Зачем нужны самые абстрактные области математики?

[Mirage_Pick]

Ende
Название топика изменено на более содержательное.

В необходимости дифференциальной геометрии и PDE меня легко убедить; при чтении соответствующей литературы в любом месте я понимаю, зачем автор делает какие-либо выкладки. Но есть вещи в математике, при созерцании которых у меня такого чувства не возникает. Какая-то зияющая пустота.

Вот, труды со времен Гротендика, которые привнесли геометрическую составляющую в алгебраическую теорию. Теория схем. Идеалы в качестве точек некоего геометрического объекта с соответствующими расслоениями и пучками. Etale cohomology. Имея background в римановой геометрии, казалось бы, легко понять мотивировку этих расслоений и пучков. Но над конечными полями? Разучивать структуру идеалов хитрых колец и полей? Зачем?

Вот, когомологии Вейля. Вычислили зета-функции. Прекрасно. Но зачем это? Если разузнать все про зета-функции, доказать GRH сформулировать их на языке автоморфных(или модулярных) форм, рядов Дирихле, овладеть всеми тонкими гауссовыми суммами/суммами Якоби и суммами типа Клостермана, полностью реализовать программу Ленглендса - что это даст?

Или вот еще одно направление - алгебраические пространства и стэки. Можно описать 100500 moduli хитрых кривых, поверхностей и вообще геометрических объектов. Но... зачем?

Стремиться доказать модулярность кривых над произвольными полями - зачем?

Объединить теории когомологий в грандиозную теорию мотивов - зачем?

Исследовать расширения полей, теорию Галуа, valuation theory - зачем? Вообще, коммутативная алгебра, алгебраическая геометрия - зачем они существуют?

По сути, на наших глазах сомнительная эзотерика от мира математики поглощает силы лучших математиков... Дьедонне, вот, сколько лет он строил когомологии Вейля? А ведь мог заниматься содержательными вещами... И не все алгебраисты такие... Вот, Манин открыл в свое время арифметическую физику и параллели "конечного" мира с теорией конформных полей, пространствами анти де Ситтера. Или вот, Гротендик занимался категориями, привнес философию производных функторов/категорий. Или Шольце сформулировал содержательные вещи над конечной характеристикой. Вот такими вещами должны заниматься алгебраисты, а не прочей вышеперечисленной лабудой! Или я неправ?

[Aritaborian]

Mirage_Pick в сообщении #1525555 писал(а):

зачем?

Затем, что:
а) математика не имеет никакого отношения к реальному миру, она существует сама по себе, а её непостижимая эффективность в естественных науках это уж другое дело;
б) математика никому ничего не должна;
в) математика должна быть открыта (исследована) во всех направлениях.

[Padawan]

Aritaborian в сообщении #1525556 писал(а):

математика не имеет никакого отношения к реальному миру, она существует сама по себе

Очевидная неправда. Хотя бы потому, что она создается математиками, живущими в реальном мире. Вообще, математика описывает объекты, абстрагированные из реального мира.

[Dmitriy40]

Mirage_Pick
Здесь три возражения:
1. При разработке чего-то нового могут быть разработаны и новые методы, потом применимые в другой области. Иначе они могли быть и не придуманы ... (Пример привести не могу, вертится про теорию чисел, методы которой неожиданно дали сильный толчок в другой области, но деталей не помню.)
2. Возьмите пример чего-то практически важного сейчас (кроме криптографии сразу на ум ничего не приходит), составьте список используемых для него методов и других теорий, а потом забудьте про результат и по каждой из них задайте вопрос "а зачем оно?". Для многих ответа не будет, он в будущем, иногда далёком. Не всегда можно точно заранее сказать где будет применена новая теория или методы. Казалось бы где эллиптические кривые и где разложение на множители (точнее проверка простоты чисел), а в криптографии первое используется для второго.
3. Практика показывает что насильно заставлять учёных заниматься чем-то конкретным/важным — плохая идея, лучше когда они сами могут выбрать область по душе. Можно конечно им денег не давать на всё "лишнее", но тогда сейчас могло не быть да той же криптографии.
Подчеркну, таких примеров намного больше, это лишь мне кроме неё ничего сразу не вспомнилось.

