2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Конституенты (теория множеств)
Сообщение01.07.2021, 21:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
Vladimir Pliassov в сообщении #1524861 писал(а):
Someone в сообщении #1524841 писал(а):
Vladimir Pliassov в сообщении #1524823 писал(а):
Центрированная система не имеет нулевых конституент
Почему бы вдруг?

Исправляю.

В центрированную систему может входить универсум $1$, так как он пересекается с любым входящим в него множеством и потому с пересечением любых входящих в него множеств.
Да, у Куратовского с Мостовским конституенты определяются с помощью универсального множества. Но их можно определить и без универсального множества, тем более, что в стандартных теориях типа ZFC или NBG универсального множества нет. Просто возьмите в качестве множества $1$ объединение всех заданных множеств и исключите из списка конституент ту, которая является пересечением всех дополнений (она автоматически пустая). При таком подходе число конституент для семейства из $n$ множеств не превосходит $2^n-1$, и множества независимы, если число непустых конституент равно $2^n-1$. Также пустые конституенты, как правило, не нужны, и их можно не считать. Но для начала разберитесь с тем, что в книге.

Vladimir Pliassov в сообщении #1524861 писал(а):
Центрированная система не имеет нулевых конституент, если в нее не входит $1$, и имеет нулевые конституенты, если в нее входит $1$.
По-моему, Вы уже очень сильно запутались. У Куратовского с Мостовским универсальное множество используется в определении конституент независимо от того, входит или не входит оно в систему. И из всех конституент к центрированности конечного семейства множеств имеет отношение только одна. Так что другим вовсе не запрещено быть пустыми.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конституенты (теория множеств)
Сообщение02.07.2021, 16:37 


21/04/19
1232
Someone в сообщении #1524994 писал(а):
И из всех конституент к центрированности конечного семейства множеств имеет отношение только одна.

Вы имеете в виду конституенту $a$? Она единственная равна пересечению всех трех множеств, изображенных в виде кругов на рис. 13, на нем видны все восемь конституент, когда ни одна из них не равна нулю.

Изображение

Someone в сообщении #1524994 писал(а):
Так что другим вовсе не запрещено быть пустыми.

Поставим задачу найти семейство из трех множеств с максимальным числом пустых конституент.

Уберем конституенту $e$, то есть приравняем ее к нулю (сделаем ее пустой) (рис. 14-a) Тогда семейство $\{a\cup c\cup f\cup g, \; a\cup d\cup g\cup h, \; a\cup f\cup h\}$ (два верхних круга и урезанный нижний), имея одну пустую конституенту, будет центрированным, так же как и исходное семейство (из трех кругов). При этом множество $a\cup f\cup h$ будет входить в объединение множеств $a\cup c\cup f\cup g$ и $a\cup d\cup g\cup h$ (в объединение двух верхних кругов).

Уберем еще и конституенты $c$ и $d$ из двух верхних кругов (рис. 14-b), получим три множества: $a\cup f\cup h,\;\; a\cup f\cup g$ и $a\cup  g\cup h$, составляющие также центрированную систему и имеющие три пустые конституенты. Каждое из этих множеств входит в объединение двух других.

Можем убрать еще конституенту $h$, получим три множества: $a, \; a\cup f$ и $a\cup  g$, составляющие также центрированную систему и имеющие четыре пустые конституенты (рис.14-c).

Однако убрать еще и одну из конституент $f, g$ уже не можем, так как тогда у нас останется только два множества.

Изображение

Но можем убрать конституенту $b$, тогда получим те же три множества: $a, \; a\cup f$ и $a\cup  g$, составляющие центрированную систему, имеющую пять пустых конституент (рис. 14-d).

Таким образом, $\{a, \; a\cup f, \;  a\cup g\}$ -- семейство из трех множеств с максимальным числом пустых конституент (пять).

[Можно найти другое семейство на тех же условиях, надо только, чтобы в него входило множество $a$ и еще два множества, каждое из которых состоит из $a$ и еще одной конституенты с рис. 13 (исключая $b$).

Вообще, не обязательно брать те множества, которые мы брали, например, для рисунка 14-b можно взять множества $a\cup f, a\cup g, a\cup h$, их система также будет центрированной и с тем же числом пустых конституент (три). Для рисунка 14-a выбор еще богаче. Необходимо только, чтобы объединение выбранных множеств было равно объединению всех изображенных на рисунке (то есть не пустых) конституент. Если во все из них будет входить конституента $a$, то система будет центрированной.]

