Конституенты (теория множеств)

[Someone]

Vladimir Pliassov в сообщении #1524861 писал(а):

Someone в сообщении #1524841 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1524823 писал(а):

Центрированная система не имеет нулевых конституент

Почему бы вдруг?

Исправляю.

В центрированную систему может входить универсум $1$, так как он пересекается с любым входящим в него множеством и потому с пересечением любых входящих в него множеств.

Да, у Куратовского с Мостовским конституенты определяются с помощью универсального множества. Но их можно определить и без универсального множества, тем более, что в стандартных теориях типа ZFC или NBG универсального множества нет. Просто возьмите в качестве множества $1$ объединение всех заданных множеств и исключите из списка конституент ту, которая является пересечением всех дополнений (она автоматически пустая). При таком подходе число конституент для семейства из $n$ множеств не превосходит $2^n-1$, и множества независимы, если число непустых конституент равно $2^n-1$. Также пустые конституенты, как правило, не нужны, и их можно не считать. Но для начала разберитесь с тем, что в книге.

Vladimir Pliassov в сообщении #1524861 писал(а):

Центрированная система не имеет нулевых конституент, если в нее не входит $1$, и имеет нулевые конституенты, если в нее входит $1$.

По-моему, Вы уже очень сильно запутались. У Куратовского с Мостовским универсальное множество используется в определении конституент независимо от того, входит или не входит оно в систему. И из всех конституент к центрированности конечного семейства множеств имеет отношение только одна. Так что другим вовсе не запрещено быть пустыми.

[Vladimir Pliassov]

Someone в сообщении #1524994 писал(а):

И из всех конституент к центрированности конечного семейства множеств имеет отношение только одна.

Вы имеете в виду конституенту $a$? Она единственная равна пересечению всех трех множеств, изображенных в виде кругов на рис. 13, на нем видны все восемь конституент, когда ни одна из них не равна нулю.

Someone в сообщении #1524994 писал(а):

Так что другим вовсе не запрещено быть пустыми.

Поставим задачу найти семейство из трех множеств с максимальным числом пустых конституент.

Уберем конституенту $e$, то есть приравняем ее к нулю (сделаем ее пустой) (рис. 14-a) Тогда семейство $\{a\cup c\cup f\cup g, \; a\cup d\cup g\cup h, \; a\cup f\cup h\}$ (два верхних круга и урезанный нижний), имея одну пустую конституенту, будет центрированным, так же как и исходное семейство (из трех кругов). При этом множество $a\cup f\cup h$ будет входить в объединение множеств $a\cup c\cup f\cup g$ и $a\cup d\cup g\cup h$ (в объединение двух верхних кругов).

Уберем еще и конституенты $c$ и $d$ из двух верхних кругов (рис. 14-b), получим три множества: $a\cup f\cup h,\;\; a\cup f\cup g$ и $a\cup g\cup h$, составляющие также центрированную систему и имеющие три пустые конституенты. Каждое из этих множеств входит в объединение двух других.

Можем убрать еще конституенту $h$, получим три множества: $a, \; a\cup f$ и $a\cup g$, составляющие также центрированную систему и имеющие четыре пустые конституенты (рис.14-c).

Однако убрать еще и одну из конституент $f, g$ уже не можем, так как тогда у нас останется только два множества.



Но можем убрать конституенту $b$, тогда получим те же три множества: $a, \; a\cup f$ и $a\cup g$, составляющие центрированную систему, имеющую пять пустых конституент (рис. 14-d).

Таким образом, $\{a, \; a\cup f, \; a\cup g\}$ -- семейство из трех множеств с максимальным числом пустых конституент (пять).

[Можно найти другое семейство на тех же условиях, надо только, чтобы в него входило множество $a$ и еще два множества, каждое из которых состоит из $a$ и еще одной конституенты с рис. 13 (исключая $b$).

