включающее $\{0\}\times U$), на котором определён поток $v$.

3.4. Расширение фазового пространства. Пусть $U$ — открытое подмножество $\mathbb R^m$ (или $C^k$-гладкое $m$-мерное многообразие), $v:U\to TU$$C^k$-гладкое векторное поле на $U$. Его можно продолжить до векторного поля $\bar v:\mathbb R\times U\to T(\mathbb R\times U)\simeq T\mathbb R\times TU\simeq\mathbb R\times TU$, $\bar v(t,x)=(1,v(x))$. Поток $\Phi^{\bar v}_t(t_0,x_0)=(t_0+t,\Phi^v_t(x_0))$ (части равенства одновременно определены или не определены). Поэтому изучать $v$ — это примерно то же самое, что изучать $\bar v$. При этом $\bar v$ нигде не
обращается в 0, поэтому к нему, например, применима теорема о выпрямлении. Отсюда для любой точки $p\in U$ сразу видно локальное существование, единственность и $C^k$-гладкость потока $v$.

Аналогично, если изначально задано $n$ векторных полей $v_1,...,v_n$, то можно изучать вместо них $\bar v_i:\mathbb R^n\times U\to\mathbb R^n\times TU$, $(t^1,...,t^n,x)\mapsto (0,...,1,...,0,v(x))$ (единица на $i$-м месте). Они в каждой точке ненулевые и линейно независимые. (Так же можно поля, зависящие от времени или от параметров, превратить в независящие.)

3.5. Потоки коммутирующих полей локально коммутируют. Пусть $U$ — открытое подмножество $\mathbb R^m$, $p\in U$, $v_1,...,v_r$$C^k$-гладкие векторные поля на $U$, все $[v_i,v_j]=0$ тождественно. Тогда существует $a>0$, такое что при всех $(t^1,...,t^r)\in(-a,a)^r$ определено выражение $\Phi^{v_{\sigma(r)}}_{t^{\sigma(r)}}...\Phi^{v_{\sigma(1)}}_{t^{\sigma(1)}}p$ для любой перестановки $\sigma$ и все они имеют одинаковое значение.

Доказательство: Достаточно доказать при $r=2$, потому что любую перестановку строки можно сделать последовательными перестановками соседних элементов.

По наблюдению о расширении фазового пространства, достаточно это доказать в предположении, что $v_1$ нигде не обращается в $0$. Поэтому по теореме о выпрямлении можно считать, что $v_1=\partial_1$, уменьшив при необходимости $U$. Мы знаем, что $\Phi^{v_2}_{t^2}\Phi^{v_1}_{t^1}p$ определено при $(t^1,t^2)\in(-a,a)^2$ для некоторого $a$. Зануление коммутатора в случае $v_1=\partial_1$ означает, что $v_2$ не зависит от $x^1$. Поэтому поток $v_1$ (сдвиг по $x^1$) сохраняет интегральные кривые $v_2$. $\square$

3.6. Глобальная коммутативность потоков. Пусть $U$ — открытое подмножество в $\mathbb R^m$ (или $C^k$-гладкое $m$-мерное многообразие), $p\in U$, $v_1,...,v_r$$C^k$-гладкие векторные поля на $U$, все $[v_i,v_j]=0$ тождественно, $I_1,...,I_n$ — отрезки вида $[0,...]$. Предположим, что $\Phi^{v_r}_{t^r}...\Phi^{v_1}_{t^1}p$ определено для всех $(t^1,...,t^r)\in I_1\times...\times I_r$. Тогда для любой перестановки $\sigma$ $\Phi^{v_{\sigma(r)}}_{t^{\sigma(r)}}...\Phi^{v_{\sigma(1)}}_{t^{\sigma(1)}}p$ тоже определено для всех $(t^1,...,t^r)\in I_1\times...\times I_r$
и равно тому же самому.

