Единственность разложения на простейшие

[EminentVictorians]

Null в сообщении #1520916 писал(а):

Используйте это:

Так я бы с радостью Только уже третья страница темы идет, а у меня мыслей ноль. Свои попытки я привожу, но результата нету как видите. Сам этот факт из указания я доказал.

[Null]

Вы доказали что $f=0$ раскладывается в сумму правильных дробей с взаимно простыми знаменателями единственным образом. Каким?

[TOTAL]

EminentVictorians в сообщении #1520904 писал(а):

Пусть есть некая правильная дробь и 2 ее каких-то представления $\frac{f}{g} = \frac{f}{p_1^{k_1}\cdot ... \cdot p_s^{k_s}}$ и $\frac{f'}{g'} = \frac{f'}{q_1^{m_1}\cdot ... \cdot q_t^{m_t}}$.

Какие ещё два представления? В первом посте в условии была одна дробь, которую единственным образом записываем в указанном виде.

[EminentVictorians]

Null в сообщении #1520921 писал(а):

Вы доказали что $f=0$ раскладывается в сумму правильных дробей с взаимно простыми знаменателями единственным образом.

Я доказал, что правильная дробь $\frac{f}{g_1\cdot...\cdot g_s}$ (где все $g_i$ взаимно простые) разлагается в сумму $\frac{\varphi_1}{g_1} + ... + \frac{\varphi_s}{g_s}$ правильных дробей со знаменателями $g_1, ... ,g_s$, причем это разложение единственно (с точностью до перестановки дробей). Никто не запрещает в качестве дроби взять, например, нулевую дробь $[0]$.

Null в сообщении #1520921 писал(а):

Каким?

Конкретный вид разложения зависит от представления дроби. Например, представление $\frac{0}{(x-1)(x-2)}$ можно разложить в сумму $\frac{0}{(x-1)} + \frac{0}{(x-2)}$. Т.е. иначе нулевую дробь в сумму 2-ух представлений дробей со знаменталями $(x-1), (x-2)$ кроме как способом выше разложить не получится.

TOTAL в сообщении #1520923 писал(а):

Какие ещё два представления? В первом посте в условии была одна дробь, которую единственным образом записываем в указанном виде.

А разве у дроби не может быть нескольких представлений? Я больше скажу - у дроби может быть бесконечно много разных представлений. Иными словами, дробь - это множество. И это множество может быть бесконечным. И я кстати все это уже второй или третий раз пишу в этой теме.

[TOTAL]

EminentVictorians в сообщении #1520929 писал(а):

TOTAL в сообщении #1520923 писал(а):

Какие ещё два представления? В первом посте в условии была одна дробь, которую единственным образом записываем в указанном виде.

А разве у дроби не может быть нескольких представлений? Я больше скажу - у дроби может быть бесконечно много разных представлений. Иными словами, дробь - это множество. И это множество может быть бесконечным. И я кстати все это уже второй или третий раз пишу в этой теме.

В таком случае записывайте свою дробь единственными бесконечно разными представлениями. Успеха!

[EminentVictorians]

TOTAL в сообщении #1520931 писал(а):

В таком случае записывайте свою дробь единственными бесконечно разными представлениями. Успеха!

В теореме речь не про единственность представлений, а единственность дробей.

[Null]

Если $0=\frac{0}{x}=\frac{0}{x+1}+\frac{0}{x+2}$ - Разные разложения, то доказать вы ничего не сможете.

[EminentVictorians]

Null в сообщении #1520960 писал(а):

Если $0=\frac{0}{x}=\frac{0}{x+1}+\frac{0}{x+2}$ - Разные разложения, то доказать вы ничего не сможете.

$\frac{0}{x+1}$ и $\frac{0}{x+2}$ это разные представления одной и той же дроби $[0]$. Выше же написано сообщение ровно об этом.

[Null]

$0=\frac{0}{x}=\frac{0}{x+1}+\frac{0}{x+2}$ - разные разложения или нет?

[EminentVictorians]

Null в сообщении #1521020 писал(а):

$0=\frac{0}{x}=\frac{0}{x+1}+\frac{0}{x+2}$ - разные разложения или нет?

Ну я понимаю так, что разные. В первом случае дробь $[0]$ раскладывается в сумму, состоящую из одной единственной дроби $[0]$, а во втором случае - в сумму, состоящую из двух слагаемых: $[0] + [0]$.