[Евгений Машеров]

Dmitriy40 в сообщении #1525565 писал(а):

ример привести не могу, вертится про теорию чисел, методы которой неожиданно дали сильный толчок в другой области, но деталей не помню.

Возможно, имеется в виду анекдот про тост на банкете после конгресса по теории чисел: "Так выпьем же за нашу отрасль математики, никогда не использовавшуюся, чтобы убивать людей и чтобы обманывать людей!" (в смысле нет ни военного, ни финансового применения). Причём в том же году было предложено использовать в методе Монте-Карло вместо случайных чисел рассчитываемые теоретико-числовыми методами "числа с низким расхождением", и немедленно приложено к расчёту прохождения нейтронов через тонкий стержень из $U^{235}$ - запал водородной бомбы. А вскоре и к финансовым расчётам приложилось...

[Dmitriy40]

Евгений Машеров в сообщении #1525568 писал(а):

Возможно, имеется в виду

Не, вряд ли, про это вообще не слышал. Крутится в голове что-то про применение теории чисел к графам, но ... не помню.
Хотя за добавочные примеры спасибо.

[Mirage_Pick]

Dmitriy40 в сообщении #1525565 писал(а):

1. При разработке чего-то нового могут быть разработаны и новые методы, потом применимые в другой области. Иначе они могли быть и не придуманы ...

Так-то это верно, но в таком случае упомянутые мной области просто выдающиеся по своей уникальности, в том смысле, что со времен Эмми Нетер и Бурбаков развились в огромные теории и так и не дали выхлопа в виде методов, применимых в других в областях... К слову, Гротендику в свое время расшатали нервы еще и тем, что спрашивали насчет практического применения его теорий. Несправедливо, в общем, он ведь не только эзотерикой занимался, он еще в начале своей карьеры функциональный анализ развивал... Но вот, мужики понаписали на французском многотомные EGA, SGA, что аж Толстой бы обзавидовался $-$ теории конца краю не видно, а мотивировки ноль.

В контрасте с этим не менее абстрактные, казалось бы, теории: топология на фреймах и локалях $-$ давно практически полезный симбиот с мат. логикой; обобщенные функции вообще прямиком из приложений выросли $-$ не знаю как там Шварц, а Соболев работал в Сейсмическом институте... Гармонический анализ, теория интерполяций - к ним тоже подобных вопросов не возникает, потому что у них всегда есть такой контекст, что они могут привести к тонким оценкам решений полезных PDE. Да и упомянутая вами криптография - у нее есть контекст того, что ключи на эллиптических кривых сложно сломать, отсюда и польза, и все вопросы сразу отпадают. А при работе, к примеру, с дедекиндовыми кольцами такого контекста попросту нет... одни дедекиндовы кольца и все... набор аксиом...

Dmitriy40 в сообщении #1525565 писал(а):

(Пример привести не могу, вертится про теорию чисел, методы которой неожиданно дали сильный толчок в другой области, но деталей не помню.)

Из такого я вспомнил графы-экспандеры... Но у них все связи только с упомянутой эзотерикой...

Вот бы человек, который видит ширше, объяснил чтоли людям выходы из этих теорий во что-то человеческое... Но, видать, слишком многого хочу $-$ слишком мало специалистов по абстрактным областям...

[Евгений Машеров]

Основной продукт, производимый математикой - это математики. Решение прикладных задач это "утилизуемый отход производства", хотя разрыв по времени между прибыльностью основного продукта и побочного может быть столь велик, что кажется, будто только побочный полезен.

[Sender]

Mirage_Pick в сообщении #1525555 писал(а):

Исследовать расширения полей, теорию Галуа, valuation theory - зачем?

Например, чтобы мы имели возможность задавать подобные вопросы в интернете. Некоторые из упомянутых отраслей имеют непосредственное отношение к передаче по системам электронных коммуникаций тех самых битов информации, которые служат для донесения до аудитории авторитетного мнения.

[vpb]

Mirage_Pick в сообщении #1525555 писал(а):

Теория схем. Идеалы в качестве точек некоего геометрического объекта с соответствующими расслоениями и пучками. Etale cohomology.

