И из всех конституент к центрированности конечного семейства множеств имеет отношение только одна.
Вы имеете в виду конституенту
? Она единственная равна пересечению всех трех множеств, изображенных в виде кругов на рис. 13, на нем видны все восемь конституент, когда ни одна из них не равна нулю.
Так что другим вовсе не запрещено быть пустыми.
Поставим задачу найти семейство из трех множеств с максимальным числом пустых конституент.
Уберем конституенту
, то есть приравняем ее к нулю (сделаем ее пустой) (рис. 14-a) Тогда семейство
(два верхних круга и урезанный нижний), имея одну пустую конституенту, будет центрированным, так же как и исходное семейство (из трех кругов). При этом множество
будет входить в объединение множеств
и
(в объединение двух верхних кругов).
Уберем еще и конституенты
и
из двух верхних кругов (рис. 14-b), получим три множества:
и
, составляющие также центрированную систему и имеющие три пустые конституенты. Каждое из этих множеств входит в объединение двух других.
Можем убрать еще конституенту
, получим три множества:
и
, составляющие также центрированную систему и имеющие четыре пустые конституенты (рис.14-c).
Однако убрать еще и одну из конституент
уже не можем, так как тогда у нас останется только два множества.
Но можем убрать конституенту
, тогда получим те же три множества:
и
, составляющие центрированную систему, имеющую пять пустых конституент (рис. 14-d).
Таким образом,
-- семейство из трех множеств с максимальным числом пустых конституент (пять).
[Можно найти другое семейство на тех же условиях, надо только, чтобы в него входило множество
и еще два множества, каждое из которых состоит из
и еще одной конституенты с рис. 13 (исключая
).
Вообще, не обязательно брать те множества, которые мы брали, например, для рисунка 14-b можно взять множества
, их система также будет центрированной и с тем же числом пустых конституент (три). Для рисунка 14-a выбор еще богаче. Необходимо только, чтобы объединение выбранных множеств было равно объединению всех изображенных на рисунке (то есть не пустых) конституент. Если во все из них будет входить конституента
, то система будет центрированной.]
Да, у Куратовского с Мостовским конституенты определяются с помощью универсального множества. Но их можно определить и без универсального множества ... Просто возьмите в качестве множества
объединение всех заданных множеств и исключите из списка конституент ту, которая является пересечением всех дополнений (она автоматически пустая). При таком подходе число конституент для семейства из
множеств не превосходит
, и множества независимы, если число непустых конституент равно
. Также пустые конституенты, как правило, не нужны, и их можно не считать.
Это понятно, спасибо.
У Куратовского с Мостовским универсальное множество используется в определении конституент независимо от того, входит или не входит оно в систему.
Случай, когда оно входит в систему, был мне подсказан:
частный случай теоремы 1 из КМ, выделенный допусловием: одно из
равно
.
а до того он не приходил мне в голову. Но когда я о нем узнал, то уже не мог его не учитывать.