Доказательство: Опять достаточно доказать для $r=2$. Обозначим $v_1=:u$, $v_2=:v$. Зафиксируем $(s_0,t_0)\in I_1\times I_2$. Рассмотрим для каждой точки $(s,t)$ замкнутого прямоугольника $R\subset I_1\times I_2$, ограниченного прямыми $s=0,t=0$, $s=s_0$, $t=t_0$, открытый квадрат с центром в $(s,t)$ и со сторонами длины $2a(\;\Phi^v_t(\Phi^u_s(p))\;)$, параллельными сторонам $R$, где $a(q)$ означает число $a$ из предыдущей леммы для точки $q$ вместо $p$. Эти квадраты образуют открытое покрытие $R$, и так как
$R$ компактен, то он покрывается конечным количеством этих квадратов. Выберем положительное число $b$, меньшее половины длины стороны самого маленького из них, и разобьём $R$ вертикальными и горизонтальными прямыми на прямоугольники $s'\times t'$ со сторонами $s',t'$, меньшими $b$. Теперь напишем $\Phi^v_{t_0}\Phi^u_{s_0}p=\Phi^v_{t'}...\Phi^v_{t'}\Phi^u_{s'}...\Phi^u_{s'}p$. Предыдущая лемма позволяет обменивать $\Phi^v_{t'}\Phi^u_{s'}$ на $\Phi^u_{s'}\Phi^v_{t'}$ (выражение, полученное такой заменой, будет определено и равно исходному). Делая такие
перестановки, мы получим $\Phi^u_{s'}...\Phi^u_{s'}\Phi^v_{t'}...\Phi^v_{t'}p$, а это равно $\Phi^u_s\Phi^v_tp$. $\square$

Замечание. Отсюда сразу следует, что если поля $u$ и $v$ полны (например, это верно, если их носители компактны) и $[u,v]=0$ тождественно, то их потоки глобально коммутируют: $\Phi^v_{t}\Phi^u_{s}p=\Phi^u_s\Phi^v_tp$ для всех $s,t\in\mathbb R$ и $p\in U$. Для неполных полей равенство может и не выполняться, даже если обе его части определены (пример: Lee, Introduction to smooth manifolds, 2nd edition, problem 9-19).

Замечание. Дифференциал отображения $(t^1,...,t^r)\mapsto \Phi^{v_r}_{t^r}...\Phi^{v_1}_{t^1}p$ из предыдущего предложения переводит $\partial_i$ в $v_i$, потому что
$\dfrac{\partial}{\partial t^i}\;\left(\Phi^{v_r}_{t^r}...\Phi^{v_1}_{t^1}p\right)=\dfrac{\partial}{\partial t^i} \Phi^{v_i}_{t^i}(...)=v_i(\Phi^{v_i}_{t^i}(...))$.



4. Формулировка в терминах дифференциальных уравнений

4.1. Выпрямление нескольких векторных полей. Пусть $U$ — открытое подмножество $\mathbb R^m$ (или $m$-мерное $C^k$-гладкое многообразие), $v_1,...,v_r$ — попарно коммутирующие $C^k$-гладкие векторные поля, линейно независимые в каждой точке $U$. Тогда около каждой точки $p\in U$ есть $C^k$-координаты $x^1,...,x^m$, такие что в этих координатах $p=0$ и $v_i=\partial_i$ для всех $i=1,...,r$.

Доказательство: Зафиксируем $p\in U$. По теореме Фробениуса можно считать, что $U=\{(y^1,...,y^m)\in\mathbb R^m | -a<y_i<a \}$, $p=0$ и все $v_i$ линейно выражаются (с $C^k$-коэффициентами) через $\partial_1,...,\partial_r$. Отображение $(x^1,...,x^m)\mapsto \Phi^{v_r}_{x^r}...\Phi^{v_1}_{x_1}(0,...,0,x^{r+1},...,x^m)$ определено около $0\in\mathbb R^m$ (доказано выше), $C^k$-гладко (как композиция гладких отображений), переводит $\partial_i$ при $i=1,...,r$ в $v_i$ (следует из коммутативности потоков, см. выше), сохраняет $\partial_{r+1}(0),...,\partial_m(0)$ (так как тождественно при
$x^1,...,x^r=0$), значит, имеет невырожденный дифференциал в $0$, поэтому задаёт локальные координаты около $0$ (по теореме об обратной функции). $\square$

4.2. Cформулируем это в терминах дифференциальных уравнений. Пусть $U$ — область в $\mathbb R^m$, $v_1,...,v_r:U\to\mathbb R^m$$C^1$-гладкие функции, все коммутаторы $[v_i,v_j]=0$ тождественно.