Mirage_Pick в сообщении #1525555 писал(а):

расслоений и пучков.

Mirage_Pick в сообщении #1525555 писал(а):

когомологии Вейля.

Mirage_Pick в сообщении #1525555 писал(а):

зета-функции.

Mirage_Pick в сообщении #1525555 писал(а):

GRH

Mirage_Pick в сообщении #1525555 писал(а):

автоморфных(или модулярных) форм, рядов Дирихле, овладеть всеми тонкими гауссовыми суммами/суммами Якоби и суммами типа Клостермана, полностью реализовать программу Ленглендса - что это даст?

алгебраические пространства и стэки. moduli хитрых кривых, поверхностей и вообще геометрических объектов.

модулярность кривых над произвольными полями

теории когомологий

теорию мотивов

расширения полей, теорию Галуа, valuation theory
коммутативная алгебра, алгебраическая геометрия

когомологии Вейля?

теорией конформных полей, пространствами анти де Ситтера.

Гротендик занимался категориями,
производных функторов/категорий.

Шольце содержательные вещи над конечной характеристикой.

Позвольте спросить : а вы действительно понимаете, что все эти термины (или большая часть из них по крайней мере) означают ? Или вставили их так, "для красного словца" ?

[Mirage_Pick]

vpb в сообщении #1525643 писал(а):

Позвольте спросить : а вы действительно понимаете, что все эти термины (или большая часть из них по крайней мере) означают ? Или вставили их так, "для красного словца" ?

Ага, я на это нехилую долю часов, выделенных на срс, истратил, пытаясь добиться хотя бы прояснения. Сейчас пишу магистерский диссер по чистой математике, и жалею, что растранжирил так много труда и времени на "красивые" теории.

И, кстати, не всё из выделенного вами пресловутая эзотерика - последние три вещи

Цитата:

теорией конформных полей, пространствами анти де Ситтера.

Гротендик занимался категориями,
производных функторов/категорий.

Шольце содержательные вещи над конечной характеристикой.

содержательны.

[Aritaborian]

Padawan в сообщении #1525562 писал(а):

Вообще, математика описывает объекты, абстрагированные из реального мира.

Большая часть математических объектов появилась путём абстрагирования других математических объектов, а не объектов реального мира.

Mirage_Pick в сообщении #1525612 писал(а):

мотивировки ноль

Разве любопытство и стремление к получению нового знания не является достаточной мотивацией? Знание ценно само по себе.

[realeugene]

Mirage_Pick в сообщении #1525612 писал(а):

Да и упомянутая вами криптография - у нее есть контекст того, что ключи на эллиптических кривых сложно сломать, отсюда и польза

Вы знаете, я помню ещё время, когда использование эллиптичесчких кривых над полями Галуа в криптографии было только крайне передовой идеей. При том, что сами эллиптические кривые исследовали сотню лет назад. Поля Галуа стали использовать в теории кодирования (а не в криптографии) гораздо раньше эллиптических кривых. Но вы про их практическое применение, похоже, не догадывались? Да и про теорему Нётер и применение теории групп в физике, тоже, когда-то никто не подозревал, что так можно. Когда эту абстрактную алгебру создавали.

[Yorick]

Всё изученное мной имеет пользу и мотивацию.
И про всё что я знаю, я могу дать ответ зачем оно нужно и как этим пользоваться.
Иногда я очень близок к тому, чтобы поверить в дикую теорию заговора, что математики просто скрывают объяснения и ответы на вопрос "зачем", потому что они такие важные и им лень объяснять. (Типа, так как если ты всё подробно всем всё объяснил, то зачем ты дальше нужен? Да и ещё кучу времени потерял на объяснения.)

[realeugene]

Yorick в сообщении #1537153 писал(а):

Иногда я очень близок к тому, чтобы поверить в дикую теорию заговора, что математики просто скрывают объяснения и ответы на вопрос "зачем", потому что они такие важные и им лень объяснять.

Математикам это интересно. Они не обязаны вам что-либо объяснять, тем более, если вам это не интересно. Прежде всего, это всё красиво.