Someone в сообщении #1524994 писал(а):
Да, у Куратовского с Мостовским конституенты определяются с помощью универсального множества. Но их можно определить и без универсального множества ... Просто возьмите в качестве множества $1$ объединение всех заданных множеств и исключите из списка конституент ту, которая является пересечением всех дополнений (она автоматически пустая). При таком подходе число конституент для семейства из $n$ множеств не превосходит $2^n-1$, и множества независимы, если число непустых конституент равно $2^n-1$. Также пустые конституенты, как правило, не нужны, и их можно не считать.

Это понятно, спасибо.

Someone в сообщении #1524994 писал(а):
У Куратовского с Мостовским универсальное множество используется в определении конституент независимо от того, входит или не входит оно в систему.

Случай, когда оно входит в систему, был мне подсказан:

пианист в сообщении #1524050 писал(а):
частный случай теоремы 1 из КМ, выделенный допусловием: одно из $A_i$ равно $1$.

а до того он не приходил мне в голову. Но когда я о нем узнал, то уже не мог его не учитывать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конституенты (теория множеств)
Сообщение02.07.2021, 18:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
Vladimir Pliassov в сообщении #1525151 писал(а):
Но когда я о нем узнал, то уже не мог его не учитывать.
А зачем начали игнорировать тот случай, когда универсальное множество не является элементом семейства?

 Профиль  
                  
 
 Re: Конституенты (теория множеств)
Сообщение02.07.2021, 18:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10894
Crna Gora
Vladimir Pliassov, Вы разобрались с этим артефактом, $\Delta$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Конституенты (теория множеств)
Сообщение02.07.2021, 20:49 


21/04/19
1232
Someone в сообщении #1525161 писал(а):
А зачем начали игнорировать тот случай, когда универсальное множество не является элементом семейства?

Я его не игнорирую, я понимаю, что только в этом случае семейство может быть независимым (то есть может не иметь пустых конституент). Но может быть, у меня есть какие-то упущения относительно него?

svv в сообщении #1525162 писал(а):
Вы разобрались с этим артефактом, $\Delta$?

Нет, не разобрался. Но у меня появилась мысль, что, может быть, диаграммы Венна (и наверное, Эйлера, но его диаграммы я пока хуже понимаю) не вполне или не всегда соответствуют объектам теории множеств.

Возьмем простой случай $A=1\setminus \overline A$ . На рис. 15-a $A$ находится в окружении $\overline A$ (не пересекаясь с ним). Но то, что $A=1\setminus \overline A$ можно изобразить как на рис. 15-b, и тогда $A$ не находится в окружении $\overline A$.

Изображение

Может, что-то подобное и с $\Delta$? На рис. 10-b $\Delta$ не пересекается с остальной частью конституенты $\overline A\cap \overline B\cap \overline C$, то есть конституента $\overline A\cap \overline B\cap \overline C$ состоит из двух непересекающихся подмножеств -- $1-(A\cup B\cup C\cup \Delta)$ и $\Delta$. Но "в жизни", может быть, это не так?

Изображение

(Хотя, учитывая, что любое множество состоит из непересекающихся подмножеств, в том, что $\overline A\cap \overline B\cap \overline C$ состоит из некоторых непересекающихся $1-(A\cup B\cup C\cup \Delta)$ и $\Delta$, нет ничего удивительного.)

Или, если рассматривать дополнения множеств как исходные множества, а исходные множества как их дополнения, то, судя по диаграммам, любые семейства всегда центрированные, потому что на диаграммах все дополнения (которые мы теперь рассматриваем как исходные множества) пересекаются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конституенты (теория множеств)
Сообщение02.07.2021, 22:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10894
Crna Gora
Vladimir Pliassov
Множеству $\overline A\cap \overline B\cap \overline C$ соответствует несвязное множество на Вашей диаграмме. Но эта «деталь реализации» не выражает каких-либо свойств множества $\overline A\cap \overline B\cap \overline C$ (оно вполне может состоять из одного элемента). Потому я и назвал её артефактом. Я бы взял обычную диаграмму Венна для 3 множеств и закрасил черным $A\cap B\cap C$ и $\overline A\cap \overline B\cap \overline C$.