Вообще, не обязательно брать те множества, которые мы брали, например, для рисунка 14-b можно взять множества $a\cup f, a\cup g, a\cup h$, их система также будет центрированной и с тем же числом пустых конституент (три). Для рисунка 14-a выбор еще богаче. Необходимо только, чтобы объединение выбранных множеств было равно объединению всех изображенных на рисунке (то есть не пустых) конституент. Если во все из них будет входить конституента $a$, то система будет центрированной.]

Someone в сообщении #1524994 писал(а):

Да, у Куратовского с Мостовским конституенты определяются с помощью универсального множества. Но их можно определить и без универсального множества ... Просто возьмите в качестве множества $1$ объединение всех заданных множеств и исключите из списка конституент ту, которая является пересечением всех дополнений (она автоматически пустая). При таком подходе число конституент для семейства из $n$ множеств не превосходит $2^n-1$, и множества независимы, если число непустых конституент равно $2^n-1$. Также пустые конституенты, как правило, не нужны, и их можно не считать.

Это понятно, спасибо.

Someone в сообщении #1524994 писал(а):

У Куратовского с Мостовским универсальное множество используется в определении конституент независимо от того, входит или не входит оно в систему.

Случай, когда оно входит в систему, был мне подсказан:

пианист в сообщении #1524050 писал(а):

частный случай теоремы 1 из КМ, выделенный допусловием: одно из $A_i$ равно $1$.

а до того он не приходил мне в голову. Но когда я о нем узнал, то уже не мог его не учитывать.

[Someone]

Vladimir Pliassov в сообщении #1525151 писал(а):

Но когда я о нем узнал, то уже не мог его не учитывать.

А зачем начали игнорировать тот случай, когда универсальное множество не является элементом семейства?

[svv]

Vladimir Pliassov, Вы разобрались с этим артефактом, $\Delta$?

[Vladimir Pliassov]

Someone в сообщении #1525161 писал(а):

А зачем начали игнорировать тот случай, когда универсальное множество не является элементом семейства?

Я его не игнорирую, я понимаю, что только в этом случае семейство может быть независимым (то есть может не иметь пустых конституент). Но может быть, у меня есть какие-то упущения относительно него?

svv в сообщении #1525162 писал(а):

Вы разобрались с этим артефактом, $\Delta$?

Нет, не разобрался. Но у меня появилась мысль, что, может быть, диаграммы Венна (и наверное, Эйлера, но его диаграммы я пока хуже понимаю) не вполне или не всегда соответствуют объектам теории множеств.

Возьмем простой случай $A=1\setminus \overline A$ . На рис. 15-a $A$ находится в окружении $\overline A$ (не пересекаясь с ним). Но то, что $A=1\setminus \overline A$ можно изобразить как на рис. 15-b, и тогда $A$ не находится в окружении $\overline A$.



Может, что-то подобное и с $\Delta$? На рис. 10-b $\Delta$ не пересекается с остальной частью конституенты $\overline A\cap \overline B\cap \overline C$, то есть конституента $\overline A\cap \overline B\cap \overline C$ состоит из двух непересекающихся подмножеств -- $1-(A\cup B\cup C\cup \Delta)$ и $\Delta$. Но "в жизни", может быть, это не так?



(Хотя, учитывая, что любое множество состоит из непересекающихся подмножеств, в том, что $\overline A\cap \overline B\cap \overline C$ состоит из некоторых непересекающихся $1-(A\cup B\cup C\cup \Delta)$ и $\Delta$, нет ничего удивительного.)

Или, если рассматривать дополнения множеств как исходные множества, а исходные множества как их дополнения, то, судя по диаграммам, любые семейства всегда центрированные, потому что на диаграммах все дополнения (которые мы теперь рассматриваем как исходные множества) пересекаются.

[svv]

Vladimir Pliassov
Множеству $\overline A\cap \overline B\cap \overline C$ соответствует несвязное множество на Вашей диаграмме. Но эта «деталь реализации» не выражает каких-либо свойств множества $\overline A\cap \overline B\cap \overline C$ (оно вполне может состоять из одного элемента). Потому я и назвал её артефактом. Я бы взял обычную диаграмму Венна для 3 множеств и закрасил черным $A\cap B\cap C$ и $\overline A\cap \overline B\cap \overline C$.