Но опять же, если я правильно понял утверждение теоремы, этот пример контрпримером к ней не является. Там раскладывается конкретное представление в сумму дробей с заранее фиксированными знаменателями. Почему дробей а не их представлений? Наверное, потому что знаменатель представления однозначно определяет дробь, поэтому двусмысленная трактовка в этом месте исключена. В рамках одной и той же дроби не может быть двух разных представлений с одним и тем же знаменателем (это тривиальная теорема). Как-то так.

[Balexxx]

Сначала утверждение автора показалось мне тривиальным. В поисках доказательства быстро пришел к выводу, что единственность разложения правильной дроби на простейшие равносильна единственности остатка r при делении или, что класс вычетов $r+bq$ содержит только один элемент $r$ с $N(r)<N(b)$.
Это верно в случае кольца многочленов над полем, и поэтому рациональные дроби раскладываются единственным образом. Однако в общем случае данное свойство нельзя вывести из определений нормы и евклидова кольца. Более того, сие неверно. Даже в случае кольца целых чисел, если понимать норму как модуль.
Отсюда было уже недалеко до построения простеньких контрпримеров.
а). Примарная дробь: $\frac{4}{9}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}=\frac{2}{3}-\frac{2}{9}$
б). Случай взаимно простых множителей в знаменателе: $\frac{7}{15}=\frac{2}{3}-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}-\frac{1}{3}$

Боюсь, попытки каким-то образом восстановить единственность будут бесплодными. Полагаю, что несложно придумать евклидовы кольца, где число возможных остатков будет больше любого наперед заданного числа.

-- 05.06.2021, 17:42 --

UP: Невнимательно прочел условие. Не узрел, что речь идет о кольцах многочленов над евклидовыми кольцами.

-- 05.06.2021, 18:04 --

Впрочем, думаю, схема доказательства в примарном случае должна быть похожая. Надо показать, что при $g=p^k$ класс вычетов $f+gh$ содержит ровно один элемент $r$ с $deg(r)<deg(p)$. Здесь по идее и должна пригодиться евклидовость кольца $A$ и деление с остатком коэффициентов.
После этого по индукции начинаем раскладывать дробь на простейшие. Единственность доказываем, собирая дробь обратно и учитывая единственность данного вычета.

[Balexxx]

Точнее, надо показать, что при $g=p^k$ класс вычетов $f+ph$ содержит ровно один элемент $r$ с $deg(r)<deg(p)$.

[EminentVictorians]

Balexxx в сообщении #1521314 писал(а):

UP: Невнимательно прочел условие. Не узрел, что речь идет о кольцах многочленов над евклидовыми кольцами.

Почему? Речь идет про произвольное евклидово кольцо и поле дробей над ним, так что ваши примеры с рациональными числами полностью подходят.

-- 05.06.2021, 18:58 --

Ну я имею в виду, подходят в смысле того, что рациональные числа можно использовать. Речь то все же о простейших дробях.

-- 05.06.2021, 19:00 --

А, извините, проморгал, что Вы на простейшие и раскладывали. С примерами все отлично.

-- 05.06.2021, 19:40 --

Balexxx Ошибся я, все не то. Вы правы, простейшие дроби и единственность разложения у Винберга относятся только к полю рациональных дробей (т.е. с многочленами в числителе и знаменателе). Я просто уже забил на эту единственность, вот поэтому и ввел Вас в заблуждение.

-- 05.06.2021, 19:49 --

Balexxx в сообщении #1521314 писал(а):

В поисках доказательства быстро пришел к выводу, что единственность разложения правильной дроби на простейшие равносильна единственности остатка r при делении

Balexxx в сообщении #1521314 писал(а):

Это верно в случае кольца многочленов над полем, и поэтому рациональные дроби раскладываются единственным образом. Однако в общем случае данное свойство нельзя вывести из определений нормы и евклидова кольца. Более того, сие неверно. Даже в случае кольца целых чисел, если понимать норму как модуль.

В случае $\mathbb{Z}$ с нормой - модулем однозначность деления с остатком есть же. Так что тут, видимо, нету равносильности.

[Balexxx]

Цитата:

В случае $\mathbb{Z}$ с нормой - модулем однозначность деления с остатком есть же. Так что тут, видимо, нету равносильности.

Нет. Остаток можно брать как положительный так и отрицательный. От этого при построении примеров и отталкивался.

[EminentVictorians]

Balexxx в сообщении #1521336 писал(а):

Нет. Остаток можно брать как положительный так и отрицательный. От этого при построении примеров и отталкивался.

У меня в учебнике было сказано про условие неотрицательности остатка. Этим и обеспечивается его единственность.