Найти максимум функции "на ограничении"

[artempalkin]

Вполне возможно, я неправильно понимаю условие и вопрос задачи. Задача формулируется так (откуда она, я не в курсе):

Даны две функции $f(x,y)=x^2+4x-y^2-4y-xy$ и $g(x,y)=\max\{x+1;2y-1\}$.
Ограничение $\frac{f(x,y)}{g(x,y)}=C$, где $C\in\mathbb{N}$ (???).
Достигает ли функция минимального и максимального значения на ограничении, и если да, то в каких точках?

Как я написал, не до конца я понимаю условие, но полагаю, то речь идет о неявной функции $y(x)$, задаваемой условием $\frac{f(x,y)}{g(x,y)}=C$.

Если так, то у нас получается функция, заданная по-разному на двух полуплоскостях

$x^2+4x-y^2-4y-xy=C(x+1),\ \ \ x+1>2y-1$
$x^2+4x-y^2-4y-xy=C(2y-1),\ \ \ x+1<2y-1$

Это все прекрасно, но, как я понимаю, на обоих полуплоскостях это будут линии второго порядка, а именно либо гиперболы, либо пересекающиеся прямые (не уверен, что случай возможен, можно исследовать по инвариантам, но сначала нужно разрешить более интересный вопрос). И, как мне кажется, очень сложно (хотя и не невозможно) представить гиперболу или пару пересекающихся прямых, чтобы на какой-то полуплоскости значения одной из переменных были ограничены...

-- 12.07.2021, 11:49 --

Единственный случай, когда это возможно (который я могу представить), это когда асимптоты гиперболы пересекаются под прямым углом и полуплоскость соответствующая. Например, $y=\frac 1x$ при $x<-1$

[iifat]

Правду сказать, не углядел в условии ваших выводов, но пусть так.
В чём вопрос-то?

artempalkin в сообщении #1525843 писал(а):

очень сложно (хотя и не невозможно) представить гиперболу или пару пересекающихся прямых, чтобы на какой-то полуплоскости значения одной из переменных были ограничены...

...И если так, ответ очевиден: функция не достигает максимума на ограничении. В чём именно вы видите проблему?

[artempalkin]

iifat в сообщении #1525867 писал(а):

Правду сказать, не углядел в условии ваших выводов, но пусть так.

Так может быть я неправильно понимаю условие? Подскажите, пожалуйста, может быть, оно означает что-то другое?

iifat в сообщении #1525867 писал(а):

...И если так, ответ очевиден: функция не достигает максимума на ограничении. В чём именно вы видите проблему?

В том, что, возможно, я неправильно понимаю, чтО требуется найти в этой задаче

[artempalkin]

iifat
В общем, я так понял по вашим словам, что я все правильно понял в условии задачи и этот ответ верный. Спасибо за помощь!

[svv]

Я понял условие иначе, но ответ у меня тот же — нет, не достигает.

artempalkin в сообщении #1525843 писал(а):

Достигает ли функция минимального и максимального значения на ограничении, и если да, то в каких точках?

Конечно, это нехорошо со стороны авторов задачи: ввели две функции и не уточнили, про какую вопрос. Но дело в том, что на ограничении функции $f(x,y)$ и $g(x,y)$ совпадают с точностью до постоянного положительного множителя $C$. Максимуму (минимуму) одной из них соответствует и максимум (минимум) другой. Поэтому я думаю, что вопрос о любой из этих функций. Так как функция $g(x,y)$ гораздо проще, чем $f(x,y)$, её и надо рассматривать. Достаточно того, что при движении по одной из ветвей гиперболы в нужном направлении, начиная с какого-то момента, будут увеличиваться и $x$, и $y$, а значит, и $g(x,y)$.

[artempalkin]

svv в сообщении #1525938 писал(а):

Конечно, это нехорошо со стороны авторов задачи: ввели две функции и не уточнили, про какую вопрос. Но дело в том, что на ограничении функции $f(x,y)$ и $g(x,y)$ совпадают с точностью до постоянного положительного множителя $C$. Максимуму (минимуму) одной из них соответствует и максимум (минимум) другой. Поэтому я думаю, что вопрос о любой из этих функций. Так как функция $g(x,y)$ гораздо проще, чем $f(x,y)$, её и надо рассматривать. Достаточно того, что при движении по одной из ветвей гиперболы в нужном направлении, начиная с какого-то момента, будут увеличиваться и $x$, и $y$, а значит, и $g(x,y)$.

Да, я тоже подумал-подумал, почитал, что значит "на ограничении", и понял, что речь все же об обычной задаче на условный экстремум, а там уже все в целом понятнее (хотя получается кривовато, честно говоря. подозреваю, что в условии какая-то ошибка, поэтому так непросто было понять формулировку). Спасибо за подсказку :)

[svv]

svv в сообщении #1525938 писал(а):

её и надо рассматривать

Мне даже кажется, замысел авторов был: сбить решающего с толку, чтобы он начал исследовать $f(x,y)$ на гиперболе, вместо исследования простой $Cg(x,y)$.

[iifat]

artempalkin в сообщении #1525897 писал(а):

я так понял по вашим словам, что я все правильно понял в условии задачи и этот ответ верный

Нет, простите, это я неверно выразился. Я также не понимаю, что, собственно, надо найти или доказать в этой задаче. Есть два варианта, ваш и svv. Какой из них верный, не знаю.
В любом случае, никакого ответа, ни правильного, ни не, я у вас не увидел. Вот это вот

artempalkin в сообщении #1525843 писал(а):

как мне кажется, очень сложно (хотя и не невозможно) представить гиперболу или пару пересекающихся прямых, чтобы на какой-то полуплоскости значения одной из переменных были ограничены...

ни коим образом не ответ. Нужно копать дальше.

[Lia]

artempalkin
Мы можем долго гадать, что там имелось в виду. Но будет лучше, если Вы уточните постановку задачи.

[artempalkin]

Lia в сообщении #1525965 писал(а):

Мы можем долго гадать, что там имелось в виду. Но будет лучше, если Вы уточните постановку задачи.

Я уточнил, там имелось в виду на самом деле что-то очень простое. Студент, к сожалению, писал по памяти и с ошибками (причем с ошибками принципиальными).
В итоге функции те, которые даны, но задача такая: найти локальные максимумы и минимумы $f(x,y)$ на множестве $g(x,y)=C$ при разных значениях $C$, при этом еще много доп.вопросов типа: а при таком $C$ сколько будет максимумов и пр.
А, да, в $f(x,y)$ ошибка, на самом деле $f(x,y)=x^2+4x+y^2-4y$ (то есть нету самого неприятного члена $xy$, ну и никаких гиперболоидов и прочего). Короче, заставила меня задачка понервничать, хотя в оригинале яйца выеденного не стоит :)

-- 15.07.2021, 16:20 --

Как бы студенту кажется, что он просто забыл мелочь, а я в итоге нормально так времени потерял :)
Кстати, вот это $\frac {f(x,y)}{g(x,y)}=C$ знаете откуда было?
Было написано: Исследовать на экстремум на множестве $M=\{(x,y):g(x,y)=C\}$, а человек не знает этих обозначений, двоеточие это вроде деление, додумал свою собственную $f$... ну в общем, извините, задача была вообще не та :) Но в любом случае размышления над исходной задачей тоже как-то расширили мой опыт