Можно сказать, что в этой ситуации недостаточно гибкая модель из простых фигур на плоскости посмела диктовать свои выводы теории множеств.

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1525171 писал(а):

состоит из двух непересекающихся подмножеств

Чем быстрее в перейдете от мелких побочных вопросов теории множеств к общей топологии, тем быстрее узнаете слово "несвязный", которое тут больше подходит.

[Vladimir Pliassov]

svv в сообщении #1525182 писал(а):

Я бы взял обычную диаграмму Венна для 3 множеств и закрасил черным $A\cap B\cap C$ и $\overline A\cap \overline B\cap \overline C$.

Я закрасил зеленым, чтобы видны были обозначения.



То есть Вы выделяете эти две конституенты (рис. 10-a), потому что одна из них является пересечением всех множеств, а другая пересечением всех дополнений множеств? Но почему одним цветом? Вы их как-то связываете?

Вот на рис. 10-b я закрасил $\Delta$ так же, как остальную часть конституенты $\overline A\cap \overline B\cap \overline C$, потому что это одна и та же конституента.

tolstopuz в сообщении #1525184 писал(а):

Чем быстрее в перейдете от мелких побочных вопросов теории множеств к общей топологии, тем быстрее узнаете слово "несвязный", которое тут больше подходит.

Надеюсь в обозримом будущем перейти к § 8 Куратовского, Мостовского "Применение алгебры множеств к топологии".

[svv]

Vladimir Pliassov в сообщении #1525190 писал(а):

То есть Вы выделяете эти две конституенты (рис. 10-a), потому что одна из них является пересечением всех множеств, а другая пересечением всех дополнений множеств? Но почему одним цветом? Вы их как-то связываете?

Я их обе отбрасываю. В результате остается 2-сцепленная (но не 3-сцепленная) система из трех множеств $A,B,C$.
$A\cap B\cap C$ отбрасывается потому, что это множество пусто (специально такие $A,B,C$ нашли либо так их определили).
$\overline A\cap \overline B\cap \overline C$ отбрасывается потому, что не входит в систему.
Если считаете, что тогда лучше их покрасить в разный цвет — ладно. (У Куратовского-Мостовского вообще картинок нет.)

[Vladimir Pliassov]

svv в сообщении #1525195 писал(а):

$A\cap B\cap C$ отбрасывается потому, что это множество пусто (специально такие $A,B,C$ нашли либо так их определили).

На рис. 13 возьмем два верхних круга, а от нижнего отнимем $a.$

svv в сообщении #1525195 писал(а):

$\overline A\cap \overline B\cap \overline C$ отбрасывается потому, что не входит в систему.

Someone в сообщении #1524994 писал(а):

Да, у Куратовского с Мостовским конституенты определяются с помощью универсального множества. Но их можно определить и без универсального множества, тем более, что в стандартных теориях типа ZFC или NBG универсального множества нет. Просто возьмите в качестве множества $1$ объединение всех заданных множеств и исключите из списка конституент ту, которая является пересечением всех дополнений (она автоматически пустая).

svv в сообщении #1525195 писал(а):

Если считаете, что тогда лучше их покрасить в разный цвет — ладно.

Нет, если они обе отбрасываются, то лучше, конечно, покрасить в один цвет, и не в зеленый (цвет надежды), а как раз в черный.

svv в сообщении #1525195 писал(а):

(У Куратовского-Мостовского вообще картинок нет.)

Завидую людям с таким богатым воображением, что им не нужны картинки.

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1525190 писал(а):

Надеюсь в обозримом будущем перейти к § 8 Куратовского, Мостовского "Применение алгебры множеств к топологии".

Этот параграф написан для тех, кто уже знает топологию. Для незнающих он останется пустой эквилибристикой.

(Ситуация аналогична параграфу про идеалы - для знакомой вещи дается новая интерпретация.)