Заряженный проводящий тороид

[reterty]

Рассмотрим заряженный проводящий тороид круглого сечения (для простоты). Сдается мне , что для определения поля в окружающем пространстве необходимо использовать тороидальные координаты с дополнительным условием, что поверхность тора - эквипотенциальна. Однако, мне даже более интересно найти угловое распределение поверхностной плотности заряда. Да что-то подсказывает, что такая задача в электростатике давным давно решена...... Может кто подскажет ссылку на соответствующую работу? Буду признателен!

[AnatolyBa]

У Смайта есть задачи посвященные тору - задачи 117-121 в главе 5.
Да, видно кто-то когда-то это решал. Но разбираться сейчас - очень сложно. Я по крайней мере не разобрался.

[svv]

Ещё одна книга:
Морс, Фешбах. Методы теоретической физики. Том 2. Глава 10 «Решение уравнений Лапласа и Пуассона». Пункт «Тороидальные координаты» на стр. 282, но для понимания придётся прочитать и предыдущий пункт «Бисферические координаты» со стр. 279, так как используется развитая там техника.

Могу подтвердить, что задача сложная. Дело в том, что в тороидальных координатах $(\sigma, \tau, \varphi)$ переменные в уравнении Лапласа хоть и разделяются, но как-то по-уродски не совсем полноценно. Даже в осесимметричном случае, когда нет зависимости от $\varphi$. Каждая гармоника содержит, кроме множителей $S(\sigma)T(\tau)$, ещё общий множитель $\sqrt{\ch\tau-\cos\sigma}$, перепутывающий координаты $\sigma,\tau$. Граничное условие на торе записывается просто: $\psi=\psi_0$ при $\tau=\tau_0$ и произвольных $\sigma, \varphi$. Но гармоники, которая зависела бы только от координаты $\tau$, не существует. (Это, кстати, очевидно из формы координатных поверхностей $\tau=\operatorname{const}\ll\tau_0$: проходя через дырку заряженного проводящего тора, они могут очень далеко отходить от него, так что эквипотенциальными они точно не будут.) В итоге потенциал во внешности тора представляется рядом (10.3.80):

$$\psi(\sigma,\tau)=\frac{\psi_0}{\pi}\sqrt{2(\ch\tau-\cos\sigma)}\;\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{Q_{n-1/2}(\ch\tau_0)}{P_{n-1/2}(\ch\tau_0)}\; P_{n-1/2}(\ch\tau)\cos(n\sigma)$$

Без дополнительных выкладок даже не очевидно, что на торе выполняется граничное условие.
Отсюда Вы можете найти нормальную производную на торе, а по ней — поверхностную плотность заряда.