  1. Фиксируем $x_0\in U$. Найдётся область $T\subset\mathbb R^r$, содержащая $0$, и $C^1$-функция $f:T\to U$, такая что $\dfrac{\partial f}{\partial t^i}(t)=v_i(f(t))$ для всех $t\in T$ и $f(0)=x_0$.

    Любые 2 такие $f_1$ и $f_2$ (с областями опредления $T_1$ и $T_2$) совпадают на $T_1\cap T_2$.

    В частности, среди всех таких $f$ есть единственная функция $f_{x_0}$ с максимальной областью определения $T_{x_0}$.

  2. Соберём все $f_{x_0}$ из п. 1 в функцию $f:(t,x_0)\mapsto f_{x_0}(t)$, определённую на подобласти $\mathbb R^r\times U$ ( $(t,x_0)\in \operatorname{dom}f$ $\Longleftrightarrow$ $x_0\in U$ и $t\in T_{x_0}$). Эта $f$ $C^1$-гладкая. Если все $v_i$ $C^k$-гладкие ($k=2,3,...$ или $\infty$), то и $f$ тоже.

(Желающие могут добавить сюда зависимость от «начального времени» — т. е. $f(t_0)=x_0$, — зависимость $v_i$ от $t$ и перестановочность производных по $t$ с производными по $x_0$.)

Доказательство: По замечанию о расширении фазового пространства можно считать, что $v_i$ в каждой точке линейно независимы (коммутативность не испортится). По предыдущей теореме можно считать, что $U$ — окрестность $0$ в $\mathbb R^m$, $v_i=\partial_i$. Локальное существование: $f(t^1,...,t^r)=(t^1+x_0^1,...,t^r+x_0^r,x_0^{r+1},...,x_0^m)$. Локальная единственность: рассмотрим проекцию $U\to\mathbb R^{m-r}$, $(x^1,...,x^m)\mapsto (x^{r+1},...,x^m)$. Посткомпозиция $f$ с этой проекцией имеет нулевой дифференциал, следовательно, она отображает всё в точку по
теореме о ранге. Значит, $f^{r+1},...,f^{m}$ постоянны. Поэтому можно считать, что $m=r$. Если есть две такие $f$, то их разность имеет нулевой дифференциал, следовательно, постоянна на любой прямой через $0$, следовательно, постоянна и равна $0$ около $0$. $\square$

 Профиль  
                  
 
 Re: условия интегрируемости
Сообщение16.07.2021, 09:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
1425
МО
В рамках какого курса эти вещи читаются?
У нас в МФТИ это читалось в рамках спецкурса, читал Павловский Юрий Николаевич.
Он рассказывал примерно так, как это излагалось самим Якоби. Надо сказать, на мой взгляд - гораздо понятнее :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: условия интегрируемости
Сообщение17.07.2021, 10:49 
Заслуженный участник


14/10/14
967
пианист в сообщении #1526294 писал(а):
В рамках какого курса эти вещи читаются?
Например, оно бывает во "введении в дифференциальную геометрию" или типа, потому что потом используется для изучения интегрируемости геометрических структур (римановой, комплексной...). Ещё это нужно в теоретической механике (интегрируемость связей). Зачем оно ещё надо, я не знаю и скажу спасибо, если кто расскажет.
Я убрал там лишнего, кстати.

 Профиль  
                  
 
 Re: условия интегрируемости
Сообщение17.07.2021, 20:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
1425
МО
То есть обязательный.. Ясно, спасибо.
А, интересно, теорема Каратеодори-Рашевского излагается?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group