Одна не так давно промелькнувшая на форуме задача навела на некую идею - как бы технический взгляд на ситуацию (математическая техника ввиду не имеется)).
Напряжённость в точке
(в обозначениях предыдущей страницы) можно представить как сумму двух вкладов.
Первый создаётся суммой (интегралом) зарядов на участке стержня от
до
при постоянной плотности (стержень лежит на [0,1]).
Второй образуется вследствие возмущения плотности заряда в области разрыва в
.
Ясно, что в области разрыва даже малая неравномерность плотности даст ощутимую напряжённость поля, которая будет стремиться скомпенсировать первый вклад, удерживая заряд в точке
в равновесии.
Эта ситуация очень напоминает идеальный операционный усилитель с отрицательной обратной связью, поддерживающей квазинуль сигнала на инвертирующем входе. Можно сказать по аналогии, что на стержне отрицательной обратной связью поддерживается квазиравномерное распределение заряда.
(Оффтоп)
Сии построения приводят к уравнению
Его легко получить, поэтому настораживает, что не видел его раньше. Значит или просмотрел, или оно в принципе неверно. Думаю, это быстро выяснится)) Так или иначе его решение, приблизительно (в частности, отброшена
и выше) таково --
![$$\rho(x) \simeq \frac{1}{2\ln\varepsilon}\ln[x(1-x)] \; + \; \frac{1}{2(\ln\varepsilon)^2}\int\bigg(\frac{1}{x} - \frac{1}{1-x}\bigg)\ln\Big[(x^2+\varepsilon^2)[(1-x)^2+\varepsilon^2]\Big]dx \;\; + \;\; \operatorname{const}.$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/6/70633b83d1f4464c9394caca869be6a882.png "$$\rho(x) \simeq \frac{1}{2\ln\varepsilon}\ln[x(1-x)] \; + \; \frac{1}{2(\ln\varepsilon)^2}\int\bigg(\frac{1}{x} - \frac{1}{1-x}\bigg)\ln\Big[(x^2+\varepsilon^2)[(1-x)^2+\varepsilon^2]\Big]dx \;\; + \;\; \operatorname{const}.$$")
Интеграл здесь берётся, если пренебречь
по сравнению с
под логарифмом, но летят края. В основной теме, насколько могу судить, появлялся результат в этом роде - видимо
в Рим к логарифму ведут все пути.