Можно сказать, что в этой ситуации недостаточно гибкая модель из простых фигур на плоскости посмела диктовать свои выводы теории множеств.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конституенты (теория множеств)
Сообщение02.07.2021, 23:11 
Заслуженный участник


31/12/05
1516
Vladimir Pliassov в сообщении #1525171 писал(а):
состоит из двух непересекающихся подмножеств
Чем быстрее в перейдете от мелких побочных вопросов теории множеств к общей топологии, тем быстрее узнаете слово "несвязный", которое тут больше подходит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конституенты (теория множеств)
Сообщение03.07.2021, 00:41 


21/04/19
1232
svv в сообщении #1525182 писал(а):
Я бы взял обычную диаграмму Венна для 3 множеств и закрасил черным $A\cap B\cap C$ и $\overline A\cap \overline B\cap \overline C$.

Я закрасил зеленым, чтобы видны были обозначения.

Изображение

То есть Вы выделяете эти две конституенты (рис. 10-a), потому что одна из них является пересечением всех множеств, а другая пересечением всех дополнений множеств? Но почему одним цветом? Вы их как-то связываете?

Вот на рис. 10-b я закрасил $\Delta$ так же, как остальную часть конституенты $\overline A\cap \overline B\cap \overline C$, потому что это одна и та же конституента.

tolstopuz в сообщении #1525184 писал(а):
Чем быстрее в перейдете от мелких побочных вопросов теории множеств к общей топологии, тем быстрее узнаете слово "несвязный", которое тут больше подходит.

Надеюсь в обозримом будущем перейти к § 8 Куратовского, Мостовского "Применение алгебры множеств к топологии".

 Профиль  
                  
 
 Re: Конституенты (теория множеств)
Сообщение03.07.2021, 01:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10894
Crna Gora
Vladimir Pliassov в сообщении #1525190 писал(а):
То есть Вы выделяете эти две конституенты (рис. 10-a), потому что одна из них является пересечением всех множеств, а другая пересечением всех дополнений множеств? Но почему одним цветом? Вы их как-то связываете?
Я их обе отбрасываю. В результате остается 2-сцепленная (но не 3-сцепленная) система из трех множеств $A,B,C$.
$A\cap B\cap C$ отбрасывается потому, что это множество пусто (специально такие $A,B,C$ нашли либо так их определили).
$\overline A\cap \overline B\cap \overline C$ отбрасывается потому, что не входит в систему.
Если считаете, что тогда лучше их покрасить в разный цвет — ладно. (У Куратовского-Мостовского вообще картинок нет.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Конституенты (теория множеств)
Сообщение03.07.2021, 02:57 


21/04/19
1232
svv в сообщении #1525195 писал(а):
$A\cap B\cap C$ отбрасывается потому, что это множество пусто (специально такие $A,B,C$ нашли либо так их определили).

На рис. 13 возьмем два верхних круга, а от нижнего отнимем $a.$

Изображение

svv в сообщении #1525195 писал(а):
$\overline A\cap \overline B\cap \overline C$ отбрасывается потому, что не входит в систему.

Someone в сообщении #1524994 писал(а):
Да, у Куратовского с Мостовским конституенты определяются с помощью универсального множества. Но их можно определить и без универсального множества, тем более, что в стандартных теориях типа ZFC или NBG универсального множества нет. Просто возьмите в качестве множества $1$ объединение всех заданных множеств и исключите из списка конституент ту, которая является пересечением всех дополнений (она автоматически пустая).

svv в сообщении #1525195 писал(а):
Если считаете, что тогда лучше их покрасить в разный цвет — ладно.

Нет, если они обе отбрасываются, то лучше, конечно, покрасить в один цвет, и не в зеленый (цвет надежды), а как раз в черный.

svv в сообщении #1525195 писал(а):
(У Куратовского-Мостовского вообще картинок нет.)

Завидую людям с таким богатым воображением, что им не нужны картинки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конституенты (теория множеств)
Сообщение03.07.2021, 15:10 
Заслуженный участник


31/12/05
1516
Vladimir Pliassov в сообщении #1525190 писал(а):
Надеюсь в обозримом будущем перейти к § 8 Куратовского, Мостовского "Применение алгебры множеств к топологии".
Этот параграф написан для тех, кто уже знает топологию. Для незнающих он останется пустой эквилибристикой.

(Ситуация аналогична параграфу про идеалы - для знакомой вещи дается новая интерпретация.)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 41 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group